Troisième

16 chapitres. Tout le cours de l'année en PDF

Arithmétique : nombres premiers et fractions irréductibles
Triangle rectangle : Pythagore, racine carrée et trigonométrie
Calcul littéral : double distributivité et identités remarquables
Statistiques
Équations, équations produits et équation x² = a
Théorème de Thalès et triangles semblables
Notion de fonction : vocabulaire, notations et représentations
Programmation : variables, boucles et blocs personnalisés
Probabilités et simulation
Rotations : frises, pavages et rosaces
Proportionnalité, fonctions linéaires et pourcentages d'évolution
Homothéties, agrandissement-réduction et effet sur les grandeurs
Fonctions affines
Puissances, notation scientifique et ordres de grandeur
Grandeurs composées, volumes et conversions d'unités
Espace : solides, sections planes et repérage sur la sphère

Chapitre 1

Arithmétique : nombres premiers et fractions irréductibles

I - Multiples, diviseurs et division euclidienne

Définition 1

Soient

𝑎

𝑏

deux nombres entiers, avec

𝑎 \neq 0

. Dire que

𝑎

est un diviseur de

𝑏

, c’est dire que

𝑏

est un multiple de

𝑎

: il existe un entier

𝑘

tel que

𝑏 = 𝑘 \times 𝑎

Remarque

Les deux mots décrivent la même situation, vue des deux côtés :

15 = 3 \times 5

signifie à la fois que

3

est un diviseur de

15

et que

15

est un multiple de

3

Exemples

$3$ est un diviseur de $15$ , car $15 = 3 \times 5$ .
$7$ est un diviseur de $21$ , car $21 = 7 \times 3$ .
$1$ est un diviseur de $43$ , car $43 = 1 \times 43$ .
$78$ est un diviseur de $78$ , car $78 = 78 \times 1$ .

Propriété 1

Tout entier

𝑛

non nul admet au moins deux diviseurs :

1

𝑛

Définition 2

Effectuer la division euclidienne d’un entier $𝑏$ par un entier $𝑎 \neq 0$ , c’est trouver les deux entiers $𝑞$ (le quotient) et $𝑟$ (le reste) tels que

𝑏 = 𝑎 \times 𝑞 + 𝑟 avec 0 \leq 𝑟 < 𝑎 .

La division euclidienne posée : le quotient au-dessous du diviseur, le reste en bas.

Propriété 2

𝑎

est un diviseur de

𝑏

si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de

𝑏

par

𝑎

est nul.

Méthode 1 — Chercher tous les diviseurs d'un entier

Essayer les diviseurs $1, 2, 3, \dots$ dans l’ordre croissant.
Chaque fois qu’un diviseur $𝑑$ convient, noter aussi le diviseur associé $𝑛 \div 𝑑$ : les diviseurs vont par paires.
S’arrêter dès que $𝑑 \times 𝑑$ dépasse $𝑛$ : au-delà, on retrouverait les mêmes paires dans l’autre sens.

Exemple — Les diviseurs de 36

$36 = 1 \times 36 = 2 \times 18 = 3 \times 12 = 4 \times 9 = 6 \times 6$ .

Comme $7 \times 7 = 49 > 36$ , la recherche est terminée : les diviseurs de $36$ sont $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $6$ , $9$ , $12$ , $18$ et $36$ .

II - Critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10

Propriétés — Critères de divisibilité

Divisible par	Critère	Exemples
$2$	le chiffre des unités est $0$ , $2$ , $4$ , $6$ ou $8$	$174$ $175$
$3$	la somme des chiffres est divisible par $3$	$174 \to 1 + 7 + 4 = 12$ $175 \to 1 + 7 + 5 = 13$
$5$	le chiffre des unités est $0$ ou $5$	$175$ $174$
$9$	la somme des chiffres est divisible par $9$	$549 \to 5 + 4 + 9 = 18$ $174 \to 1 + 7 + 4 = 12$
$10$	le chiffre des unités est $0$	$1 740$ $174$

Remarque

Un nombre divisible par

9

est toujours divisible par

3

, puisque

9 = 3 \times 3

; la réciproque est fausse, comme le montre

12

. De même, un nombre divisible par

10

est divisible par

2

et par

5

Exemple — Un nombre passé au crible des critères

Prenons $2 340$ :

il se termine par $0$ , donc il est divisible par $2$ , par $5$ et par $10$ ;
$2 + 3 + 4 + 0 = 9$ , donc il est divisible par $3$ et par $9$ .

