Troisième

Triangle rectangle : Pythagore, racine carrée et trigonométrie

Racine carrée d’un nombre

Définition 1

Le carré d’un nombre est ce nombre multiplié par lui-même. Il se note avec un

2

en exposant :

𝑎^{2} = 𝑎 \times 𝑎

Définition 2

Soit $𝑎$ un nombre positif. La racine carrée de $𝑎$ , notée $\sqrt{𝑎}$ , est le nombre positif dont le carré vaut $𝑎$ :

\sqrt{𝑎} \geq 0 et {(\sqrt{𝑎})}^{2} = 𝑎 .

Remarque

Prendre la racine carrée est l’opération réciproque d’élever au carré, comme soustraire l’est d’additionner. Un nombre négatif n’a pas de racine carrée : aucun carré n’est négatif.

Un carré d’aire

49

a pour côté

\sqrt{49} = 7

Exemples

$\sqrt{144} = 12$ , car $12 \times 12 = 144$ .
$\sqrt{64} = 8$ , car $8 \times 8 = 64$ .
$\sqrt{2,25} = 1,5$ , car $1,5 \times 1,5 = 2,25$ .
$\sqrt{0} = 0$ et $\sqrt{1} = 1$ .

Les carrés parfaits de $1$ à $144$ sont à connaitre par cœur :

Formule

$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$	$49$	$64$	$81$	$100$	$121$	$144$

Définition 3

Un nombre entier est un carré parfait lorsque sa racine carrée est un entier.

Méthode 1 — Valeur exacte, valeur approchée

Quand

𝑎

n’est pas un carré parfait,

\sqrt{𝑎}

ne s’écrit pas exactement avec des chiffres : on garde

\sqrt{𝑎}

comme valeur exacte, et la calculatrice en donne une valeur approchée.

\sqrt{10}

est coincé entre

3

4

, puisque

9 < 10 < 16

Exemple

3^{2} = 9

4^{2} = 16

; comme

9 < 10 < 16

, on a

3 < \sqrt{10} < 4

. La calculatrice affiche

\sqrt{10} \approx 3,162

Écrire $\sqrt{10} = 3,16$ est faux : le signe $\approx$ est obligatoire dès qu’on arrondit.

Théorème de Pythagore

Définition 4

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.

Propriété 1

L’hypoténuse est toujours le plus long des trois côtés.

L’hypoténuse se lit sur la figure : c’est le côté qui fait face à l’angle droit, quelle que soit la position du triangle.

Théorème 1 — Théorème de Pythagore

Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Autrement dit, si $𝐴 𝐵 𝐶$ est rectangle en $𝐴$ , alors

𝐵 𝐶^{2} = 𝐴 𝐵^{2} + 𝐴 𝐶^{2} .

Sur un triangle rectangle de côtés

3

4

: les carrés construits sur les côtés de l’angle droit totalisent exactement le carré de l’hypoténuse.

Méthode 2 — Calculer l'hypoténuse

Repérer l’angle droit, donc l’hypoténuse.
Écrire l’égalité de Pythagore.
Remplacer par les longueurs connues et calculer les carrés.
Prendre la racine carrée du résultat.

Les deux côtés de l’angle droit sont connus : on cherche l’hypoténuse.

Exemple — Chercher l'hypoténuse

On sait que

𝐴 𝐵 𝐶

est rectangle en

𝐴

, avec

𝐴 𝐵 = 3

cm et

𝐴 𝐶 = 4

cm.

Or

D’après le théorème de Pythagore,

𝐵 𝐶^{2} = 𝐴 𝐵^{2} + 𝐴 𝐶^{2}

Donc

\begin{aligned} 𝐵 𝐶^{2} & = 3^{2} + 4^{2} \\ 𝐵 𝐶^{2} & = 9 + 16 \\ 𝐵 𝐶^{2} & = 25 \\ 𝐵 𝐶 & = \sqrt{25} = 5 cm. \end{aligned}

Méthode 3 — Calculer un côté de l'angle droit

L’égalité s’écrit toujours dans le même sens, mais c’est une soustraction qui la résout : le carré cherché est celui de l’hypoténuse moins l’autre.

L’hypoténuse et un côté de l’angle droit sont connus : on cherche le troisième côté.

