Sixième

Cercles, disques et équidistance

Autour du cercle

Définitions

Soit un point $𝑂$ et une distance $𝑟$ .

L’ensemble des points situés à une distance égale à $𝑟$ du point $𝑂$ est appelé cercle de centre $𝑂$ et de rayon $𝑟$ .
L’ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à $𝑟$ du point $𝑂$ est appelé disque de centre $𝑂$ et de rayon $𝑟$ .

Le cercle est un trait ; le disque est une surface. Seule la condition sur la distance change.

Définition 2

Le diamètre d’un cercle est un segment reliant deux points du cercle et passant par le centre.

Propriété 1

Le diamètre d’un cercle mesure le double de son rayon.

Le diamètre garde la même longueur quelle que soit son orientation.

Formules

diamètre = 2 \times rayon rayon = diamètre \div 2

Définition 3

Une corde est un segment reliant deux points du cercle.

Définition 4

Un arc de cercle est une portion de cercle délimitée par deux points du cercle.

Les mêmes points

𝐴

𝐵

𝐶

𝐷

définissent des cordes (à gauche) et des arcs (à droite).

$𝐴$ , $𝐵$ , $𝐶$ et $𝐷$ appartiennent au cercle $(𝒞︀)$ :

$[𝐴 𝐵]$ et $[𝐶 𝐷]$ sont des cordes de $(𝒞︀)$ ;
les arcs $𝐴 𝐵$ et $𝐶 𝐷$ sont des arcs de $(𝒞︀)$ .

Remarque

Le diamètre est une corde particulière : c’est la plus longue de toutes.

Problèmes de distance à un point

Pour mieux comprendre

Un cercle de centre

𝑂

et de rayon

𝑟

est exactement l’ensemble des points situés à la distance

𝑟

𝑂

: il permet de construire tous les points qui vérifient une condition de distance, sans avoir à les chercher un par un.

Exemple

Trouver les points situés à

3

cm de

𝐴

et à

4

cm de

𝐵

, c’est chercher les points d’intersection du cercle de centre

𝐴

et de rayon

3

cm avec le cercle de centre

𝐵

et de rayon

4

cm.

Médiatrice et équidistance

Propriété 2

Un point appartient à la médiatrice d’un segment si et seulement si il est équidistant des extrémités de ce segment — c’est-à-dire à la même distance de chacune.

Si $𝑀$ est sur la médiatrice de $[𝐴 𝐵]$ , alors $𝐴 𝑀 = 𝐵 𝑀$ .
Réciproquement, si $𝐴 𝑀 = 𝐵 𝑀$ , alors $𝑀$ est sur la médiatrice de $[𝐴 𝐵]$ .

Où que soit

𝑀

sur la médiatrice,

𝐴 𝑀 = 𝐵 𝑀

Remarque

C’est la réciproque qui rend la construction au compas possible : deux arcs de même rayon centrés en

𝐴

et en

𝐵

se coupent en des points équidistants de

𝐴

et de

𝐵

, donc situés sur la médiatrice.

Construction d’une médiatrice au compas

Protocole

Avec le compas, tracer un grand arc de cercle de centre $𝐴$ — d’un rayon supérieur à la moitié de $𝐴 𝐵$ .
Avec le compas, tracer un arc de cercle de centre $𝐵$ , du même rayon.
Relier les deux points d’intersection.

Les deux arcs ayant le même rayon, leurs points d’intersection sont équidistants de

𝐴

et de

𝐵

: ils sont donc sur la médiatrice.