III - Nombres premiers

Définition 3

Un entier est premier s’il est supérieur ou égal à

2

et s’il n’a que deux diviseurs :

1

et lui-même. Sinon, il est dit composé.

Remarque

1

n’est pas un nombre premier : il n’a qu’un seul diviseur, lui-même. Ce n’est pas un caprice de vocabulaire, mais la condition pour que la décomposition de la partie suivante soit unique.

Exemples

$17$ est premier : il ne s’écrit que $1 \times 17$ .
$15$ est composé : $15 = 3 \times 5$ .
$24$ est composé : $24 = 2 \times 12 = 3 \times 8 = 4 \times 6$ .

Protocole — Le crible d'Ératosthène

Écrire les entiers de $1$ à $100$ dans un tableau de dix colonnes.
Barrer $1$ , qui n’est pas premier.
Entourer $2$ , puis barrer tous les autres multiples de $2$ .
Recommencer avec le premier nombre non barré suivant : $3$ , puis $5$ , puis $7$ .
$11 \times 11 = 121 > 100$ : tout ce qui reste est premier.

Les multiples de

2

3

5

7

barrés ; il reste les nombres premiers.

Les $25$ nombres premiers inférieurs à $100$ sont à connaitre :

Formule

2

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

53

59

61

67

71

73

79

83

89

97

Méthode 2 — Décider si un nombre est premier

Essayer de le diviser par les nombres premiers successifs

2

3

5

7

11

, … et s’arrêter dès que le carré du diviseur essayé dépasse le nombre.

Exemple

131

est-il premier ? Il n’est divisible ni par

2

(il est impair), ni par

3

(

1 + 3 + 1 = 5

), ni par

5

(il ne finit ni par

0

ni par

5

), ni par

7

(

131 = 7 \times 18 + 5

), ni par

11

(

131 = 11 \times 11 + 10

). Comme

13 \times 13 = 169 > 131

, la recherche s’arrête :

131

est premier.

IV - Décomposition en produit de facteurs premiers

Théorème 1 — Théorème fondamental de l'arithmétique

Tout entier supérieur ou égal à

2

s’écrit comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est unique à l’ordre des facteurs près.

Méthode 3 — Décomposer à la main

Diviser le nombre par le plus petit nombre premier qui le divise.
Recommencer avec le quotient obtenu.
S’arrêter quand le quotient vaut $1$ : les diviseurs utilisés sont les facteurs premiers cherchés.

La décomposition de

360

posée en potence.

La même décomposition présentée en arbre : chaque nombre composé est cassé en deux facteurs.

Exemples

$219 = 3 \times 73$
$110 = 2 \times 5 \times 11$
$625 = 5 \times 5 \times 5 \times 5$
$360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5$

Notation

Un facteur répété s’écrit avec un exposant :

625 = 5^{4}

360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5

Protocole — Décomposer avec un tableur

En A1, écrire le nombre à décomposer.
En B1, écrire =A1/2, et recopier la formule vers le bas tant que le résultat est entier.
Changer de diviseur dès qu’un résultat n’est plus entier.
La fonction =MOD(A1;2) donne le reste : elle vaut $0$ exactement quand la division tombe juste.

Protocole — Décomposer avec un programme

Le même travail s’écrit avec une boucle :

d ← 2

tant que n > 1 :

····si le reste de n par d est 0 :

········afficher d

········n ← n / d

····sinon :

········d ← d + 1

V - Fractions égales et fraction irréductible

Propriété 4

Une fraction ne change pas de valeur quand on multiplie, ou quand on divise, son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul :

\frac{𝑎}{𝑏} = \frac{𝑎 \times 𝑘}{𝑏 \times 𝑘} et \frac{𝑎}{𝑏} = \frac{𝑎 \div 𝑘}{𝑏 \div 𝑘} .

Deux écritures différentes d’une même fraction.

Définition 4

Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont plus aucun diviseur commun autre que

1

: elle ne peut plus être simplifiée.

Méthode 4 — Rendre une fraction irréductible

Décomposer le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers.
Barrer les facteurs communs aux deux.
Effectuer les produits restants.

Exemple

\frac{66}{30} = \frac{2 \times 3 \times 11}{2 \times 3 \times 5} = \frac{11}{5} .

