Cinquième

Proportionnalité

Reconnaitre une situation de proportionnalité

Définition 1

Deux grandeurs sont proportionnelles si on passe des valeurs de l’une aux valeurs de l’autre en multipliant toujours par un même nombre.

Exemples

Le côté d’un carré et son périmètre sont proportionnels : on multiplie toujours par $4$ .
Le nombre d’articles identiques achetés et le prix payé sont proportionnels : on multiplie par le prix d’un article.
La durée d’un trajet à vitesse constante et la distance parcourue sont proportionnelles.

Exemples — Contre-exemples

L’âge d’une personne et sa taille ne sont pas proportionnels : à $20$ ans, on ne mesure pas le double de sa taille à $10$ ans.
Le côté d’un carré et son aire ne sont pas proportionnels : en doublant le côté, l’aire est multipliée par $4$ .
Un abonnement à $10$ € par mois plus $2$ € par séance n’est pas proportionnel au nombre de séances : sans séance, on paie déjà $10$ €.

Méthode 1 — Vérifier une proportionnalité dans un tableau

Calculer, pour chaque colonne, le quotient de la valeur du bas par la valeur du haut.
Si tous ces quotients sont égaux, les grandeurs sont proportionnelles, et ce quotient commun est le coefficient.
S’il en existe deux différents, elles ne le sont pas — un seul suffit à conclure.

Exemple

Nombre de pommes	$2$	$5$	$10$
Prix (€)	$1,6$	$4$	$8$

\frac{1,6}{2} = \frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8 .

Les quotients sont tous égaux : il y a proportionnalité.

Exemple

Âge (ans)	$2$	$10$	$20$
Taille (cm)	$85$	$140$	$175$

\frac{85}{2} = 42,5

mais

\frac{140}{10} = 14 .

Les quotients diffèrent : il n’y a pas proportionnalité.

Coefficient de proportionnalité

Définition 2

Le nombre par lequel on multiplie s’appelle le coefficient de proportionnalité. Il se lit d’une ligne du tableau à l’autre.

Le coefficient

3

fait passer de la masse au prix, colonne par colonne.

Méthode 2 — Quatre façons de compléter un tableau

Coefficient : multiplier une ligne entière par le coefficient.
Homogénéité : multiplier (ou diviser) une colonne entière par un même nombre.
Additivité : additionner deux colonnes pour en obtenir une troisième.
Passage à l’unité : obtenir d’abord la colonne du $1$ , puis multiplier par ce qu’on veut.

Exemple

$6$ kg de pommes coûtent $18$ €. Combien coûtent $4$ kg ?

Masse (kg)	$6$	$1$	$4$
Prix (€)	$18$	$3$	$12$

Passage à l’unité : $18 \div 6 = 3$ € le kilogramme, puis $3 \times 4 = 12$ €.

Exemple — Vitesse moyenne

Une voiture parcourt

180

km en

2

h. Le coefficient de proportionnalité, ici

180 \div 2 = 90

, est sa vitesse moyenne, en kilomètres par heure. En

5

h, elle parcourt

90 \times 5 = 450

km.

Exemple — Échelle

Sur une carte à l’échelle

\frac{1}{25000}

1

cm représente

25000

cm, soit

250

m. Une distance de

6

cm sur la carte correspond donc à

6 \times 250 = 1500

Remarque

Un coefficient de proportionnalité a presque toujours un sens concret : prix unitaire, vitesse, échelle, masse volumique. Le nommer, c’est déjà comprendre la situation.

Proportions et pourcentages

Définition 3

Une proportion est le quotient d’une partie par le tout. Un pourcentage est une proportion écrite avec le dénominateur

100

𝑡 %

signifie

\frac{𝑡}{100}

Méthode 3 — Appliquer un pourcentage

Prendre

𝑡 %

d’une quantité, c’est la multiplier par

\frac{𝑡}{100}

Exemple

25 %

50

€

= \frac{25}{100} \times 50 = 12,5

€.

Méthode 4 — Calculer un pourcentage

Pour savoir quel pourcentage une partie représente d’un tout, on calcule

\frac{partie}{tout} \times 100 .

Exemple

Un article passe de $80$ € à $50$ €. La remise est de $80 - 50 = 30$ €, soit

\frac{30}{80} \times 100 = 37,5 % .

Le prix a diminué de $37,5 %$ .

Méthode 5 — Retrouver le prix de départ

Une diminution de

30 %

laisse

70 %

du prix : le tableau de proportionnalité relie le prix et le pourcentage correspondant.

Exemple

Après une baisse de $30 %$ , un article coûte $42$ €.

Prix (€)	$?$	$42$
Pourcentage (%)	$100$	$70$

On passe de la première colonne à la seconde en multipliant par $\frac{70}{100}$ ; dans l’autre sens on divise :

42 \div \frac{70}{100} = 42 \times \frac{100}{70} = 60 .

Le prix de départ était de $60$ €.

Remarque

Deux baisses successives ne s’additionnent pas :

- 20 %

puis

- 10 %

ne font pas

- 30 %

, car la seconde baisse porte sur un prix déjà diminué.

Représenter une situation de proportionnalité

Notation

Un tableau de proportionnalité indique toujours les grandeurs et leurs unités : des nombres seuls, sans signification, ne se comparent pas.

Propriété 1 — Caractérisation graphique

Dans un repère, une situation de proportionnalité se reconnait à ceci : les points sont alignés avec l’origine du repère.

Les points sont alignés et la droite passe par l’origine : proportionnalité.

Alignés, mais la droite ne passe pas par l’origine : ce n’est pas de la proportionnalité.

Points non alignés : il n’y a pas non plus proportionnalité.

Méthode 6 — Lire un nuage de points

Vérifier si les points sont alignés.
S’ils le sont, prolonger la droite jusqu’à l’axe vertical : passe-t-elle par l’origine ?
Les deux conditions ensemble, et elles seules, caractérisent la proportionnalité.

Remarque

L’origine se justifie par le sens :

0

article acheté coute

0

€. Toute situation où « rien » coute déjà quelque chose n’est pas proportionnelle.