Arithmétique : nombres premiers et fractions irréductibles

I - Multiples, diviseurs et division euclidienne

Définition 1

Soient

𝑎

𝑏

deux nombres entiers, avec

𝑎 \neq 0

. Dire que

𝑎

est un diviseur de

𝑏

, c’est dire que

𝑏

est un multiple de

𝑎

: il existe un entier

𝑘

tel que

𝑏 = 𝑘 \times 𝑎

Remarque

Les deux mots décrivent la même situation, vue des deux côtés :

15 = 3 \times 5

signifie à la fois que

3

est un diviseur de

15

et que

15

est un multiple de

3

Exemples

$3$ est un diviseur de $15$ , car $15 = 3 \times 5$ .
$7$ est un diviseur de $21$ , car $21 = 7 \times 3$ .
$1$ est un diviseur de $43$ , car $43 = 1 \times 43$ .
$78$ est un diviseur de $78$ , car $78 = 78 \times 1$ .

Propriété 1

Tout entier

𝑛

non nul admet au moins deux diviseurs :

1

𝑛

Définition 2

Effectuer la division euclidienne d’un entier $𝑏$ par un entier $𝑎 \neq 0$ , c’est trouver les deux entiers $𝑞$ (le quotient) et $𝑟$ (le reste) tels que

𝑏 = 𝑎 \times 𝑞 + 𝑟 avec 0 \leq 𝑟 < 𝑎 .

La division euclidienne posée : le quotient au-dessous du diviseur, le reste en bas.

Propriété 2

𝑎

est un diviseur de

𝑏

si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de

𝑏

par

𝑎

est nul.

Méthode 1 — Chercher tous les diviseurs d'un entier

Essayer les diviseurs $1, 2, 3, \dots$ dans l’ordre croissant.
Chaque fois qu’un diviseur $𝑑$ convient, noter aussi le diviseur associé $𝑛 \div 𝑑$ : les diviseurs vont par paires.
S’arrêter dès que $𝑑 \times 𝑑$ dépasse $𝑛$ : au-delà, on retrouverait les mêmes paires dans l’autre sens.

Exemple — Les diviseurs de 36

$36 = 1 \times 36 = 2 \times 18 = 3 \times 12 = 4 \times 9 = 6 \times 6$ .

Comme $7 \times 7 = 49 > 36$ , la recherche est terminée : les diviseurs de $36$ sont $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $6$ , $9$ , $12$ , $18$ et $36$ .

II - Critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10

Propriétés — Critères de divisibilité

Divisible par	Critère	Exemples
$2$	le chiffre des unités est $0$ , $2$ , $4$ , $6$ ou $8$	$174$ $175$
$3$	la somme des chiffres est divisible par $3$	$174 \to 1 + 7 + 4 = 12$ $175 \to 1 + 7 + 5 = 13$
$5$	le chiffre des unités est $0$ ou $5$	$175$ $174$
$9$	la somme des chiffres est divisible par $9$	$549 \to 5 + 4 + 9 = 18$ $174 \to 1 + 7 + 4 = 12$
$10$	le chiffre des unités est $0$	$1 740$ $174$

Remarque

Un nombre divisible par

9

est toujours divisible par

3

, puisque

9 = 3 \times 3

; la réciproque est fausse, comme le montre

12

. De même, un nombre divisible par

10

est divisible par

2

et par

5

Exemple — Un nombre passé au crible des critères

Prenons $2 340$ :

il se termine par $0$ , donc il est divisible par $2$ , par $5$ et par $10$ ;
$2 + 3 + 4 + 0 = 9$ , donc il est divisible par $3$ et par $9$ .

III - Nombres premiers

Définition 3

Un entier est premier s’il est supérieur ou égal à

2

et s’il n’a que deux diviseurs :

1

et lui-même. Sinon, il est dit composé.

Remarque

1

n’est pas un nombre premier : il n’a qu’un seul diviseur, lui-même. Ce n’est pas un caprice de vocabulaire, mais la condition pour que la décomposition de la partie suivante soit unique.

Exemples

$17$ est premier : il ne s’écrit que $1 \times 17$ .
$15$ est composé : $15 = 3 \times 5$ .
$24$ est composé : $24 = 2 \times 12 = 3 \times 8 = 4 \times 6$ .

Protocole — Le crible d'Ératosthène

Écrire les entiers de $1$ à $100$ dans un tableau de dix colonnes.
Barrer $1$ , qui n’est pas premier.
Entourer $2$ , puis barrer tous les autres multiples de $2$ .
Recommencer avec le premier nombre non barré suivant : $3$ , puis $5$ , puis $7$ .
$11 \times 11 = 121 > 100$ : tout ce qui reste est premier.

Les multiples de

2

3

5

7

barrés ; il reste les nombres premiers.

Les $25$ nombres premiers inférieurs à $100$ sont à connaitre :

Formule

2

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

53

59

61

67

71

73

79

83

89

97

Méthode 2 — Décider si un nombre est premier

Essayer de le diviser par les nombres premiers successifs

2

3

5

7

11

, … et s’arrêter dès que le carré du diviseur essayé dépasse le nombre.