Comme $11$ et $5$ sont premiers, la fraction $\frac{11}{5}$ est irréductible.

Exemple

\frac{12}{51} = \frac{2 \times 2 \times 3}{3 \times 17} = \frac{4}{17} .

Remarque

Les critères de divisibilité suffisent souvent :

12

51

ont leurs sommes de chiffres divisibles par

3

, donc on peut diviser les deux par

3

sans décomposer complètement.

Propriété 5

Deux fractions

\frac{𝑎}{𝑏}

\frac{𝑐}{𝑑}

sont égales si, et seulement si,

𝑎 \times 𝑑 = 𝑏 \times 𝑐

Exemple

\frac{12}{18} et \frac{26}{39} : 12 \times 39 = 468 et 18 \times 26 = 468,

donc ces deux fractions sont égales — elles valent toutes deux $\frac{2}{3}$ .

VI - Problèmes de divisibilité

Exemple — Des engrenages

Une roue de $12$ dents engrène avec une roue de $18$ dents ; un repère est tracé sur chacune, les deux repères se faisant face au départ.

On sait que

Les repères se retrouvent face à face lorsque le nombre de dents passées est à la fois un multiple de

12

et un multiple de

18

Or

36 = 12 \times 3 = 18 \times 2

, et aucun multiple commun plus petit n’existe.

Donc

La petite roue aura fait

3

tours, la grande

2

tours.

Deux roues engrenées : les repères se retrouvent après

36

dents.

Exemple — Une conjonction de phénomènes

Un phare émet un éclat toutes les $12$ secondes, un autre toutes les $20$ secondes ; ils viennent d’éclairer ensemble.

On sait que

Les éclats coïncident aux instants multiples de

12

et de

20

Or

12 = 2^{2} \times 3

20 = 2^{2} \times 5

; le plus petit multiple commun est

2^{2} \times 3 \times 5 = 60

Donc

Ils éclaireront de nouveau ensemble au bout d’une minute.

Exemple — Un partage

On veut répartir $84$ crayons et $126$ feutres en lots identiques, sans reste.

On sait que

Le nombre de lots doit être un diviseur commun de

84

et de

126

Or

84 = 2^{2} \times 3 \times 7

126 = 2 \times 3^{2} \times 7

; leurs facteurs communs donnent

2 \times 3 \times 7 = 42

Donc

Au maximum

42

lots, de

2

crayons et

3

feutres chacun.

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Chapitre 2

Triangle rectangle : Pythagore, racine carrée et trigonométrie

I - Racine carrée d’un nombre

Définition 1

Le carré d’un nombre est ce nombre multiplié par lui-même. Il se note avec un

2

en exposant :

𝑎^{2} = 𝑎 \times 𝑎

Définition 2

Soit $𝑎$ un nombre positif. La racine carrée de $𝑎$ , notée $\sqrt{𝑎}$ , est le nombre positif dont le carré vaut $𝑎$ :

\sqrt{𝑎} \geq 0 et {(\sqrt{𝑎})}^{2} = 𝑎 .

Remarque

Prendre la racine carrée est l’opération réciproque d’élever au carré, comme soustraire l’est d’additionner. Un nombre négatif n’a pas de racine carrée : aucun carré n’est négatif.

Un carré d’aire

49

a pour côté

\sqrt{49} = 7

Exemples

$\sqrt{144} = 12$ , car $12 \times 12 = 144$ .
$\sqrt{64} = 8$ , car $8 \times 8 = 64$ .
$\sqrt{2,25} = 1,5$ , car $1,5 \times 1,5 = 2,25$ .
$\sqrt{0} = 0$ et $\sqrt{1} = 1$ .

Les carrés parfaits de $1$ à $144$ sont à connaitre par cœur :

Formule

$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$	$49$	$64$	$81$	$100$	$121$	$144$

Définition 3

Un nombre entier est un carré parfait lorsque sa racine carrée est un entier.

Méthode 1 — Valeur exacte, valeur approchée

Quand

𝑎

n’est pas un carré parfait,

\sqrt{𝑎}

ne s’écrit pas exactement avec des chiffres : on garde

\sqrt{𝑎}

comme valeur exacte, et la calculatrice en donne une valeur approchée.

