Un chiffre est un symbole parmi ; ; ; ; ; ; ; ; ; .
Un nombre sert à compter, mesurer ou comparer, et on peut l’écrire avec un ou plusieurs chiffres.
Pour mieux comprendre
Le mot maison s’écrit avec lettres : M-A-I-S-O-N.
Le nombre s’écrit avec chiffres : 3-9-6.
a) Tableau de numération
Milliards
Millions
Milliers
Unités
C
D
U
C
D
U
C
D
U
C
D
U
1
2
3
4
1
5
0
0
0
3
6
0
0
0
Tableau 1. – Deux nombres placés rang par rang.
b) Chiffres de… / Nombres de…
Exemples
est le chiffre des centaines de .
est le chiffre des dizaines de milliers de .
est le nombre des dizaines de .
est le nombre des dizaines de milliers de .
Remarque
Le chiffre des dizaines est un symbole unique ; le nombre de dizaines compte toutes les dizaines du nombre, y compris celles cachées dans les centaines et les milliers.
II - Nombres décimaux
Définition 2
Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule — éventuellement aucun, comme un nombre entier.
a) Le tableau de numération décimale
Partie entière
,
Partie décimale
1
2
3
,
4
5
6
7
8
9
1
3
,
4
8
2
0
,
7
8
9
4
Tableau 2. – , et placés rang par rang.
Exemples
Dans :
le chiffre des unités est ;
le nombre de dixièmes est .
Dans :
le chiffre des dix-millièmes est ;
le nombre de dix-millièmes est .
Remarque
Le chiffre d’un rang occupe une seule case du tableau. Le nombre de ce rang se lit en prenant tout ce qui est à gauche, virgule comprise : il compte aussi les unités de rang supérieur.
b) Plusieurs écritures
Fractions décimales
Définition 3
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est , , , , etc.
Exemples
Décomposition
Exemples
Remarque
Il existe une troisième écriture, réservée aux nombres compris entre deux entiers : le nombre mixte, entier suivi d’une fraction . Elle est étudiée dans le chapitre sur les fractions.
c) Repérage sur une droite graduée
Exemple
Pour placer , on zoome trois fois : d’abord entre et , puis entre et , puis entre et .
Chaque chiffre après la virgule choisit dans quel dixième de la droite précédente on continue de chercher.
d) Comparaison et ordre
Notation
On note pour dire que est plus petit ou égal à , et pour dire que est plus grand ou égal à .
Méthode 1
Pour comparer deux nombres décimaux :
on compare d’abord leur partie entière, avant la virgule ;
puis, on compare chaque chiffre après la virgule, en commençant par les dixièmes, puis les centièmes, etc.
Exemples
Remarque
bien que ait plus de chiffres que : on compare rang par rang, jamais le nombre de chiffres. vaut .
Méthode 2 — Ordonner une liste
Pour ranger une liste de nombres décimaux du plus petit au plus grand — ou l’inverse — on les compare deux à deux, rang par rang, comme ci-dessus.
Exemple
Ranger , et du plus petit au plus grand :
e) Encadrement et intercalation
Définition 4
Encadrer un nombre, c’est trouver deux autres nombres : un plus petit, et un plus grand.
Remarque
Dans certains cas, on veut que les deux nombres trouvés soient consécutifs au rang demandé.
Exemples
Encadrer à l’unité : .
Encadrer au dixième : .
Encadrer au dix-millième : .
Définition 5
Intercaler un nombre entre deux autres, c’est trouver un nombre compris entre les deux.
Exemple
est intercalé entre et : .
f) Valeur arrondie
Définition 6
Arrondir un nombre, c’est le simplifier en ne gardant qu’un certain nombre de chiffres après la virgule.
Méthode 3
Repérer le chiffre à la position où on veut arrondir (unité, dixième, centième, etc.).
Regarder le chiffre juste à droite de cette position :
s’il est , , , ou , on garde le chiffre de la position choisie ;
s’il est , , , ou , on augmente de le chiffre de la position choisie.
Exemples
Arrondir à l’unité : .
Arrondir au centième : .
Remarque
Un nombre qui n’est pas décimal — comme — possède aussi une valeur arrondie : on calcule d’abord une valeur approchée avec assez de chiffres après la virgule, puis on arrondit comme ci-dessus.
Une droite est un ensemble de points alignés. Elle se prolonge à l’infini des deux côtés.
Notation
Le nom d’une droite s’écrit entre parenthèses : .
La droite passe par et ; elle ne s’arrête ni en , ni en .
Définition 2
Une demi-droite est un morceau de droite délimité par un point : son origine.
Notation
Une demi-droite d’origine et de direction se note . Une demi-droite d’origine passant par se note . Le crochet est du côté de l’origine, la parenthèse du côté qui se prolonge.
et : chacune s’arrête d’un côté seulement.
