Troisième

Fonctions affines

Définition

Définition 1

Une fonction affine est une fonction de la forme

𝑓 : 𝑥 \mapsto 𝑎 𝑥 + 𝑏,

où $𝑎$ et $𝑏$ sont deux nombres fixés.

Vocabulaire

𝑎

est le coefficient directeur de la fonction,

𝑏

son ordonnée à l’origine.

Exemples

$𝑓 : 𝑥 \mapsto 3 𝑥 - 2$ est affine, avec $𝑎 = 3$ et $𝑏 = - 2$ .
$𝑔 : 𝑥 \mapsto - 𝑥 + 5$ est affine, avec $𝑎 = - 1$ et $𝑏 = 5$ .
$ℎ : 𝑥 \mapsto 4 𝑥$ est affine, avec $𝑏 = 0$ : c’est aussi une fonction linéaire.
$𝑘 : 𝑥 \mapsto 7$ est affine, avec $𝑎 = 0$ : c’est une fonction constante.
$𝑚 : 𝑥 \mapsto 𝑥^{2} + 1$ n’est pas affine.

Remarque

Les fonctions linéaires sont donc les fonctions affines dont l’ordonnée à l’origine est nulle. Toute fonction linéaire est affine ; la réciproque est fausse.

Propriété 1

Pour toute fonction affine,

𝑓 (0) = 𝑏

: l’ordonnée à l’origine est l’image de

0

Représentation graphique

Propriété 2

La représentation graphique d’une fonction affine $𝑥 \mapsto 𝑎 𝑥 + 𝑏$ est une droite. Elle coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; 𝑏)$ .

Réciproquement, toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées est la représentation d’une fonction affine.

La droite de

𝑥 \mapsto 1,5 𝑥 - 2

: elle coupe l’axe des ordonnées en

- 2

, et monte de

1,5

quand on avance de

1

Méthode 1 — Tracer la droite à partir de deux points

Choisir deux valeurs de $𝑥$ éloignées, par exemple $0$ et $4$ .
Calculer leurs images.
Placer les deux points obtenus.
Tracer la droite qui les joint, puis contrôler avec un troisième point.

Exemple

Pour

𝑓 : 𝑥 \mapsto 1,5 𝑥 - 2

𝑓 (0) = - 2

𝑓 (4) = 4

. On place

(0; - 2)

(4; 4)

, et on trace.

Remarque

Deux points suffisent, mais un troisième sert de vérification : s’il n’est pas aligné, c’est qu’un calcul est faux.

Interpréter les paramètres

Propriétés

Le signe de $𝑎$ donne le sens de variation : la droite monte si $𝑎 > 0$ , descend si $𝑎 < 0$ , est horizontale si $𝑎 = 0$ .
La valeur absolue de $𝑎$ donne l’inclinaison : plus $| 𝑎 |$ est grand, plus la droite est raide.
$𝑏$ donne la hauteur à laquelle la droite coupe l’axe des ordonnées.

Trois allures : coefficient directeur positif, négatif et nul.

Méthode 2 — Lire $a$ et $b$ sur un graphique

Lire $𝑏$ : c’est l’ordonnée du point d’intersection avec l’axe des ordonnées.
Partir d’un point de la droite à coordonnées entières, avancer de $1$ vers la droite, et mesurer la montée : c’est $𝑎$ .
Une descente donne un $𝑎$ négatif.

Formule — Coefficient directeur à partir de deux points

Si la droite passe par $𝐴 (𝑥_{𝐴}; 𝑦_{𝐴})$ et $𝐵 (𝑥_{𝐵}; 𝑦_{𝐵})$ , avec $𝑥_{𝐴} \neq 𝑥_{𝐵}$ , alors

𝑎 = \frac{𝑦_{𝐵} - 𝑦_{𝐴}}{𝑥_{𝐵} - 𝑥_{𝐴}} .