Exemple

131

est-il premier ? Il n’est divisible ni par

2

(il est impair), ni par

3

(

1 + 3 + 1 = 5

), ni par

5

(il ne finit ni par

0

ni par

5

), ni par

7

(

131 = 7 \times 18 + 5

), ni par

11

(

131 = 11 \times 11 + 10

). Comme

13 \times 13 = 169 > 131

, la recherche s’arrête :

131

est premier.

IV - Décomposition en produit de facteurs premiers

Théorème 1 — Théorème fondamental de l'arithmétique

Tout entier supérieur ou égal à

2

s’écrit comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est unique à l’ordre des facteurs près.

Méthode 3 — Décomposer à la main

Diviser le nombre par le plus petit nombre premier qui le divise.
Recommencer avec le quotient obtenu.
S’arrêter quand le quotient vaut $1$ : les diviseurs utilisés sont les facteurs premiers cherchés.

La décomposition de

360

posée en potence.

La même décomposition présentée en arbre : chaque nombre composé est cassé en deux facteurs.

Exemples

$219 = 3 \times 73$
$110 = 2 \times 5 \times 11$
$625 = 5 \times 5 \times 5 \times 5$
$360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5$

Notation

Un facteur répété s’écrit avec un exposant :

625 = 5^{4}

360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5

Protocole — Décomposer avec un tableur

En A1, écrire le nombre à décomposer.
En B1, écrire =A1/2, et recopier la formule vers le bas tant que le résultat est entier.
Changer de diviseur dès qu’un résultat n’est plus entier.
La fonction =MOD(A1;2) donne le reste : elle vaut $0$ exactement quand la division tombe juste.

Protocole — Décomposer avec un programme

Le même travail s’écrit avec une boucle :

d ← 2

tant que n > 1 :

····si le reste de n par d est 0 :

········afficher d

········n ← n / d

····sinon :

········d ← d + 1

V - Fractions égales et fraction irréductible

Propriété 4

Une fraction ne change pas de valeur quand on multiplie, ou quand on divise, son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul :

\frac{𝑎}{𝑏} = \frac{𝑎 \times 𝑘}{𝑏 \times 𝑘} et \frac{𝑎}{𝑏} = \frac{𝑎 \div 𝑘}{𝑏 \div 𝑘} .

Deux écritures différentes d’une même fraction.

Définition 4

Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont plus aucun diviseur commun autre que

1

: elle ne peut plus être simplifiée.

Méthode 4 — Rendre une fraction irréductible

Décomposer le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers.
Barrer les facteurs communs aux deux.
Effectuer les produits restants.

Exemple

\frac{66}{30} = \frac{2 \times 3 \times 11}{2 \times 3 \times 5} = \frac{11}{5} .

Comme $11$ et $5$ sont premiers, la fraction $\frac{11}{5}$ est irréductible.

Exemple

\frac{12}{51} = \frac{2 \times 2 \times 3}{3 \times 17} = \frac{4}{17} .

Remarque

Les critères de divisibilité suffisent souvent :

12

51

ont leurs sommes de chiffres divisibles par

3

, donc on peut diviser les deux par

3

sans décomposer complètement.

Propriété 5

Deux fractions

\frac{𝑎}{𝑏}

\frac{𝑐}{𝑑}

sont égales si, et seulement si,

𝑎 \times 𝑑 = 𝑏 \times 𝑐

Exemple

\frac{12}{18} et \frac{26}{39} : 12 \times 39 = 468 et 18 \times 26 = 468,

donc ces deux fractions sont égales — elles valent toutes deux $\frac{2}{3}$ .

VI - Problèmes de divisibilité

Exemple — Des engrenages

Une roue de $12$ dents engrène avec une roue de $18$ dents ; un repère est tracé sur chacune, les deux repères se faisant face au départ.

On sait que

Les repères se retrouvent face à face lorsque le nombre de dents passées est à la fois un multiple de

12

et un multiple de

18

Or

36 = 12 \times 3 = 18 \times 2

, et aucun multiple commun plus petit n’existe.

Donc

La petite roue aura fait

3

tours, la grande

2

tours.

Deux roues engrenées : les repères se retrouvent après

36

dents.

Exemple — Une conjonction de phénomènes

Un phare émet un éclat toutes les $12$ secondes, un autre toutes les $20$ secondes ; ils viennent d’éclairer ensemble.

On sait que

Les éclats coïncident aux instants multiples de

12

et de

20

Or

12 = 2^{2} \times 3

20 = 2^{2} \times 5

; le plus petit multiple commun est

2^{2} \times 3 \times 5 = 60

Donc

Ils éclaireront de nouveau ensemble au bout d’une minute.

Exemple — Un partage

On veut répartir $84$ crayons et $126$ feutres en lots identiques, sans reste.

On sait que

Le nombre de lots doit être un diviseur commun de

84

et de

126

Or

84 = 2^{2} \times 3 \times 7

126 = 2 \times 3^{2} \times 7

; leurs facteurs communs donnent

2 \times 3 \times 7 = 42

Donc

Au maximum

42

lots, de

2

crayons et

3

feutres chacun.