Définition 3
Un segment est une portion de droite délimitée par deux points : ses extrémités.
Notation
On note les deux extrémités du segment entre crochets : .
Le segment s’arrête des deux côtés.
Notation — Récapitulatif des codages
un carré dans un angle : signale un angle droit ;
un même nombre de petits traits sur deux segments : ils ont la même longueur ;
un même nombre de petits arcs sur deux angles : ils ont la même mesure.
II - Alignement et appartenance
Définition 4
Trois points sont alignés s’il est possible de les placer sur une même droite.
Notation
Si le point est sur la droite , on note . Si le point n’est pas sur le segment , on note .
Le même point peut appartenir à la droite sans appartenir au segment : tout dépend de l’objet dont on parle.
III - Relations entre deux droites
Définition 5
Deux droites sont parallèles si elles n’ont aucun point d’intersection.
Lorsque deux droites possèdent un point d’intersection, elles sont sécantes en ce point.
Notation
Si et sont parallèles, on note .
et sont parallèles ; les coupe en et en .
Définition 6
Si deux droites sont sécantes et qu’elles forment un angle droit, alors elles sont perpendiculaires.
Notation
Si et sont perpendiculaires, on note .
et : les deux droites perpendiculaires à sont parallèles entre elles.
Propriété 1
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
IV - Distance et report de longueurs
Définition 7
La distance entre deux points est la longueur du plus court chemin entre eux.
Notation
La distance entre et se note , sans parenthèses ni crochets.
cm : c’est la longueur du segment .
Méthode 1 — Reporter une longueur au compas
Écarter le compas de la longueur à reporter, pointe sur une extrémité.
Sans changer l’écartement, piquer le compas à l’endroit choisi et tracer un arc de cercle.
Le point cherché est sur cet arc, à la distance voulue du point piqué.
Le compas transporte la longueur sans avoir besoin de la mesurer.
V - Le milieu d’un segment
Définition 8
Le milieu d’un segment est le point qui partage ce segment en deux parties de même longueur.
Exemple
est le milieu du segment : les deux petits traits indiquent que .
Le milieu du segment .
VI - La médiatrice d’un segment
Définition 9
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu.Consigne. Tracer , la médiatrice du segment .
Le résultat attendu : passe par le milieu et coupe à angle droit.
Protocole
Avec la règle, déterminer , le milieu du segment .
Avec l’équerre, tracer la droite perpendiculaire à passant par .
VII - Constructions à l’équerre
a) Construire une droite perpendiculaire à une autre
Consigne. Tracer une droite perpendiculaire à passant par .
Le résultat attendu.
Protocole
Faire glisser l’équerre le long de , jusqu’à l’aligner avec .
Tracer la droite le long de l’équerre.
b) Construire une droite parallèle à une autre
Consigne. Tracer une droite parallèle à passant par .
Le résultat attendu, obtenu en passant par la perpendiculaire .
Protocole
Faire glisser l’équerre le long de , jusqu’à l’aligner avec .
Tracer la droite le long de l’équerre.
Faire glisser l’équerre le long de , jusqu’à l’aligner avec .
Tracer la droite le long de l’équerre.
Remarque
On construit une parallèle avec deux perpendiculaires : c’est exactement la propriété de la partie précédente, mise en pratique.
Une fraction est un nombre composé d’un numérateur et d’un dénominateur :
Le dénominateur dit en combien de parts égales on partage l’unité ; le numérateur dit combien de ces parts on prend.
Exemple
Dans , le numérateur est et le dénominateur est .
Le carré est partagé en carreaux et sont coloriés : la partie rouge vaut du carré.
II - Placer une fraction sur une droite graduée
Chaque graduation vaut d’unité. La flèche pointe , c’est-à-dire tiers.
La même quantité, vue en parts de disque : , c’est deux disques entiers et un tiers de plus.
Méthode 1 — Graduer un segment de longueur donnée
Pour graduer un segment en cinquièmes :
partager en parts égales, au compas ou à la règle ;
chaque part vaut ; chaque point de partage porte le numérateur correspondant.
Le segment partagé en cinquièmes : le point à parts de représente .
III - Égalités de fractions
Propriété 1
Si on multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre, alors on obtient une deuxième fraction égale à la première.
Exemples
En simplifiant, dans l’autre sens :
Le rectangle est coupé plus finement, mais l’aire rouge est la même : et désignent le même nombre.
Remarque
Le procédé marche dans les deux sens : en divisant numérateur et dénominateur par un même nombre, on simplifie la fraction.
IV - Comparer et encadrer des fractions
a) Comparer des fractions à 1
Propriété 2
Une fraction est si .
Une fraction est si .
Une fraction est si .
