Sixième

Fractions : sens, repérage et comparaison

Partage de l’unité

Définition 1

Une fraction est un nombre composé d’un numérateur et d’un dénominateur :

\frac{numérateur}{dénominateur}

Le dénominateur dit en combien de parts égales on partage l’unité ; le numérateur dit combien de ces parts on prend.

Exemple

Dans

\frac{2}{3}

, le numérateur est

2

et le dénominateur est

3

Le carré est partagé en

9

carreaux et

5

sont coloriés : la partie rouge vaut

\frac{5}{9}

du carré.

Placer une fraction sur une droite graduée

Chaque graduation vaut

\frac{1}{3}

d’unité. La flèche pointe

\frac{7}{3}

, c’est-à-dire

7

tiers.

La même quantité, vue en parts de disque :

\frac{7}{3}

, c’est deux disques entiers et un tiers de plus.

Méthode 1 — Graduer un segment de longueur donnée

Pour graduer un segment $[𝐴 𝐵]$ en cinquièmes :

partager $[𝐴 𝐵]$ en $5$ parts égales, au compas ou à la règle ;
chaque part vaut $\frac{1}{5}$ ; chaque point de partage porte le numérateur correspondant.

Le segment

[𝐴 𝐵]

partagé en cinquièmes : le point à

3

parts de

𝐴

représente

\frac{3}{5}

Égalités de fractions

Propriété 1

Si on multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre, alors on obtient une deuxième fraction égale à la première.

Exemples

\frac{2}{3} = \frac{2 \times 3}{3 \times 3} = \frac{6}{9} \frac{4}{5} = \frac{4 \times 3}{5 \times 3} = \frac{12}{15}

En simplifiant, dans l’autre sens :

\frac{54}{63} = \frac{6 \times 9}{7 \times 9} = \frac{6 \times 9}{7 \times 9} = \frac{6}{7}

Le rectangle est coupé plus finement, mais l’aire rouge est la même :

\frac{2}{3}

\frac{6}{9}

désignent le même nombre.

Remarque

Le procédé marche dans les deux sens : en divisant numérateur et dénominateur par un même nombre, on simplifie la fraction.

Comparer et encadrer des fractions

Comparer des fractions à 1

Propriété 2

Une fraction est $> 1$ si $numérateur > dénominateur$ .
Une fraction est $< 1$ si $numérateur < dénominateur$ .
Une fraction est $= 1$ si $numérateur = dénominateur$ .

Exemples

\frac{3}{2} > 1 car 3 > 2 \frac{5}{7} < 1 car 5 < 7 \frac{4}{4} = 1

Comparer des fractions entre elles

Propriété 3

Si deux fractions ont le même dénominateur, alors la fraction avec le plus grand numérateur est la plus grande.
Si deux fractions ont le même numérateur, alors la fraction avec le plus petit dénominateur est la plus grande.

Exemples

\frac{4}{3} > \frac{2}{3}

car elles ont le même dénominateur et $4 > 2$ ;

\frac{1}{2} > \frac{1}{3}

car elles ont le même numérateur et $2 < 3$ .

Encadrer une fraction

Méthode 2

Pour encadrer une fraction entre deux entiers consécutifs, on cherche les fractions de même dénominateur juste au-dessus et juste en dessous.

Exemple

Encadrer $\frac{10}{3}$ entre deux entiers consécutifs :

\frac{9}{3} < \frac{10}{3} < \frac{12}{3} donc 3 < \frac{10}{3} < 4

Ordonner une liste de fractions ou de nombres mixtes

Méthode 3

Pour ordonner une liste de fractions ou de nombres mixtes, on les compare deux à deux : à dénominateur commun entre fractions, ou en isolant la partie entière pour les nombres mixtes.

Exemple

Ranger $\frac{5}{4}$ , $1 \frac{1}{4}$ et $\frac{3}{4}$ du plus petit au plus grand. Comme $1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ , il reste à comparer $\frac{3}{4}$ à $\frac{5}{4}$ :

\frac{3}{4} < \frac{5}{4} = 1 \frac{1}{4}

Additionner et soustraire des fractions

Propriété 4

Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut qu’elles aient le même dénominateur.

Méthode 4

On additionne ou on soustrait les numérateurs, et on garde le même dénominateur.

Exemples

\frac{1}{3} + \frac{4}{3} = \frac{1 + 4}{3} = \frac{5}{3} \frac{2}{5} + \frac{7}{5} = \frac{2 + 7}{5} = \frac{9}{5} \frac{8}{9} + \frac{5}{9} = \frac{8 + 5}{9} = \frac{13}{9}

\frac{7}{5} - \frac{3}{5} = \frac{7 - 3}{5} = \frac{4}{5} \frac{11}{4} - \frac{6}{4} = \frac{11 - 6}{4} = \frac{5}{4}

Multiplier une fraction par un entier

Méthode 5

Pour multiplier une fraction par un nombre entier, on multiplie le numérateur par cet entier et on garde le même dénominateur.

Exemples

3 \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{5} = \frac{6}{5} 4 \times \frac{5}{7} = \frac{4 \times 5}{7} = \frac{20}{7}

Remarque

Multiplier $\frac{2}{5}$ par $3$ , c’est ajouter trois fois $\frac{2}{5}$ :

\frac{2}{5} + \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = \frac{6}{5} = 3 \times \frac{2}{5}

Nombres mixtes

Définition 2

Un nombre mixte est composé :

d’un nombre entier ;
d’une fraction $< 1$ .

Exemples

2 \frac{1}{3} 3 \frac{4}{5} 5 \frac{1}{9}

Méthode 6 — Convertir un nombre mixte en fraction

On remplace l’entier par une fraction de même dénominateur, puis on additionne.

2 \frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}

3 \frac{4}{5} = 3 + \frac{4}{5} = \frac{15}{5} + \frac{4}{5} = \frac{19}{5}

5 \frac{1}{9} = 5 + \frac{1}{9} = \frac{45}{9} + \frac{1}{9} = \frac{46}{9}

Méthode 7 — Convertir une fraction en nombre mixte

On isole le plus grand nombre entier d’unités contenu dans la fraction.

\frac{7}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3} = 2 \frac{1}{3}

\frac{19}{5} = \frac{15}{5} + \frac{4}{5} = 3 + \frac{4}{5} = 3 \frac{4}{5}

\frac{46}{9} = \frac{45}{9} + \frac{1}{9} = 5 + \frac{1}{9} = 5 \frac{1}{9}