Exemple

Une droite passe par $(1; 3)$ et $(5; 11)$ :

𝑎 = \frac{11 - 3}{5 - 1} = \frac{8}{4} = 2 .

Comme $𝑓 (1) = 3$ , on a $2 \times 1 + 𝑏 = 3$ , donc $𝑏 = 1$ : la fonction est $𝑥 \mapsto 2 𝑥 + 1$ .

Image et antécédent

Méthode 3 — Déterminer une image

Remplacer

𝑥

par le nombre dans l’expression

𝑎 𝑥 + 𝑏

, et calculer.

Exemple

Pour

𝑓 : 𝑥 \mapsto 3 𝑥 - 2

𝑓 (5) = 3 \times 5 - 2 = 13

𝑓 (- 2) = - 6 - 2 = - 8

Méthode 4 — Déterminer un antécédent

Écrire l’équation $𝑎 𝑥 + 𝑏 = 𝑘$ .
La résoudre : $𝑥 = \frac{𝑘 - 𝑏}{𝑎}$ , avec $𝑎 \neq 0$ .

Exemple

Cherchons l’antécédent de $13$ par $𝑓 : 𝑥 \mapsto 3 𝑥 - 2$ .

On sait que

Il s’agit de résoudre

3 𝑥 - 2 = 13

Or

3 𝑥 = 15

, donc

𝑥 = 5

Donc

L’antécédent de

13

par

𝑓

est

5

Propriété 4

Une fonction affine avec

𝑎 \neq 0

associe à chaque nombre un unique antécédent : la droite coupe toute horizontale en exactement un point.

Remarque

𝑎 = 0

, la fonction est constante :

𝑏

a une infinité d’antécédents, et tout autre nombre n’en a aucun.

Résoudre des problèmes

Méthode 5 — Modéliser par une fonction affine

Une situation se modélise par une fonction affine dès qu’elle comporte une part fixe et une part proportionnelle :

𝑏

est la part fixe,

𝑎

le tarif unitaire.

Exemple — Deux tarifs

Un club propose deux formules :

formule A : $120$ € d’abonnement, puis $2$ € la séance ;
formule B : $5$ € la séance, sans abonnement.

On sait que

Ces tarifs se modélisent par

𝑎 : 𝑛 \mapsto 2 𝑛 + 120

, affine, et

𝑏 : 𝑛 \mapsto 5 𝑛

, linéaire.

Or

Les deux formules coutent le même prix lorsque

2 𝑛 + 120 = 5 𝑛

, soit

𝑛 = 40

Donc

Jusqu’à

40

séances, la formule B est la moins chère ; au-delà, c’est la formule A.

Méthode 6 — Résolution graphique

Tracer les deux droites dans un même repère.
Le point d’intersection donne la valeur pour laquelle les deux modèles coïncident.
Comparer les positions relatives des droites de part et d’autre de ce point.

Une lecture graphique donne une valeur approchée ; le calcul algébrique donne la valeur exacte. Les deux se complètent : le graphique montre, l’équation prouve.

Exemple — Un remplissage

Un réservoir contient déjà $30$ L, et on le remplit à raison de $8$ L par minute.

Le volume s’écrit $𝑣 : 𝑡 \mapsto 8 𝑡 + 30$ , en litres, où $𝑡$ est la durée en minutes.

Au bout de $7$ minutes : $𝑣 (7) = 86$ L.
Pour atteindre $150$ L : $8 𝑡 + 30 = 150$ , donc $𝑡 = 15$ minutes.

Exemple — Une conversion

La conversion des degrés Celsius en degrés Fahrenheit est affine :

𝑓 : 𝑐 \mapsto 1,8 𝑐 + 32 .

Ainsi $0 °$ C valent $32 °$ F, et $100 °$ C valent $212 °$ F. Réciproquement, $1,8 𝑐 + 32 = 68$ donne $𝑐 = 20 °$ C.