Cinquième

Puissances : carré et cube

Notation

Définitions

Pour un nombre $𝑎$ :

$𝑎^{2} = 𝑎 \times 𝑎$ , qui se lit « $𝑎$ au carré » ;
$𝑎^{3} = 𝑎 \times 𝑎 \times 𝑎$ , qui se lit « $𝑎$ au cube ».

Le petit chiffre écrit en haut à droite est l’exposant : il indique combien de fois le nombre est utilisé comme facteur.

Pour mieux comprendre

Ces noms viennent de la géométrie :

𝑎 \times 𝑎

est l’aire d’un carré de côté

𝑎

, et

𝑎 \times 𝑎 \times 𝑎

le volume d’un cube d’arête

𝑎

Un carré de côté

4

contient

4 \times 4 = 16

carrés unité :

4^{2} = 16

Un cube d’arête

3

contient

3 \times 3 \times 3 = 27

cubes unité :

3^{3} = 27

Exemples

$4^{2} = 4 \times 4 = 16$ .
$4^{3} = 4 \times 4 \times 4 = 64$ .
${(\frac{2}{5})}^{2} = \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{25}$ .
${(- 4)}^{3} = (- 4) \times (- 4) \times (- 4) = - 64$ .

Remarque

Les parenthèses comptent :

{(- 4)}^{2} = 16

, alors que

- 4^{2} = - 16

, car dans la seconde écriture l’exposant ne porte que sur le

4

Carrés et cubes à connaitre

Propriété 1 — Les carrés des entiers de $0$ à $12$

$𝑛$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
$𝑛^{2}$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$	$49$	$64$	$81$	$100$	$121$	$144$

Et $0^{2} = 0$ .

Propriété 2

10^{2} = 100

10^{3} = 1 000

: l’exposant compte les zéros.

Définition 2

Un carré parfait est le carré d’un entier :

1

4

9

16

25

… Reconnaitre un carré parfait, c’est reconnaitre qu’un nombre peut s’écrire

𝑛^{2}

Méthode 1 — Écrire un nombre sous forme de puissance

Chercher dans le tableau des carrés, ou décomposer en facteurs : un nombre qui s’écrit

𝑎 \times 𝑎

est

𝑎^{2}

; un nombre qui s’écrit

𝑎 \times 𝑎 \times 𝑎

est

𝑎^{3}

Exemples

$49 = 7 \times 7 = 7^{2}$ .
$1 000 = 10 \times 10 \times 10 = 10^{3}$ .
$8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^{3}$ ; $0,25 = 0,5 \times 0,5 = {0,5}^{2}$ .

Calculer avec des puissances

Propriété 3 — Priorité

Dans un enchainement d’opérations, les puissances se calculent avant les multiplications et les divisions, donc avant les additions et les soustractions — mais après les parenthèses.

Méthode 2

Effectuer les calculs entre parenthèses.
Calculer les carrés et les cubes.
Effectuer ensuite les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions.

Exemples

$3 + 4^{2} = 3 + 16 = 19$ , tandis que ${(3 + 4)}^{2} = 7^{2} = 49$ .
$5 \times 2^{3} = 5 \times 8 = 40$ , tandis que ${(5 \times 2)}^{3} = 10^{3} = 1 000$ .
$2 \times 3^{2} - 4 = 2 \times 9 - 4 = 18 - 4 = 14$ .
${(1 + 2)}^{3} - 5^{2} = 27 - 25 = 2$ .

Remarque

2^{3}

3^{2}

ne sont pas égaux :

8 \neq 9

. L’exposant et la base ne s’échangent pas.

Expressions littérales avec une puissance

Convention

Avec des lettres,

𝑥^{2}

signifie

𝑥 \times 𝑥

, et

3 𝑥^{2}

signifie

3 \times 𝑥 \times 𝑥

: l’exposant ne porte que sur

𝑥

, pas sur le

3

. Pour élever le tout au carré, il faut écrire

{(3 𝑥)}^{2}

Méthode 3 — Évaluer une expression avec puissance

Remplacer la lettre par sa valeur, entre parenthèses si elle est négative.
Calculer la puissance en premier, puis le reste.

Exemples

$𝑥^{2} + 1$ pour $𝑥 = 5$ : $25 + 1 = 26$ .
$3 𝑥^{2}$ pour $𝑥 = 4$ : $3 \times 16 = 48$ , alors que ${(3 𝑥)}^{2} = 12^{2} = 144$ .
$𝑥^{3} - 𝑥$ pour $𝑥 = 2$ : $8 - 2 = 6$ .
$𝑥^{2} + 2 𝑥$ pour $𝑥 = - 3$ : $9 + (- 6) = 3$ .

Exemples — Des formules avec puissances

Aire d’un carré de côté $𝑐$ : $𝒜︀ = 𝑐^{2}$ .
Volume d’un cube d’arête $𝑎$ : $𝑉 = 𝑎^{3}$ .
Aire d’un disque de rayon $𝑟$ : $𝒜︀ = 𝜋 \times 𝑟^{2}$ .

Remarque

Doubler le côté d’un carré ne double pas son aire : elle est multipliée par

2^{2} = 4

. Pour un cube, le volume est multiplié par

2^{3} = 8