\sqrt{10}

est coincé entre

3

4

, puisque

9 < 10 < 16

Exemple

3^{2} = 9

4^{2} = 16

; comme

9 < 10 < 16

, on a

3 < \sqrt{10} < 4

. La calculatrice affiche

\sqrt{10} \approx 3,162

Écrire $\sqrt{10} = 3,16$ est faux : le signe $\approx$ est obligatoire dès qu’on arrondit.

II - Théorème de Pythagore

Définition 4

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.

Propriété 1

L’hypoténuse est toujours le plus long des trois côtés.

L’hypoténuse se lit sur la figure : c’est le côté qui fait face à l’angle droit, quelle que soit la position du triangle.

Théorème 1 — Théorème de Pythagore

Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Autrement dit, si $𝐴 𝐵 𝐶$ est rectangle en $𝐴$ , alors

𝐵 𝐶^{2} = 𝐴 𝐵^{2} + 𝐴 𝐶^{2} .

Sur un triangle rectangle de côtés

3

4

: les carrés construits sur les côtés de l’angle droit totalisent exactement le carré de l’hypoténuse.

Méthode 2 — Calculer l'hypoténuse

Repérer l’angle droit, donc l’hypoténuse.
Écrire l’égalité de Pythagore.
Remplacer par les longueurs connues et calculer les carrés.
Prendre la racine carrée du résultat.

Les deux côtés de l’angle droit sont connus : on cherche l’hypoténuse.

Exemple — Chercher l'hypoténuse

On sait que

𝐴 𝐵 𝐶

est rectangle en

𝐴

, avec

𝐴 𝐵 = 3

cm et

𝐴 𝐶 = 4

cm.

Or

D’après le théorème de Pythagore,

𝐵 𝐶^{2} = 𝐴 𝐵^{2} + 𝐴 𝐶^{2}

Donc

\begin{aligned} 𝐵 𝐶^{2} & = 3^{2} + 4^{2} \\ 𝐵 𝐶^{2} & = 9 + 16 \\ 𝐵 𝐶^{2} & = 25 \\ 𝐵 𝐶 & = \sqrt{25} = 5 cm. \end{aligned}

Méthode 3 — Calculer un côté de l'angle droit

L’égalité s’écrit toujours dans le même sens, mais c’est une soustraction qui la résout : le carré cherché est celui de l’hypoténuse moins l’autre.

L’hypoténuse et un côté de l’angle droit sont connus : on cherche le troisième côté.

Exemple — Chercher un côté de l'angle droit

On sait que

𝐴 𝐵 𝐶

est rectangle en

𝐴

, avec

𝐵 𝐶 = 29

cm et

𝐴 𝐵 = 20

cm.

Or

D’après le théorème de Pythagore,

𝐵 𝐶^{2} = 𝐴 𝐵^{2} + 𝐴 𝐶^{2}

Donc

\begin{aligned} 𝐴 𝐶^{2} & = 𝐵 𝐶^{2} - 𝐴 𝐵^{2} \\ 𝐴 𝐶^{2} & = 29^{2} - 20^{2} \\ 𝐴 𝐶^{2} & = 841 - 400 \\ 𝐴 𝐶^{2} & = 441 \\ 𝐴 𝐶 & = \sqrt{441} = 21 cm. \end{aligned}

Remarque

Le résultat n’est pas toujours entier. Pour

𝐴 𝐵 = 5

𝐴 𝐶 = 7

𝐵 𝐶^{2} = 25 + 49 = 74

, donc

𝐵 𝐶 = \sqrt{74} \approx 8,6

cm.

III - Réciproque du théorème de Pythagore

Théorème 2 — Réciproque du théorème de Pythagore

Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres, alors ce triangle est rectangle, et son angle droit est opposé au plus grand côté.

Remarque

Le théorème sert à calculer une longueur dans un triangle dont on sait qu’il est rectangle ; sa réciproque sert à démontrer qu’un triangle est rectangle. Ce ne sont pas les mêmes usages.

Méthode 4 — Déterminer la nature d'un triangle

Repérer le plus grand côté.
Calculer son carré d’un côté.
Calculer la somme des carrés des deux autres, de l’autre côté.
Comparer : égalité, le triangle est rectangle ; sinon, il ne l’est pas.

Les trois longueurs sont connues : l’angle droit reste à démontrer.

Exemple — Un triangle rectangle

$𝑀 𝑁 𝑃$ a pour côtés $𝑀 𝑁 = 6$ cm, $𝑁 𝑃 = 8$ cm et $𝑀 𝑃 = 10$ cm.

