Cinquième

Équations

La lettre comme inconnue

Définition 1

Une équation est une égalité contenant une lettre, dont on cherche la ou les valeurs qui la rendent vraie. Cette lettre s’appelle l’inconnue.

Définition 2

Une solution d’une équation est une valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie. Résoudre une équation, c’est trouver toutes ses solutions.

Remarque

La lettre n’a plus ici le même rôle que dans une formule. Dans

𝑃 = 4 𝑐

, la lettre

𝑐

est une variable : elle prend toutes les valeurs qu’on veut. Dans

4 𝑐 = 20

, c’est une inconnue : une seule valeur convient.

Méthode 1 — Vérifier qu'un nombre est solution

Remplacer l’inconnue par ce nombre dans le membre de gauche, et calculer.
Faire de même à droite.
Les deux résultats sont égaux : le nombre est solution. Sinon, il ne l’est pas.

Exemple

L’équation $𝑥 + 3 = 8$ :

pour $𝑥 = 5$ : $5 + 3 = 8$ vrai, donc $5$ est solution ;
pour $𝑥 = 2$ : $2 + 3 = 5 \neq 8$ faux, donc $2$ n’est pas solution.

Mettre un problème en équation

Méthode 2

Choisir l’inconnue et la nommer : « soit $𝑥$ le nombre cherché ».
Préciser ce que $𝑥$ représente, avec son unité.
Traduire l’énoncé par une égalité entre deux expressions.
Résoudre l’équation, puis revenir à la question posée.

Exemple — Une opération à trou

« À quel nombre faut-il ajouter

3

pour obtenir

8

? » Soit

𝑥

ce nombre : l’énoncé se traduit par

𝑥 + 3 = 8

Exemple — Un prix

4

places de cinéma identiques coutent

34

€. Quel est le prix d’une place ? » Soit

𝑥

le prix d’une place, en euros :

4 𝑥 = 34

Exemple — Un périmètre

« Un rectangle a une largeur de

5

cm et un périmètre de

26

cm. Quelle est sa longueur ? » Soit

𝑥

la longueur, en centimètres :

2 (𝑥 + 5) = 26

, c’est-à-dire

𝑥 + 5 = 13

Résoudre par les opérations inverses

Pour mieux comprendre

Une équation est une balance en équilibre : les deux plateaux ont le même contenu. Retirer la même chose des deux côtés, ou partager chaque côté par un même nombre, conserve l’équilibre.

𝑥 + 3 = 8

: la boite inconnue et trois masses d’un côté, huit masses de l’autre.

En retirant trois masses de chaque côté, l’équilibre est conservé : la boite pèse

5

Méthode 3 — Résoudre $x + b = c$

L’inverse de « ajouter

𝑏

» est « soustraire

𝑏

» : la solution est

𝑥 = 𝑐 - 𝑏

Exemples

$𝑥 + 3 = 8$ donne $𝑥 = 8 - 3 = 5$ .
$𝑥 + 12 = 7$ donne $𝑥 = 7 - 12 = - 5$ .
$𝑥 - 4 = 9$ donne $𝑥 = 9 + 4 = 13$ , car l’inverse de « soustraire $4$ » est « ajouter $4$ ».

3 𝑥 = 12

: trois boites identiques équilibrent douze masses, donc chaque boite en vaut

4

Méthode 4 — Résoudre $a x = c$

L’inverse de « multiplier par

𝑎

» est « diviser par

𝑎

» : la solution est

𝑥 = \frac{𝑐}{𝑎}

, avec

𝑎 \neq 0

Exemples

$3 𝑥 = 12$ donne $𝑥 = \frac{12}{3} = 4$ .
$4 𝑥 = 34$ donne $𝑥 = \frac{34}{4} = 8,5$ .
$\frac{𝑥}{5} = 3$ donne $𝑥 = 3 \times 5 = 15$ .

Méthode 5 — Vérifier sa solution

Toute résolution se termine par une vérification : on remplace l’inconnue par la valeur trouvée dans l’équation de départ, et on contrôle que l’égalité est vraie.

Exemple — Résolution complète

$4$ places de cinéma coutent $34$ €.

On sait que

Soit

𝑥

le prix d’une place, en euros :

4 𝑥 = 34

Donc

𝑥 = \frac{34}{4} = 8,5

Vérification : $4 \times 8,5 = 34$ vrai. Une place coute $8,5$ €.

Remarque

Une équation peut n’avoir aucune solution (

𝑥 + 1 = 𝑥 + 2

n’est jamais vraie), ou en avoir une infinité (

𝑥 + 1 = 1 + 𝑥

est toujours vraie). Celles rencontrées ici en ont exactement une.