Exemples
b) Comparer des fractions entre elles
Propriété 3
Si deux fractions ont le même dénominateur, alors la fraction avec le plus grand numérateur est la plus grande.
Si deux fractions ont le même numérateur, alors la fraction avec le plus petit dénominateur est la plus grande.
Exemples
car elles ont le même dénominateur et ;
car elles ont le même numérateur et .
c) Encadrer une fraction
Méthode 2
Pour encadrer une fraction entre deux entiers consécutifs, on cherche les fractions de même dénominateur juste au-dessus et juste en dessous.
Exemple
Encadrer entre deux entiers consécutifs :
d) Ordonner une liste de fractions ou de nombres mixtes
Méthode 3
Pour ordonner une liste de fractions ou de nombres mixtes, on les compare deux à deux : à dénominateur commun entre fractions, ou en isolant la partie entière pour les nombres mixtes.
Exemple
Ranger , et du plus petit au plus grand. Comme , il reste à comparer à :
V - Additionner et soustraire des fractions
Propriété 4
Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut qu’elles aient le même dénominateur.
Méthode 4
On additionne ou on soustrait les numérateurs, et on garde le même dénominateur.
Exemples
VI - Multiplier une fraction par un entier
Méthode 5
Pour multiplier une fraction par un nombre entier, on multiplie le numérateur par cet entier et on garde le même dénominateur.
Exemples
Remarque
Multiplier par , c’est ajouter trois fois :
VII - Nombres mixtes
Définition 2
Un nombre mixte est composé :
d’un nombre entier ;
d’une fraction .
Exemples
Méthode 6 — Convertir un nombre mixte en fraction
On remplace l’entier par une fraction de même dénominateur, puis on additionne.
Méthode 7 — Convertir une fraction en nombre mixte
On isole le plus grand nombre entier d’unités contenu dans la fraction.
Avant de recueillir des données, une enquête se prépare en répondant à trois questions :
la question posée : que cherche-t-on à savoir ?
la population : sur qui, ou sur quoi, porte l’enquête ?
le ou les caractères étudiés : quelle information relève-t-on pour chaque élément de la population ?
Exemple
Enquête « quel est l’animal de compagnie préféré de la classe ? » : la population est constituée des élèves de la classe, et le caractère étudié est le type d’animal préféré.
II - Recueillir des données et construire un tableau
Méthode 1
Une fois les données recueillies — par mesure, par comptage ou par questionnaire — on les organise dans un tableau : une colonne par caractère, une ligne par élément de la population.
Exemple
Élève
Animal préféré
Nombre d’animaux
Léa
Chat
1
Nils
Chien
2
Awa
Chat
0
Malo
Poisson
3
III - Filtrer un tableau
Méthode 2
Filtrer un tableau, c’est en extraire seulement les lignes qui vérifient un critère donné — pour répondre à une question précise sans reparcourir tout le tableau.
Exemple
Dans le tableau ci-dessus, filtrer sur « Animal préféré = Chat » donne les lignes de Léa et d’Awa : deux élèves préfèrent le chat.
IV - Lire un diagramme en barres
Pour mieux comprendre
Un diagramme en barres associe à chaque catégorie une barre dont la hauteur est proportionnelle à sa valeur : plus une barre est haute, plus la valeur qu’elle représente est grande.
L’animal préféré des élèves d’une classe : élèves préfèrent le chien.
Exemples
La catégorie la plus fréquente est celle de la barre la plus haute : ici, « Chien ».
Pour lire une valeur, on suit le sommet de la barre jusqu’à l’axe gradué.
V - Lire un diagramme circulaire
Pour mieux comprendre
Un diagramme circulaire partage un disque en secteurs : la taille de chaque secteur est proportionnelle à la part qu’il représente dans le total.
Le mode de transport pour venir au collège : des élèves viennent à vélo.
Remarque
La somme des pourcentages d’un diagramme circulaire vaut toujours : les secteurs se partagent le disque en entier.
Addition, soustraction et multiplication des décimaux
I - Vocabulaire des opérations
Vocabulaire
On additionne des termes pour obtenir une somme.
On soustrait des termes pour obtenir une différence.
On multiplie des facteurs pour obtenir un produit.
Exemples
Calcul
Opération
Ce qu’on assemble
Ce qu’on obtient
addition
et sont les termes
est la somme
soustraction
et sont les termes
est la différence
multiplication
et sont les facteurs
est le produit
II - Priorité des opérations
Propriété 1
Dans un calcul contenant plusieurs opérations de natures différentes :
on effectue d’abord les calculs entre parenthèses ;
puis les multiplications et divisions, de gauche à droite ;
enfin les additions et soustractions, de gauche à droite.
Exemple
À chaque ligne, le calcul effectué est celui mis en évidence.