Exemple — Chercher un côté de l'angle droit

On sait que

𝐴 𝐵 𝐶

est rectangle en

𝐴

, avec

𝐵 𝐶 = 29

cm et

𝐴 𝐵 = 20

cm.

Or

D’après le théorème de Pythagore,

𝐵 𝐶^{2} = 𝐴 𝐵^{2} + 𝐴 𝐶^{2}

Donc

\begin{aligned} 𝐴 𝐶^{2} & = 𝐵 𝐶^{2} - 𝐴 𝐵^{2} \\ 𝐴 𝐶^{2} & = 29^{2} - 20^{2} \\ 𝐴 𝐶^{2} & = 841 - 400 \\ 𝐴 𝐶^{2} & = 441 \\ 𝐴 𝐶 & = \sqrt{441} = 21 cm. \end{aligned}

Remarque

Le résultat n’est pas toujours entier. Pour

𝐴 𝐵 = 5

𝐴 𝐶 = 7

𝐵 𝐶^{2} = 25 + 49 = 74

, donc

𝐵 𝐶 = \sqrt{74} \approx 8,6

cm.

Réciproque du théorème de Pythagore

Théorème 2 — Réciproque du théorème de Pythagore

Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres, alors ce triangle est rectangle, et son angle droit est opposé au plus grand côté.

Remarque

Le théorème sert à calculer une longueur dans un triangle dont on sait qu’il est rectangle ; sa réciproque sert à démontrer qu’un triangle est rectangle. Ce ne sont pas les mêmes usages.

Méthode 4 — Déterminer la nature d'un triangle

Repérer le plus grand côté.
Calculer son carré d’un côté.
Calculer la somme des carrés des deux autres, de l’autre côté.
Comparer : égalité, le triangle est rectangle ; sinon, il ne l’est pas.

Les trois longueurs sont connues : l’angle droit reste à démontrer.

Exemple — Un triangle rectangle

$𝑀 𝑁 𝑃$ a pour côtés $𝑀 𝑁 = 6$ cm, $𝑁 𝑃 = 8$ cm et $𝑀 𝑃 = 10$ cm.

On sait que

Le plus grand côté est

[𝑀 𝑃]

Or

𝑀 𝑃^{2} = 10^{2} = 100

𝑀 𝑁^{2} + 𝑁 𝑃^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100

Donc

Ces deux résultats sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Pythagore,

𝑀 𝑁 𝑃

est rectangle en

𝑁

Exemple — Un triangle qui ne l'est pas

$𝑅 𝑆 𝑇$ a pour côtés $𝑅 𝑆 = 5$ cm, $𝑆 𝑇 = 6$ cm et $𝑅 𝑇 = 8$ cm.

On sait que

Le plus grand côté est

[𝑅 𝑇]

Or

𝑅 𝑇^{2} = 64

, tandis que

𝑅 𝑆^{2} + 𝑆 𝑇^{2} = 25 + 36 = 61

Donc

64 \neq 61

: le triangle

𝑅 𝑆 𝑇

n’est pas rectangle.

Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu

Le théorème de Pythagore relie les trois longueurs d’un triangle rectangle. La trigonométrie, elle, relie les longueurs aux angles.

Définitions

Dans un triangle rectangle, chaque angle aigu détermine trois côtés :

l’hypoténuse, toujours la même, opposée à l’angle droit ;
le côté adjacent à l’angle, celui qui le borde ;
le côté opposé à l’angle, celui qui lui fait face.

Les trois côtés vus depuis l’angle en

𝐵

La même figure vue depuis l’angle en

𝐶

: adjacent et opposé ont échangé leurs rôles.

« Adjacent » et « opposé » ne sont pas des propriétés du côté, mais du couple formé par le côté et l’angle choisi.

Définitions

Soit $𝑥$ un angle aigu d’un triangle rectangle. On pose

cos 𝑥 = \frac{côté adjacent}{hypoténuse}, sin 𝑥 = \frac{côté opposé}{hypoténuse}, tan 𝑥 = \frac{côté opposé}{côté adjacent} .

Méthode 5 — Retenir les trois quotients

Le moyen mnémotechnique usuel se lit en trois syllabes : CAH — SOH — TOA, soit Cosinus = Adjacent / Hypoténuse, Sinus = Opposé / Hypoténuse, Tangente = Opposé / Adjacent.

Propriétés

Pour tout angle aigu $𝑥$ :

0 < cos 𝑥 < 1 et 0 < sin 𝑥 < 1 .

