Sixième

Premiers objets de la géométrie plane

Droite, demi-droite, segment

Définition 1

Une droite est un ensemble de points alignés. Elle se prolonge à l’infini des deux côtés.

Notation

Le nom d’une droite s’écrit entre parenthèses : (𝑑).
La droite (𝑑) passe par 𝐴 et 𝐵 ; elle ne s’arrête ni en 𝐴, ni en 𝐵.

Définition 2

Une demi-droite est un morceau de droite délimité par un point : son origine.

Notation

Une demi-droite d’origine 𝐴 et de direction 𝑥 se note [𝐴𝑥). Une demi-droite d’origine 𝐵 passant par 𝑂 se note [𝐵𝑂). Le crochet est du côté de l’origine, la parenthèse du côté qui se prolonge.
[𝐴𝑥) et [𝐵𝑂) : chacune s’arrête d’un côté seulement.

Définition 3

Un segment est une portion de droite délimitée par deux points : ses extrémités.

Notation

On note les deux extrémités du segment entre crochets : [𝑈𝑉].
Le segment [𝑈𝑉] s’arrête des deux côtés.

Notation — Récapitulatif des codages

  • un carré dans un angle : ■ signale un angle droit ;
  • un même nombre de petits traits sur deux segments : ils ont la même longueur ;
  • un même nombre de petits arcs sur deux angles : ils ont la même mesure.

Alignement et appartenance

Définition 4

Trois points sont alignés s’il est possible de les placer sur une même droite.

Notation

Si le point 𝑀 est sur la droite (𝐴𝐵), on note 𝑀∈(𝐴𝐵). Si le point 𝐴 n’est pas sur le segment [𝐵𝐶], on note 𝐴∉[𝐵𝐶].
Le même point 𝑁 peut appartenir à la droite sans appartenir au segment : tout dépend de l’objet dont on parle.

Relations entre deux droites

Définition 5

  • Deux droites sont parallèles si elles n’ont aucun point d’intersection.
  • Lorsque deux droites possèdent un point d’intersection, elles sont sécantes en ce point.

Notation

Si (𝑑) et (𝑑′) sont parallèles, on note (𝑑)//(𝑑′).
(𝑑) et (𝑑′) sont parallèles ; (𝑑″) les coupe en 𝐼 et en 𝐾.

Définition 6

Si deux droites sont sécantes et qu’elles forment un angle droit, alors elles sont perpendiculaires.

Notation

Si (𝑑) et (𝑑′) sont perpendiculaires, on note (𝑑)⟂(𝑑′).
(𝑑)⟂(𝑑′) et (𝑑′)⟂(𝑑″) : les deux droites perpendiculaires à (𝑑′) sont parallèles entre elles.

Propriété 1

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.

Distance et report de longueurs

Définition 7

La distance entre deux points est la longueur du plus court chemin entre eux.

Notation

La distance entre 𝐴 et 𝐵 se note 𝐴𝐵, sans parenthèses ni crochets.
𝐴𝐵≈9,7 cm : c’est la longueur du segment [𝐴𝐵].

Méthode 1 — Reporter une longueur au compas

  1. Écarter le compas de la longueur à reporter, pointe sur une extrémité.
  2. Sans changer l’écartement, piquer le compas à l’endroit choisi et tracer un arc de cercle.
  3. Le point cherché est sur cet arc, à la distance voulue du point piqué.
Le compas transporte la longueur 𝐴𝐵 sans avoir besoin de la mesurer.

Le milieu d’un segment

Définition 8

Le milieu d’un segment est le point qui partage ce segment en deux parties de même longueur.

Exemple

𝑀 est le milieu du segment [𝑈𝑉] : les deux petits traits indiquent que 𝑈𝑀=𝑀𝑉.
Le milieu 𝑀 du segment [𝑈𝑉].

La médiatrice d’un segment

Définition 9

La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu.
Consigne. Tracer (𝑚), la médiatrice du segment [𝐴𝐵].
Le résultat attendu : (𝑚) passe par le milieu 𝐼 et coupe [𝐴𝐵] à angle droit.

Protocole

  1. Avec la règle, déterminer 𝐼, le milieu du segment [𝐴𝐵].
  2. Avec l’équerre, tracer la droite (𝑚) perpendiculaire à [𝐴𝐵] passant par 𝐼.

Constructions à l’équerre

Construire une droite perpendiculaire à une autre

Consigne. Tracer une droite (𝑑′) perpendiculaire à (𝑑) passant par 𝐴.
Le résultat attendu.

Protocole

  1. Faire glisser l’équerre le long de (𝑑), jusqu’à l’aligner avec 𝐴.
  2. Tracer la droite (𝑑′) le long de l’équerre.

Construire une droite parallèle à une autre

Consigne. Tracer une droite (𝑑′) parallèle à (𝑑) passant par 𝐴.
Le résultat attendu, obtenu en passant par la perpendiculaire (𝑑∗).

Protocole

  1. Faire glisser l’équerre le long de (𝑑), jusqu’à l’aligner avec 𝐴.
  2. Tracer la droite (𝑑∗) le long de l’équerre.
  3. Faire glisser l’équerre le long de (𝑑∗), jusqu’à l’aligner avec 𝐴.
  4. Tracer la droite (𝑑′) le long de l’équerre.

Remarque

On construit une parallèle avec deux perpendiculaires : c’est exactement la propriété de la partie précédente, mise en pratique.