Propriété 2
Lorsqu’il n’y a que des additions, on peut additionner les nombres dans l’ordre que l’on veut.
Exemple
Propriété 3
Lorsqu’il n’y a que des multiplications, on peut multiplier les nombres dans l’ordre que l’on veut.
Exemple
III - Additionner et soustraire des décimaux
Méthode 1 — Addition
On aligne les nombres par rang : unités sous unités, dizaines sous dizaines, et virgule sous virgule. Dès qu’une colonne dépasse , on écrit une retenue au-dessus de la colonne suivante.
: chacune des trois colonnes dépasse .
Méthode 2 — Soustraction
Quand un chiffre du haut est plus petit que celui du bas, on lui prête une dizaine — et on rend cette dizaine au rang suivant du nombre du bas.
: les petits rouges suivent les dizaines prêtées.
IV - Sens de la multiplication de deux décimaux
Pour mieux comprendre
Multiplier deux décimaux, c’est calculer une aire : est l’aire, en unités carrées, d’un rectangle de côtés et .
L’aire du grand rectangle se lit comme le produit de ses deux côtés : .
Remarque
On retrouve ce sens dans les conversions d’unités : convertir des mètres en centimètres, c’est multiplier par .
V - Poser une multiplication
Méthode 3
On multiplie comme si les virgules n’existaient pas, en décalant chaque ligne d’un rang vers la gauche. On ne replace la virgule qu’à la fin.
.
Propriété 4
Il y a autant de chiffres après la virgule dans le produit que dans les facteurs réunis.
VI - Multiplier et diviser par 10, 100, 1000, etc.
Méthode 4
Multiplier par , , , etc. revient à déplacer la virgule vers la droite.
Diviser par , , , etc. revient à déplacer la virgule vers la gauche.
Exemples
Multiplier
Diviser
ce qui revient à multiplier par
VII - Multiplier par 0,1, 0,01 et 0,001
Méthode 5
Multiplier par revient à diviser par .
Multiplier par revient à diviser par .
Multiplier par revient à diviser par .
Remarque
Diviser, c’est multiplier par l’inverse : diviser par revient à multiplier par , diviser par à multiplier par , etc.
Exemples
VIII - Contrôler un résultat
Méthode 6 — Ordre de grandeur
Pour contrôler un résultat sans le recalculer, on remplace chaque nombre par un nombre proche et facile à multiplier de tête, et on compare.
Exemple
Un résultat comme est donc crédible ; un résultat comme révèle une erreur de virgule.
Une instruction est un ordre simple, compris sans ambiguïté, qui déclenche une action.
Définition 2
Une séquence d’instructions est une liste d’instructions, exécutées dans l’ordre, les unes après les autres.
Exemple
« Avancer de cases », « tourner à gauche » sont des instructions. L’une après l’autre, elles forment une séquence.
II - Entrées, sorties, exécution pas à pas
Vocabulaire
Les entrées d’une séquence sont les informations dont elle a besoin pour s’exécuter (une longueur, un nombre de répétitions…).
La sortie est le résultat obtenu une fois la séquence entièrement exécutée.
Méthode 1 — Exécuter pas à pas
Pour vérifier une séquence, on l’exécute une instruction à la fois, en notant à chaque étape l’état obtenu — la position, la direction — avant de passer à l’instruction suivante.
III - Construire un chemin
Exemple
Séquence : « avancer de , tourner, avancer de , tourner, avancer de ». En partant d’un point et d’une direction fixés, chaque instruction déplace le point d’une case, ou fait pivoter la direction d’un quart de tour.
Le chemin obtenu en exécutant la séquence pas à pas, sur un quadrillage.
Protocole — Répéter une séquence à la main
Repérer la partie de la séquence qui se répète.
Exécuter cette partie autant de fois que demandé, en gardant à chaque répétition la position et la direction atteintes à la fin de la précédente.
Remarque
Programmer la construction d’un chemin, c’est décrire à l’avance — entièrement, sans intervenir en cours de route — la suite des instructions qui y mènent.
L’ensemble des points situés à une distance égale à du point est appelé cercle de centre et de rayon .
L’ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à du point est appelé disque de centre et de rayon .
Le cercle est un trait ; le disque est une surface. Seule la condition sur la distance change.
Définition 2
Le diamètre d’un cercle est un segment reliant deux points du cercle et passant par le centre.
Propriété 1
Le diamètre d’un cercle mesure le double de son rayon.
Le diamètre garde la même longueur quelle que soit son orientation.
Formules
Définition 3
Une corde est un segment reliant deux points du cercle.
Définition 4
Un arc de cercle est une portion de cercle délimitée par deux points du cercle.
Les mêmes points , , , définissent des cordes (à gauche) et des arcs (à droite).
, , et appartiennent au cercle :
et sont des cordes de ;
les arcs et sont des arcs de .
