Addition, soustraction et multiplication des décimaux

I - Vocabulaire des opérations

Vocabulaire

On additionne des termes pour obtenir une somme.
On soustrait des termes pour obtenir une différence.
On multiplie des facteurs pour obtenir un produit.

Exemples

Calcul	Opération	Ce qu’on assemble	Ce qu’on obtient
$3 + 8 = 11$	addition	$3$ et $8$ sont les termes	$11$ est la somme
$7 - 2 = 5$	soustraction	$7$ et $2$ sont les termes	$5$ est la différence
$4 \times 6 = 24$	multiplication	$4$ et $6$ sont les facteurs	$24$ est le produit

II - Priorité des opérations

Propriété 1

Dans un calcul contenant plusieurs opérations de natures différentes :

on effectue d’abord les calculs entre parenthèses ;
puis les multiplications et divisions, de gauche à droite ;
enfin les additions et soustractions, de gauche à droite.

Exemple

À chaque ligne, le calcul effectué est celui mis en évidence.

\begin{aligned} 3 + 4 \times (2 + \end{aligned}

$3 \times 7$ )=3+4× $(2 + 21)$ =3+ $4 \times 23$ =3+92=

95

Propriété 2

Lorsqu’il n’y a que des additions, on peut additionner les nombres dans l’ordre que l’on veut.

Exemple

5 + 3 + 1 + 4 + 2 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

Propriété 3

Lorsqu’il n’y a que des multiplications, on peut multiplier les nombres dans l’ordre que l’on veut.

Exemple

5 \times 3 \times 1 \times 4 \times 2 = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5

III - Additionner et soustraire des décimaux

Méthode 1 — Addition

On aligne les nombres par rang : unités sous unités, dizaines sous dizaines, et virgule sous virgule. Dès qu’une colonne dépasse

9

, on écrit une retenue au-dessus de la colonne suivante.

987 + 123 = 1 110

: chacune des trois colonnes dépasse

9

Méthode 2 — Soustraction

Quand un chiffre du haut est plus petit que celui du bas, on lui prête une dizaine — et on rend cette dizaine au rang suivant du nombre du bas.

901 - 789 = 112

: les petits

1

rouges suivent les dizaines prêtées.

IV - Sens de la multiplication de deux décimaux

Pour mieux comprendre

Multiplier deux décimaux, c’est calculer une aire :

2, 5 \times 1, 4

est l’aire, en unités carrées, d’un rectangle de côtés

2, 5

1, 4

L’aire du grand rectangle se lit comme le produit de ses deux côtés :

2, 5 \times 1, 4 = 3, 5

Remarque

On retrouve ce sens dans les conversions d’unités : convertir des mètres en centimètres, c’est multiplier par

100

V - Poser une multiplication

Méthode 3

On multiplie comme si les virgules n’existaient pas, en décalant chaque ligne d’un rang vers la gauche. On ne replace la virgule qu’à la fin.

3,72 \times 89,1 = 331,452

Propriété 4

Il y a autant de chiffres après la virgule dans le produit que dans les facteurs réunis.

VI - Multiplier et diviser par 10, 100, 1000, etc.

Méthode 4

Multiplier par $10$ , $100$ , $1000$ , etc. revient à déplacer la virgule vers la droite.
Diviser par $10$ , $100$ , $1000$ , etc. revient à déplacer la virgule vers la gauche.

Exemples

Multiplier	Diviser	ce qui revient à multiplier par
$3,14 \times 10 = 31,4$	$3,14 \div 10 = 0,314$	$0,1$
$3,14 \times 100 = 314$	$3,14 \div 100 = 0,031 4$	$0,01$
$3,14 \times 1000 = 3 140$	$3,14 \div 1000 = 0,003 14$	$0,001$

VII - Multiplier par 0,1, 0,01 et 0,001

Méthode 5

Multiplier par $0, 1$ revient à diviser par $10$ .
Multiplier par $0, 01$ revient à diviser par $100$ .
Multiplier par $0, 001$ revient à diviser par $1000$ .

Remarque

Diviser, c’est multiplier par l’inverse : diviser par

10

revient à multiplier par

0,1

, diviser par

100

à multiplier par

0,01

, etc.

Exemples

52 \times 0,1 = 52 \div 10 = 5,2 52 \times 0,01 = 52 \div 100 = 0,52

VIII - Contrôler un résultat

Méthode 6 — Ordre de grandeur

Pour contrôler un résultat sans le recalculer, on remplace chaque nombre par un nombre proche et facile à multiplier de tête, et on compare.

Exemple

19,8 \times 5,1 \approx 20 \times 5 = 100

Un résultat comme $101, 98$ est donc crédible ; un résultat comme $1019, 8$ révèle une erreur de virgule.