On sait que

Le plus grand côté est

[𝑀 𝑃]

Or

𝑀 𝑃^{2} = 10^{2} = 100

𝑀 𝑁^{2} + 𝑁 𝑃^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100

Donc

Ces deux résultats sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Pythagore,

𝑀 𝑁 𝑃

est rectangle en

𝑁

Exemple — Un triangle qui ne l'est pas

$𝑅 𝑆 𝑇$ a pour côtés $𝑅 𝑆 = 5$ cm, $𝑆 𝑇 = 6$ cm et $𝑅 𝑇 = 8$ cm.

On sait que

Le plus grand côté est

[𝑅 𝑇]

Or

𝑅 𝑇^{2} = 64

, tandis que

𝑅 𝑆^{2} + 𝑆 𝑇^{2} = 25 + 36 = 61

Donc

64 \neq 61

: le triangle

𝑅 𝑆 𝑇

n’est pas rectangle.

IV - Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu

Le théorème de Pythagore relie les trois longueurs d’un triangle rectangle. La trigonométrie, elle, relie les longueurs aux angles.

Définitions

Dans un triangle rectangle, chaque angle aigu détermine trois côtés :

l’hypoténuse, toujours la même, opposée à l’angle droit ;
le côté adjacent à l’angle, celui qui le borde ;
le côté opposé à l’angle, celui qui lui fait face.

Les trois côtés vus depuis l’angle en

𝐵

La même figure vue depuis l’angle en

𝐶

: adjacent et opposé ont échangé leurs rôles.

« Adjacent » et « opposé » ne sont pas des propriétés du côté, mais du couple formé par le côté et l’angle choisi.

Définitions

Soit $𝑥$ un angle aigu d’un triangle rectangle. On pose

cos 𝑥 = \frac{côté adjacent}{hypoténuse}, sin 𝑥 = \frac{côté opposé}{hypoténuse}, tan 𝑥 = \frac{côté opposé}{côté adjacent} .

Méthode 5 — Retenir les trois quotients

Le moyen mnémotechnique usuel se lit en trois syllabes : CAH — SOH — TOA, soit Cosinus = Adjacent / Hypoténuse, Sinus = Opposé / Hypoténuse, Tangente = Opposé / Adjacent.

Propriétés

Pour tout angle aigu $𝑥$ :

0 < cos 𝑥 < 1 et 0 < sin 𝑥 < 1 .

Un cosinus supérieur à $1$ signale une erreur de calcul.

Remarque

Ces trois nombres ne dépendent que de la mesure de l’angle, pas de la taille du triangle : deux triangles rectangles ayant le même angle aigu ont les mêmes cosinus, sinus et tangente.

V - Calculer une longueur, calculer une mesure d’angle

Méthode 6 — Choisir la bonne ligne trigonométrique

Repérer l’angle sur lequel on travaille, et nommer les trois côtés relativement à lui.
Entourer les deux côtés qui interviennent : celui qu’on connait et celui qu’on cherche.
Choisir le quotient qui met en jeu exactement ces deux côtés.

Exemple — Calculer une longueur

Dans $𝐴 𝐵 𝐶$ rectangle en $𝐴$ , on donne $𝐵 𝐶 = 7$ cm et $\hat{𝐴 𝐵 𝐶} = 40 °$ . On cherche $𝐴 𝐵$ .

On sait que

Vu de l’angle en

𝐵

[𝐴 𝐵]

est le côté adjacent et

[𝐵 𝐶]

l’hypoténuse.

Or

cos 40 ° = \frac{𝐴 𝐵}{𝐵 𝐶}

Donc

𝐴 𝐵 = 7 \times cos 40 ° \approx 5,4

cm.

Exemple — Calculer une mesure d'angle

Dans $𝐴 𝐵 𝐶$ rectangle en $𝐴$ , on donne $𝐴 𝐵 = 3$ cm et $𝐵 𝐶 = 5$ cm. On cherche la mesure de l’angle en $𝐵$ .

On sait que

[𝐴 𝐵]

est le côté adjacent à cet angle,

[𝐵 𝐶]

est l’hypoténuse.

Or

cos \hat{𝐴 𝐵 𝐶} = \frac{3}{5} = 0,6

Donc

La touche

{cos}^{- 1}

de la calculatrice donne

\hat{𝐴 𝐵 𝐶} \approx 53 °

Protocole — Sur la calculatrice

Vérifier que la calculatrice est en mode degré (DEG à l’écran).
Pour une longueur : utiliser les touches cos, sin, tan.
Pour un angle : utiliser les touches cos⁻¹, sin⁻¹, tan⁻¹, souvent accessibles avec la touche 2nde.