Remarque
Le diamètre est une corde particulière : c’est la plus longue de toutes.
II - Problèmes de distance à un point
Pour mieux comprendre
Un cercle de centre et de rayon est exactement l’ensemble des points situés à la distance de : il permet de construire tous les points qui vérifient une condition de distance, sans avoir à les chercher un par un.
Exemple
Trouver les points situés à cm de et à cm de , c’est chercher les points d’intersection du cercle de centre et de rayon cm avec le cercle de centre et de rayon cm.
III - Médiatrice et équidistance
Propriété 2
Un point appartient à la médiatrice d’un segment si et seulement si il est équidistant des extrémités de ce segment — c’est-à-dire à la même distance de chacune.
Si est sur la médiatrice de , alors .
Réciproquement, si , alors est sur la médiatrice de .
Où que soit sur la médiatrice, .
Remarque
C’est la réciproque qui rend la construction au compas possible : deux arcs de même rayon centrés en et en se coupent en des points équidistants de et de , donc situés sur la médiatrice.
a) Construction d’une médiatrice au compas
Protocole
Avec le compas, tracer un grand arc de cercle de centre — d’un rayon supérieur à la moitié de .
Avec le compas, tracer un arc de cercle de centre , du même rayon.
Relier les deux points d’intersection.
Les deux arcs ayant le même rayon, leurs points d’intersection sont équidistants de et de : ils sont donc sur la médiatrice.
Pour aller de à , le chemin direct est toujours le plus court : passer par ne peut pas faire gagner de distance.
Le chemin noir est plus court que le rouge : .
Protocole — Activité au compas
Tracer un segment de cm.
Essayer de construire un troisième sommet tel que cm et cm, avec deux arcs de compas.
Recommencer avec cm : que se passe-t-il ?
Propriété 1
Un triangle ne peut être construit que si sa plus grande longueur est inférieure ou égale à la somme des deux autres.
Exemples
Le triangle avec cm, cm et cm peut être construit, car .
Le triangle avec cm, cm et cm ne peut pas être construit, car .
II - Construire un triangle avec 3 longueurs
Protocole
Avec la règle, tracer le côté le plus long du triangle.
Avec le compas, tracer un arc de cercle de rayon égal à la longueur du deuxième côté.
Avec le compas, tracer un arc de cercle de rayon égal à la longueur du troisième côté.
Relier le point d’intersection des deux arcs aux deux extrémités du premier segment.
Exemple
Tracer tel que cm, cm et cm.
Le sommet n’est pas choisi : il est imposé par le croisement des deux arcs.
Tracer de longueur cm.
Puisque cm, tracer un arc de cercle de centre et de rayon cm.
Puisque cm, tracer un arc de cercle de centre et de rayon cm.
Relier le point d’intersection à et à .
III - Construire un triangle avec 2 longueurs et 1 angle
Protocole
Avec la règle, tracer le côté le plus long du triangle.
Avec le rapporteur et la règle, tracer une demi-droite pour former l’angle donné.
Placer le troisième sommet sur cette demi-droite, à la deuxième longueur donnée.
Exemple
Tracer tel que cm, cm et .
L’angle donne la direction ; la longueur donne le point.
IV - Construire un triangle avec 1 longueur et 2 angles
Protocole
Avec la règle, tracer la longueur donnée.
Avec le rapporteur et la règle, tracer une demi-droite formant le premier angle.
Avec le rapporteur et la règle, tracer une demi-droite formant le second angle. Le troisième sommet est leur point d’intersection.
Exemple
Tracer tel que cm, et .
Les deux demi-droites se coupent en un seul point : le triangle est déterminé.
V - Les différents types de triangles
a) Triangle rectangle
Définition 2
Un triangle rectangle possède un angle droit.
Propriété 2
Ses deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut .
Le triangle , rectangle en .Le triangle est rectangle en , car l’angle droit est au sommet . De plus, et sont complémentaires.
b) Triangle isocèle
Définition 3
Un triangle isocèle possède deux côtés de même longueur. Le troisième côté est appelé la base du triangle.
Propriété 3
Les deux angles adjacents à la base sont égaux.
Le triangle , isocèle en : est sa base.Le triangle est isocèle en , car les côtés et ont la même longueur. De plus, les angles et sont égaux.
c) Triangle équilatéral
Définition 4
Un triangle équilatéral possède côtés de même longueur.
Propriété 4
Ses angles sont égaux et mesurent chacun .
Trois côtés égaux, trois angles de .
VI - Somme des mesures des angles
Propriété 5
La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à .
Exemple d’exercice.
Tracer le triangle tel que , et cm.
Quelle est la mesure de l’angle ?
Quelle est la nature du triangle ?
La construction demandée en question 1.