Un cosinus supérieur à $1$ signale une erreur de calcul.

Remarque

Ces trois nombres ne dépendent que de la mesure de l’angle, pas de la taille du triangle : deux triangles rectangles ayant le même angle aigu ont les mêmes cosinus, sinus et tangente.

Calculer une longueur, calculer une mesure d’angle

Méthode 6 — Choisir la bonne ligne trigonométrique

Repérer l’angle sur lequel on travaille, et nommer les trois côtés relativement à lui.
Entourer les deux côtés qui interviennent : celui qu’on connait et celui qu’on cherche.
Choisir le quotient qui met en jeu exactement ces deux côtés.

Exemple — Calculer une longueur

Dans $𝐴 𝐵 𝐶$ rectangle en $𝐴$ , on donne $𝐵 𝐶 = 7$ cm et $\hat{𝐴 𝐵 𝐶} = 40 °$ . On cherche $𝐴 𝐵$ .

On sait que

Vu de l’angle en

𝐵

[𝐴 𝐵]

est le côté adjacent et

[𝐵 𝐶]

l’hypoténuse.

Or

cos 40 ° = \frac{𝐴 𝐵}{𝐵 𝐶}

Donc

𝐴 𝐵 = 7 \times cos 40 ° \approx 5,4

cm.

Exemple — Calculer une mesure d'angle

Dans $𝐴 𝐵 𝐶$ rectangle en $𝐴$ , on donne $𝐴 𝐵 = 3$ cm et $𝐵 𝐶 = 5$ cm. On cherche la mesure de l’angle en $𝐵$ .

On sait que

[𝐴 𝐵]

est le côté adjacent à cet angle,

[𝐵 𝐶]

est l’hypoténuse.

Or

cos \hat{𝐴 𝐵 𝐶} = \frac{3}{5} = 0,6

Donc

La touche

{cos}^{- 1}

de la calculatrice donne

\hat{𝐴 𝐵 𝐶} \approx 53 °

Protocole — Sur la calculatrice

Vérifier que la calculatrice est en mode degré (DEG à l’écran).
Pour une longueur : utiliser les touches cos, sin, tan.
Pour un angle : utiliser les touches cos⁻¹, sin⁻¹, tan⁻¹, souvent accessibles avec la touche 2nde.

Problèmes mêlant Pythagore et trigonométrie

Une échelle de

4

m appuyée contre un mur, faisant un angle de

70 °

avec le sol.

Exemple — L'échelle

On sait que

Le triangle formé par le sol, le mur et l’échelle est rectangle ; l’échelle en est l’hypoténuse.

Or

sin 70 ° = \frac{ℎ}{4}

cos 70 ° = \frac{𝑑}{4}

Donc

La hauteur atteinte est

ℎ = 4 \times sin 70 ° \approx 3,8

m, et le pied de l’échelle est à

𝑑 = 4 \times cos 70 ° \approx 1,4

m du mur.

Remarque

Le contrôle de vraisemblance est immédiat : la hauteur atteinte doit être inférieure à la longueur de l’échelle. Une valeur supérieure à

4

m signalerait une erreur de touche.

Exemple — La diagonale d'un rectangle

Un écran rectangulaire mesure $60$ cm sur $34$ cm.

On sait que

La diagonale est l’hypoténuse d’un triangle rectangle de côtés

60

34

Or

𝑑^{2} = 60^{2} + 34^{2} = 3600 + 1156 = 4756

Donc

𝑑 = \sqrt{4756} \approx 69

cm, soit environ

27

pouces.

Exemple — Une rampe d'accès

Une rampe doit franchir une marche de $12$ cm de haut avec une pente d’au plus $5 °$ .

On sait que

La hauteur est le côté opposé à l’angle de pente, la longueur de la rampe en est l’hypoténuse.

Or

sin 5 ° = \frac{12}{𝐿}

, donc

𝐿 = \frac{12}{sin 5 °}

Donc

𝐿 \approx 138

cm : il faut une rampe d’au moins

1,38

Méthode 7 — Rédiger une résolution

Toute réponse s’appuie sur trois temps : ce qu’on sait de la figure, la propriété invoquée, puis la conclusion chiffrée avec son unité. Les valeurs approchées gardent le signe

\approx

et un arrondi annoncé.