Cinquième

Fractions

Fraction et quotient

Définition 1

Soient deux nombres

𝑎

𝑏

, avec

𝑏 \neq 0

. Le quotient de

𝑎

par

𝑏

est le nombre qui, multiplié par

𝑏

, donne

𝑎

Notation

Ce quotient se note

\frac{𝑎}{𝑏}

𝑎

est le numérateur,

𝑏

le dénominateur.

Propriété 1

\frac{𝑎}{𝑏} \times 𝑏 = 𝑎 .

Exemples

$\frac{7}{3}$ est le quotient de $7$ par $3$ , et $\frac{7}{3} \times 3 = 7$ .
$\frac{17}{6}$ est le quotient de $17$ par $6$ , et $\frac{17}{6} \times 6 = 17$ .

Remarque

Un quotient n’est pas toujours un nombre décimal :

7 \div 3 = 2,333

… ne s’arrête pas. L’écriture fractionnaire

\frac{7}{3}

, elle, est exacte : c’est une raison de la préférer.

Égalité de fractions

Définition 2

Deux fractions sont égales lorsqu’elles représentent le même quotient.

Propriété 2

Un quotient ne change pas si on multiplie — ou si on divise — son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul :

\frac{𝑎}{𝑏} = \frac{𝑎 \times 𝑘}{𝑏 \times 𝑘} .

La même part du rectangle, découpée deux fois plus finement : l’aire coloriée ne change pas.

Exemples

$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{6}{8}$ .
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$ .

Définition 3

Simplifier une fraction, c’est diviser son numérateur et son dénominateur par un même facteur commun. Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier.

Méthode 1 — Simplifier une fraction

Chercher un diviseur commun au numérateur et au dénominateur — les critères de divisibilité aident.
Diviser les deux par ce nombre.
Recommencer tant qu’un diviseur commun subsiste.

Exemples

$\frac{6}{8} = \frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{3}{4}$ .
$\frac{121}{176} = \frac{11 \times 11}{16 \times 11} = \frac{11}{16}$ .
$\frac{540}{720} = \frac{3}{4}$ , en simplifiant successivement par $10$ , par $2$ , puis par $9$ .

Comparer des fractions

Propriété 3 — Même dénominateur

Deux fractions de même dénominateur se comparent par leurs numérateurs : la plus grande est celle dont le numérateur est le plus grand.

\frac{3}{8} < \frac{5}{8}

: les parts sont de la même taille, il y en a simplement plus.

Propriété 4 — Même numérateur

Deux fractions de même numérateur se comparent par leurs dénominateurs : la plus grande est celle dont le dénominateur est le plus petit, car ses parts sont plus grandes.

\frac{3}{8} < \frac{3}{4}

: autant de parts, mais des parts plus petites.

Méthode 2 — Comparer deux fractions quelconques

Réécrire les deux fractions avec un même dénominateur, en choisissant de préférence un multiple commun des deux dénominateurs.
Comparer alors les numérateurs.

Exemple

Comparer $\frac{2}{3}$ et $\frac{5}{8}$ . Un dénominateur commun est $24$ :

\frac{2}{3} = \frac{16}{24} et \frac{5}{8} = \frac{15}{24} .

Comme $16 > 15$ , on a $\frac{2}{3} > \frac{5}{8}$ .

Propriété 5 — Comparer à 1

Une fraction est plus petite que

1

si son numérateur est plus petit que son dénominateur, égale à

1

s’ils sont égaux, plus grande que

1

sinon.

Exemples

$\frac{7}{9} < 1$ , car $7 < 9$ .
$\frac{12}{12} = 1$ .
$\frac{11}{4} > 1$ , car $11 > 4$ .

Additionner et soustraire des fractions

Propriété 6

Deux fractions de même dénominateur s’additionnent (ou se soustraient) en additionnant (ou soustrayant) les numérateurs, sans toucher au dénominateur :

\frac{𝑎}{𝑑} + \frac{𝑏}{𝑑} = \frac{𝑎 + 𝑏}{𝑑} .

Exemples

$\frac{1}{3} + \frac{4}{3} = \frac{5}{3}$ .
$\frac{2}{5} + \frac{4}{5} = \frac{6}{5}$ .
$\frac{7}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5}{9}$ .

Méthode 3 — Dénominateurs différents

Chercher un dénominateur commun : souvent, l’un des deux dénominateurs est déjà un multiple de l’autre.
Réécrire chaque fraction avec ce dénominateur.
Additionner ou soustraire les numérateurs, puis simplifier le résultat.

\frac{1}{3} + \frac{1}{6}

: on réécrit

\frac{1}{3}

\frac{2}{6}

, et la somme se lit

\frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Exemples

$\frac{3}{7} + \frac{2}{21} = \frac{9}{21} + \frac{2}{21} = \frac{11}{21}$ , car $21 = 7 \times 3$ .
$\frac{3}{8} - \frac{1}{4} = \frac{3}{8} - \frac{2}{8} = \frac{1}{8}$ .
$\frac{2}{5} + \frac{3}{15} = \frac{6}{15} + \frac{3}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ .

Remarque

Quand aucun dénominateur n’est multiple de l’autre, leur produit convient toujours :

\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{6}{24} + \frac{4}{24} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}

. Il reste alors à simplifier.

Notation

Un nombre entier s’écrit aussi en fraction :

1 = \frac{16}{16}

3 = \frac{3}{1} = \frac{15}{5}

. C’est ce qui permet de le mêler à un calcul de fractions.

Problèmes

Exemple — Le partage d'un gâteau

Albert prend $\frac{1}{2}$ du gâteau, Bernard $\frac{1}{8}$ , Camille $\frac{3}{16}$ . Que reste-t-il pour Danielle ?

\begin{aligned} 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{8} - \frac{3}{16} & = \frac{16}{16} - \frac{8}{16} - \frac{2}{16} - \frac{3}{16} \\ = \frac{3}{16} . \end{aligned}

Il reste $\frac{3}{16}$ du gâteau.

Exemple — Un disque dur

Un tiers de l’espace sert aux vidéos, un sixième aux images, un vingt-quatrième aux logiciels. Quelle fraction reste libre ?

\begin{aligned} 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{24} & = \frac{24}{24} - \frac{8}{24} - \frac{4}{24} - \frac{1}{24} \\ = \frac{11}{24} . \end{aligned}

Un peu moins de la moitié de l’espace est libre.

Méthode 4 — Résoudre un problème de fractions

Repérer à quoi correspond le « tout », c’est-à-dire le $1$ : le gâteau entier, l’espace disque, la journée.
Écrire toutes les parts avec un même dénominateur.
Effectuer les additions et soustractions, puis simplifier.
Revenir à l’énoncé : la fraction obtenue répond-elle à la question posée ?

Remarque

Deux fractions ne se comparent, ne s’ajoutent et ne se retranchent que si elles portent sur le même tout. La moitié d’une petite pizza n’est pas la moitié d’une grande.