Exemple — Correction
Question 2. D’après la propriété :
On remplace par les valeurs connues :
Pour résoudre cette addition à trou, on fait une soustraction :
Question 3. Ce triangle possède un angle droit et deux angles de : est donc un triangle rectangle et isocèle.
VII - Médiatrices d’un triangle et cercle circonscrit
Propriété 6
Les médiatrices d’un triangle sont concourantes : elles se coupent en un même point, centre du cercle circonscrit au triangle.
Le point est équidistant des trois sommets : le cercle de centre passe donc par , et .Démonstration est sur la médiatrice de , donc . Il est aussi sur celle de , donc . Par conséquent : le point est à la même distance des trois sommets, et le cercle de centre et de rayon passe par les trois.
Les préfixes du kilomètre au millimètre s’enchaînent par :
Méthode 1
Pour convertir une longueur, on utilise un tableau de conversion : une colonne par unité, un chiffre par colonne — exactement comme pour les nombres décimaux.
Exemples
II - Périmètre d’un carré et d’un rectangle
Définition 1
Le périmètre d’une figure est la longueur totale de son contour.
Formules
Le périmètre se calcule à partir des deux dimensions du rectangle.
III - Le périmètre du disque
Pour mieux comprendre
Le périmètre d’un disque est proportionnel à son diamètre : le multiplier par multiplie le périmètre par , et ainsi de suite. Le coefficient de cette proportionnalité est un nombre non décimal, noté (« pi »), dont une valeur approchée est .
Le cercle « déroulé » : sa longueur vaut toujours fois son diamètre, quel que soit le rayon choisi.
Formule
Exemple
Un disque de rayon cm a pour périmètre :
IV - Périmètres de figures composées
Méthode 2
Pour calculer le périmètre d’une figure composée de plusieurs formes simples, on additionne les longueurs de tous les côtés du contour — sans oublier qu’un côté partagé par deux formes qui se touchent n’est pas un bord du contour final.
Exemple
Le contour d’un jardin en forme de « L » se calcule en additionnant les six longueurs de ses côtés, y compris celles qui ne sont pas données directement mais qui se déduisent des autres.
Le symétrique d’un point par rapport à une droite est le point tel que soit la médiatrice du segment .
est le symétrique de par rapport à : coupe à angle droit, en son milieu .
Remarque
Si appartient à la droite , alors est son propre symétrique.
II - Propriétés de la symétrie axiale
Propriété 1
La symétrie axiale conserve les longueurs : si et sont les symétriques de et , alors .
Propriété 2
La symétrie axiale conserve les angles, et donc :
le symétrique d’une droite est une droite ;
le symétrique d’un segment est un segment de même longueur ;
le symétrique d’un cercle est un cercle de même rayon ;
le symétrique d’une figure a la même aire que la figure de départ.
III - Construire un symétrique
a) Sur papier quadrillé ou pointé
Méthode 1
Sur un quadrillage, on compte le nombre de carreaux qui séparent chaque point de l’axe, et on reporte le même nombre de carreaux de l’autre côté, sur la même ligne.
Chaque sommet du symétrique se trouve en comptant les carreaux jusqu’à l’axe, puis en reportant ce nombre de l’autre côté.
b) Sur papier uni, au compas
Protocole
Pour construire le symétrique d’un point par rapport à une droite , sans quadrillage :
tracer la droite perpendiculaire à passant par ; elle coupe en un point ;
avec le compas, reporter la longueur de l’autre côté de , sur cette même perpendiculaire : on obtient .
IV - Axes de symétrie d’une figure
Définition 2
Un axe de symétrie d’une figure est une droite telle que la figure soit sa propre symétrique par rapport à cette droite.
On sait que
La médiatrice d’un segment et la bissectrice d’un angle sont déjà des axes de symétrie : la médiatrice de échange et , et la bissectrice d’un angle échange ses deux côtés.
Le rectangle a axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés.
Le losange a axes de symétrie : ses diagonales, qui sont aussi les bissectrices de ses angles.
Le triangle équilatéral a axes de symétrie : une médiatrice par côté.
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant celles de l’autre toujours par le même nombre — appelé coefficient de proportionnalité.
Exemples
« le kilo de pommes » : le prix est proportionnel à la masse achetée, de coefficient .
La quantité d’ingrédients d’une recette est proportionnelle au nombre de parts préparées.
II - Reconnaître une situation de proportionnalité
Méthode 1
Pour savoir si une situation relève du modèle de la proportionnalité, on cherche s’il existe un même coefficient qui permet de passer de toutes les valeurs d’une grandeur à celles de l’autre.
Exemple — Contre-exemple
Le prix d’un trajet en taxi n’est en général pas proportionnel à la distance parcourue : il existe souvent une prise en charge fixe, qui s’ajoute même pour une distance nulle.
