Troisième

Rotations : frises, pavages et rosaces

Symétries et translation : les propriétés de conservation

Définitions

  • La symétrie axiale d’axe (𝑑) associe à un point 𝑀 le point 𝑀′ tel que (𝑑) soit la médiatrice de [𝑀𝑀′].
  • La symétrie centrale de centre 𝑂 associe à 𝑀 le point 𝑀′ tel que 𝑂 soit le milieu de [𝑀𝑀′].
  • La translation fait glisser toute la figure d’une même distance, dans une même direction et un même sens.
La symétrie axiale : le pliage le long de l’axe amène 𝑀 sur 𝑀′.
La symétrie centrale : un demi-tour autour du centre.
La translation : le même déplacement répété, sans rotation ni retournement.

Propriétés — Ce que ces transformations conservent

Symétries et translation conservent :

  • les longueurs ;
  • les mesures d’angles ;
  • les aires ;
  • l’alignement, le parallélisme et les milieux.

Remarque

La figure image a donc exactement la même forme et la même taille que la figure de départ : ces transformations ne déforment rien. La symétrie axiale est la seule des trois à inverser le sens de parcours de la figure.

La rotation

Définition 2

La rotation de centre 𝑂, d’angle 𝛼 et de sens donné associe à tout point 𝑀 différent de 𝑂 le point 𝑀′ tel que

𝑂𝑀′=𝑂𝑀et𝑀𝑂𝑀′̂=𝛼,

l’angle étant compté dans le sens choisi. Le point 𝑂 est sa propre image.

L’image d’un point : il reste à la même distance du centre, après un quart, un tiers ou une autre fraction de tour.

Vocabulaire

Le sens direct est celui inverse des aiguilles d’une montre ; le sens indirect est celui des aiguilles.
Le même angle, les deux sens : les images sont différentes.

Une rotation n’est complètement définie que par ses trois données : centre, angle et sens. En omettre une rend la construction impossible.

L’image d’une figure s’obtient en construisant l’image de chacun de ses points caractéristiques.

Remarque

La symétrie centrale de centre 𝑂 n’est rien d’autre que la rotation de centre 𝑂 et d’angle 180° : le sens n’a alors pas d’importance.

Effet d’une rotation sur les grandeurs

Propriétés

Une rotation conserve :

  • les longueurs, donc les périmètres ;
  • les mesures d’angles ;
  • les aires ;
  • l’alignement, le parallélisme et les milieux.

L’image d’un segment est un segment de même longueur, l’image d’un cercle un cercle de même rayon, l’image d’un triangle un triangle superposable.

Méthode 1 — Déterminer une longueur ou un angle

Reconnaitre que la figure cherchée est l’image d’une figure connue par une rotation, puis invoquer la conservation : la grandeur cherchée est égale à celle de la figure de départ.

Exemple

𝐴′𝐵′𝐶′ est l’image de 𝐴𝐵𝐶 par une rotation de centre 𝑂 et d’angle 50°. On donne 𝐴𝐵=6 cm, 𝐵𝐴𝐶̂=40° et une aire de 14,5 cm².

On sait que

Une rotation conserve longueurs, angles et aires.

Donc

𝐴′𝐵′=6 cm, 𝐵′𝐴′𝐶′̂=40°, et l’aire de 𝐴′𝐵′𝐶′ vaut 14,5 cm².

Remarque

Le seul changement est la position de la figure. C’est ce qui distingue les rotations des agrandissements et des réductions, étudiés au chapitre suivant.

Reconnaitre des rotations dans les frises, pavages et rosaces

Définitions

  • Une frise est un motif répété le long d’une bande.
  • Un pavage recouvre tout le plan, sans trou ni recouvrement.
  • Une rosace s’obtient en tournant un motif autour d’un point.
Une rosace : six exemplaires du même motif, tournés de 60° à chaque fois.

Méthode 2 — Trouver l'angle d'une rosace

Si le motif se répète 𝑛 fois autour du centre, l’angle de la rotation vaut

𝛼=360°𝑛.

Exemples

  • Un motif répété 6 fois : rotation de 60°.
  • Un motif répété 8 fois : rotation de 45°.
  • Un motif répété 5 fois : rotation de 72°.
Un pavage engendré par deux translations : chaque tuile est l’image d’une autre.

Méthode 3 — Identifier la transformation

  1. Repérer le motif élémentaire, le plus petit qui se répète.
  2. Comparer deux exemplaires voisins : ont-ils la même orientation ?
  3. Même orientation, glissement simple : c’est une translation.
  4. Orientation tournée autour d’un point fixe : c’est une rotation.
  5. Figure retournée : c’est une symétrie.

Constructions

Protocole — Construire à la main l'image d'un point

  1. Tracer la demi-droite [𝑂𝑀).
  2. Reporter au compas la longueur 𝑂𝑀 sur un arc de centre 𝑂.
  3. Au rapporteur, construire l’angle 𝛼 à partir de [𝑂𝑀), dans le sens demandé.
  4. 𝑀′ est l’intersection de l’arc et du second côté de l’angle.

Protocole — Construire l'image d'une figure

  1. Construire l’image de chaque sommet.
  2. Relier les images dans le même ordre que la figure de départ.
  3. Contrôler : les longueurs doivent être conservées.

Protocole — Avec un logiciel de géométrie dynamique

  1. Placer le centre de rotation.
  2. Sélectionner l’outil « rotation », puis la figure et le centre.
  3. Saisir l’angle, en précisant le sens.
  4. Déplacer un point de la figure de départ : l’image suit, ce qui permet de conjecturer les propriétés de conservation.

Remarque

Sur un quadrillage, la construction se simplifie beaucoup pour les angles de 90° et de 180° : les déplacements se comptent en carreaux, en échangeant les rôles des deux directions.