Sixième

Angles

I - Vocabulaire

Définition 1

Un angle est une portion de plan délimitée par deux demi-droites ayant la même origine. Il est composé de trois éléments :

  • son sommet : l’origine des deux demi-droites ;
  • ses deux côtés : les deux demi-droites.
L’angle de sommet 𝐴 et de côtés [𝐴𝐵) et [𝐴𝐶).
  • L’angle se nomme 𝐵𝐴𝐶̂ ou 𝐶𝐴𝐵̂.
  • Le sommet de l’angle est 𝐴.
  • Les côtés de l’angle sont [𝐴𝐵) et [𝐴𝐶).

Notation

Un angle se nomme avec trois lettres, le sommet étant la lettre du milieu.

II - Mesure d’un angle

Définition 2

La mesure d’un angle quantifie l’écartement entre ses deux côtés. Elle s’exprime en degrés, notés °.
Le côté [𝑂𝐴) reste fixe : c’est l’écartement de [𝑂𝐵) qui donne la mesure.

Vocabulaire

La nature d’un angle ne dépend que de sa mesure :
Du plus fermé au plus ouvert : nul, aigu, droit, obtus, plat, rentrant, plein.

Remarque

Un angle rentrant mesure plus de 180°. On le note avec un chapeau renversé : 𝐴𝑂𝐵̌.

III - Utiliser le rapporteur

a) Tracer un angle de mesure donnée

Exemple. Tracer 𝐴𝐵𝐶̂=30°.

Protocole

  1. Tracer un côté de l’angle, [𝐵𝐶).

  2. Placer le rapporteur de sorte que :

    • son repère soit sur le sommet de l’angle, 𝐵 ;
    • son 0 soit aligné avec le côté [𝐵𝐶).
  3. Sur le rapporteur, en partant du 0 aligné, repérer la mesure 30°.
  4. Tracer le deuxième côté de l’angle, [𝐵𝐴).
Les trois temps du tracé : le premier côté, la mesure reportée, le second côté.

b) Mesurer un angle

L’angle 𝐷𝐸𝐹̂, dont on cherche la mesure.

Protocole

  1. Placer le rapporteur de sorte que :

    • son repère soit sur le sommet de l’angle, 𝐸 ;
    • son 0 soit aligné avec un des côtés, [𝐸𝐹).
  2. Lire la mesure sur le rapporteur, en partant du 0 aligné, à l’endroit où passe le deuxième côté [𝐸𝐷).

Exemple

Ici, l’angle mesure 45°.

IV - Paires d’angles

a) Opposés par le sommet

Définition 3

Lorsque deux droites sont sécantes en un point, elles forment quatre angles. Deux angles « face à face » sont appelés opposés par le sommet.
Les deux droites (𝐴𝐵) et (𝐶𝐷) se coupent en 𝑂.
  • 𝐴𝑂𝐷̂ et 𝐵𝑂𝐶̂ sont opposés par le sommet 𝑂.
  • 𝐴𝑂𝐶̂ et 𝐵𝑂𝐷̂ sont opposés par le sommet 𝑂.

Propriété 1

Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.

b) Angles adjacents

Définition 4

Deux angles sont adjacents si :

  • ils ont le même sommet ;
  • ils ont un côté en commun ;
  • ils sont situés de part et d’autre de ce côté commun.
𝐴𝑂𝐶̂ et 𝐶𝑂𝐵̂ se partagent le côté [𝑂𝐶).

𝐴𝑂𝐶̂ et 𝐶𝑂𝐵̂ sont adjacents car :

  • ils ont le même sommet : 𝑂 ;
  • ils ont un côté en commun : [𝑂𝐶).

Remarque

Deux angles adjacents s’additionnent :

𝐴𝑂𝐵̂=𝐴𝑂𝐶̂+𝐶𝑂𝐵̂.

c) Angles complémentaires et supplémentaires

Définitions

  • Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures vaut 90°.
  • Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures vaut 180°.
À gauche, deux angles complémentaires ; à droite, deux angles supplémentaires.
  • 𝐵𝐴𝐶̂ et 𝐴𝐶𝐵̂ sont complémentaires.
  • 𝐷𝐺𝐹̂ et 𝐹𝐺𝐸̂ sont supplémentaires — et de plus adjacents.

Remarque

Deux angles peuvent être supplémentaires sans être adjacents : seule la somme de leurs mesures compte.

V - Bissectrice d’un angle saillant

Définition 6

La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure.
[𝐵𝐷) partage 𝐴𝐵𝐶̂ en deux angles égaux.
[𝐵𝐷) est la bissectrice de l’angle 𝐴𝐵𝐶̂ : elle le coupe en deux angles 𝐴𝐵𝐷̂ et 𝐷𝐵𝐶̂ de 45° chacun.