III - Résoudre un problème de proportionnalité
Pour mieux comprendre
Trois procédures, toutes fondées sur le sens de la proportionnalité — et jamais sur une règle mécanique appliquée sans réfléchir :
la linéarité multiplicative : multiplier une valeur par un nombre multiplie l’autre par le même nombre ;
la linéarité additive : additionner deux valeurs d’une grandeur additionne les valeurs correspondantes de l’autre ;
le retour à l’unité : calculer d’abord la valeur pour une seule unité, puis multiplier.
La linéarité multiplicative, lue par une flèche : multiplier la masse par multiplie le prix par .
Méthode 2 — Retour à l'unité
kg de pommes coûtent . Combien coûtent kg ?
Prix d’ kg : .
Prix de kg : .
IV - Représenter une situation de proportionnalité
Notation
Un tableau de proportionnalité indique toujours les grandeurs et leurs unités, en ligne ou en colonne — jamais des nombres seuls, sans signification.
Remarque
Le « produit en croix » n’est pas utilisé ici : chaque calcul s’appuie sur le sens de la proportionnalité, avec une flèche ou un retour à l’unité, pas sur une manipulation formelle des nombres.
V - Problèmes d’échelles
Définition 2
L’échelle d’un plan ou d’une carte est le coefficient de proportionnalité entre une longueur mesurée sur le document et la longueur réelle correspondante.
Exemple
Sur un plan à l’échelle , une longueur de cm représente cm, soit m, dans la réalité.
Un polygone est une figure fermée délimitée par des segments.
Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés.
Le nom d’un polygone ne dépend que de son nombre de côtés.
Définitions
Un losange a ses côtés de la même longueur.
Un rectangle a ses angles droits.
Un carré a ses côtés égaux et ses angles droits : c’est à la fois un rectangle et un losange.
Un trapèze a deux côtés parallèles.
Losange .
Rectangle .
Carré .
Trapèze .
Propriétés
Losange et rectangle ont leurs diagonales qui se coupent en leur milieu.
Les diagonales du losange sont perpendiculaires ; celles du rectangle sont de même longueur ; celles du carré ont les deux propriétés à la fois.
II - Comparer des aires sans mesurer
Méthode 1 — Par superposition
Pour comparer les aires de deux figures découpées, on peut poser l’une sur l’autre : si elles se recouvrent exactement, elles ont la même aire.
Méthode 2 — Par découpage et recollement
On découpe une figure en morceaux, puis on les réarrange autrement : l’aire totale ne change pas, même si la forme obtenue est différente.
Le rectangle est découpé en biais ; le triangle détaché glisse de l’autre côté. La figure obtenue a une forme différente, mais la même aire.
III - Unités d’aire et conversions
Vocabulaire
L’unité d’aire associée à une unité de longueur est le carré construit sur cette longueur : le mètre carré () est l’aire d’un carré de m de côté.
Propriété 2
Contrairement aux longueurs, les unités d’aire s’enchaînent par (et non par ) : un carré de fois plus grand côté a une aire fois plus grande.
Exemples
IV - Aire d’un carré et d’un rectangle
Formules
L’aire du rectangle, vue comme un quadrillage de carreaux d’unité.
Méthode 3 — Substituer une valeur à une lettre
Pour calculer une aire à partir d’une formule, on remplace chaque lettre par la longueur correspondante, puis on effectue le calcul.
Exemple
Un rectangle de largeur cm et de hauteur cm a pour aire :
V - Aires de figures composées
Méthode 4
Pour calculer l’aire d’une figure composée, on la décompose en carrés et en rectangles dont on connait — ou dont on peut calculer — les dimensions, puis on additionne (ou on soustrait) leurs aires.
L’aire de la figure en L s’obtient en soustrayant un petit rectangle à un grand.
Le cube et le pavé droit ont des faces rectangulaires (carrées pour le cube).
Le cylindre a deux faces circulaires reliées par une surface courbe.
Le cône et la pyramide se terminent en pointe : le cône a une base circulaire, la pyramide une base polygonale.
La boule est ronde dans toutes les directions.
Un prisme droit a deux faces polygonales identiques, reliées par des rectangles.
II - Perspective cavalière
Pour mieux comprendre
La perspective cavalière est une façon de représenter un solide en deux dimensions qui garde les faces de face en vraie grandeur : la profondeur est tracée en oblique, réduite de moitié.
Un pavé droit en perspective cavalière : les arêtes cachées sont en pointillés.
Remarque
Un cube est un pavé droit particulier, dont les trois dimensions sont égales.
Un cube, dessiné avec la même méthode.
III - Assemblages de cubes
Méthode 1 — Dessiner un assemblage à main levée
Pour dessiner un assemblage de cubes, on trace d’abord les faces visibles de face, puis celles du dessus et de droite, en reportant la même réduction en oblique que pour un cube seul.
Un assemblage de cubes, en escalier : seules les faces au contact de l’air sont dessinées.
Méthode 2 — Passer du solide à ses représentations planes
Un même assemblage se décrit de plusieurs façons : par un dessin en perspective, par une vue de face, de dessus ou de côté, ou par un nombre de cubes empilés à chaque emplacement.
IV - Le patron d’un solide
Définition 1
Un patron d’un solide est une figure plane qui, une fois découpée et pliée, permet de reconstruire ce solide.
Un patron du cube : six faces carrées, disposées en croix.
Remarque
Un même solide peut avoir plusieurs patrons différents : ce qui compte, c’est que les faces se replient exactement sur les arêtes du solide, sans trou ni recouvrement.
V - Le volume, en centimètres cubes
Définition 2
L’unité centimètre cube () est le volume d’un cube de cm d’arête. Un assemblage de cubes de cm d’arête a donc un volume de .
Méthode 3 — Comparer et déterminer des volumes
Pour comparer deux assemblages de cubes identiques, on compte le nombre de cubes de chacun : celui qui en contient le plus a le plus grand volume.
Exemple
L’assemblage en escalier ci-dessus contient cubes de cm d’arête : son volume est .
Contrairement aux longueurs, les durées ne s’enchaînent pas toutes par ou par : les heures et les minutes se comptent par (système sexagésimal), et les jours par heures.
II - Convertir des durées
Méthode 1 — Du système sexagésimal au système décimal
Pour convertir des minutes en heures décimales, on divise par .
Exemple
h min h.
Méthode 2 — Du système décimal au système sexagésimal
Pour convertir des heures décimales en heures et minutes, on multiplie la partie décimale par .
Exemple
h h min h min.
Remarque
h ne se lit pas « h » : la partie décimale d’une heure n’est pas directement un nombre de minutes.
III - Calculs sur les horaires et les durées
Méthode 3 — Additionner des durées
On additionne les heures entre elles et les minutes entre elles, puis on convertit un éventuel dépassement de minutes en heures supplémentaires.
Une durée s’ajoute à une heure de départ pour donner l’heure d’arrivée.
Exemple
h + h : min h min, donc h .
Méthode 4 — Calculer une durée entre deux horaires
Pour calculer la durée entre deux horaires, on peut avancer par étapes simples — jusqu’à l’heure pleine suivante, puis d’heure en heure — plutôt que de poser une soustraction directe.
IV - Problèmes de calendrier et de planification
Exemple
Un train part à h et le trajet dure h . Il arrive à h + h = h .
Remarque
Un problème de planification se résout souvent en plaçant les événements sur une frise chronologique, comme pour l’addition de durées.
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l’avance.
Chaque résultat possible est une issue de l’expérience.
Deux expériences sont indépendantes si le résultat de l’une n’influence pas le résultat de l’autre.
Exemple
Lancer un dé à faces est une expérience aléatoire à issues : , , , , , .
Notation
On dit qu’un évènement a « chances sur » de se réaliser lorsqu’il correspond à issues parmi les issues possibles.
II - La probabilité, un nombre entre 0 et 1
Définition 1
La probabilité d’un évènement est un nombre compris entre et qui mesure sa chance de se réaliser : pour un évènement impossible, pour un évènement certain.
La probabilité se place sur une graduation entre l’impossible et le certain.
Propriété 1
Un évènement qui a « chances sur » de se réaliser a pour probabilité le quotient , qui peut s’écrire en fraction, en écriture décimale ou en pourcentage.
Exemple
La probabilité d’obtenir un en lançant un dé est .
III - Équiprobabilité
Définition 2
Une expérience est en situation d’équiprobabilité lorsque toutes ses issues ont la même probabilité de se réaliser.
Méthode 1
En situation d’équiprobabilité à issues, chaque issue a pour probabilité . Pour calculer la probabilité d’un évènement, on compte le nombre d’issues qui le réalisent, et on divise par .
Une roue à secteurs identiques : chaque secteur a la probabilité d’être désigné.
Exemple
La probabilité d’obtenir un nombre pair en lançant un dé équilibré : les issues favorables sont , , , soit issues sur .
IV - Approche fréquentiste
Pour mieux comprendre
En répétant une expérience aléatoire un grand nombre de fois, la fréquence d’un évènement — le nombre de fois où il se réalise, divisé par le nombre total d’essais — se rapproche de sa probabilité.
Exemple
En lançant une pièce fois, on peut obtenir fois « pile », soit une fréquence de — une valeur proche de la probabilité théorique , sans lui être exactement égale.
Remarque
Plus le nombre de répétitions est grand, plus la fréquence observée se rapproche généralement de la probabilité théorique.