VI - Problèmes mêlant Pythagore et trigonométrie

Une échelle de

4

m appuyée contre un mur, faisant un angle de

70 °

avec le sol.

Exemple — L'échelle

On sait que

Le triangle formé par le sol, le mur et l’échelle est rectangle ; l’échelle en est l’hypoténuse.

Or

sin 70 ° = \frac{ℎ}{4}

cos 70 ° = \frac{𝑑}{4}

Donc

La hauteur atteinte est

ℎ = 4 \times sin 70 ° \approx 3,8

m, et le pied de l’échelle est à

𝑑 = 4 \times cos 70 ° \approx 1,4

m du mur.

Remarque

Le contrôle de vraisemblance est immédiat : la hauteur atteinte doit être inférieure à la longueur de l’échelle. Une valeur supérieure à

4

m signalerait une erreur de touche.

Exemple — La diagonale d'un rectangle

Un écran rectangulaire mesure $60$ cm sur $34$ cm.

On sait que

La diagonale est l’hypoténuse d’un triangle rectangle de côtés

60

34

Or

𝑑^{2} = 60^{2} + 34^{2} = 3600 + 1156 = 4756

Donc

𝑑 = \sqrt{4756} \approx 69

cm, soit environ

27

pouces.

Exemple — Une rampe d'accès

Une rampe doit franchir une marche de $12$ cm de haut avec une pente d’au plus $5 °$ .

On sait que

La hauteur est le côté opposé à l’angle de pente, la longueur de la rampe en est l’hypoténuse.

Or

sin 5 ° = \frac{12}{𝐿}

, donc

𝐿 = \frac{12}{sin 5 °}

Donc

𝐿 \approx 138

cm : il faut une rampe d’au moins

1,38

Méthode 7 — Rédiger une résolution

Toute réponse s’appuie sur trois temps : ce qu’on sait de la figure, la propriété invoquée, puis la conclusion chiffrée avec son unité. Les valeurs approchées gardent le signe

\approx

et un arrondi annoncé.

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Chapitre 3

Calcul littéral : double distributivité et identités remarquables

I - Structure d’une expression : somme ou produit

Définition 1

La structure d’une expression littérale, c’est la dernière opération qu’on effectuerait pour la calculer : une expression est une somme ou un produit.

Méthode 1 — Reconnaitre la structure

Repérer les parenthèses : ce qu’elles contiennent forme un bloc.
Chercher, hors des parenthèses, l’opération de plus faible priorité.
Une addition ou une soustraction hors parenthèses : c’est une somme. Sinon, c’est un produit.

Exemples

$3 𝑥 + 5$ est une somme de deux termes : $3 𝑥$ et $5$ .
$3 (𝑥 + 5)$ est un produit de deux facteurs : $3$ et $(𝑥 + 5)$ .
$(𝑥 + 2) (𝑥 - 7)$ est un produit.
$(𝑥 + 2) + 𝑥^{2}$ est une somme.
$2 𝑥^{2} - 5 𝑥 + 1$ est une somme de trois termes.

Remarque

Cette lecture commande tout le chapitre : développer, c’est transformer un produit en somme ; factoriser, c’est transformer une somme en produit.

Définition 2

Réduire une expression, c’est l’écrire avec le moins de termes possible, en regroupant les termes semblables — ceux qui ont la même partie littérale.

Exemples

$5 𝑥 + 3 𝑥 = 8 𝑥$
$7 𝑥^{2} - 2 𝑥^{2} = 5 𝑥^{2}$
$4 𝑥 + 3 + 2 𝑥 - 8 = 6 𝑥 - 5$
$3 𝑥 + 2 𝑥^{2}$ ne se réduit pas : $𝑥$ et $𝑥^{2}$ ne sont pas semblables.

Convention

On n’écrit ni le signe

\times

devant une lettre ou une parenthèse, ni le coefficient

1

3 \times 𝑥

s’écrit

3 𝑥

, et

1 \times 𝑥

s’écrit

𝑥

II - Opposé d’une expression littérale

Définition 3

L’opposé d’une expression

𝐴

est l’expression

- 𝐴

, celle qu’il faut lui ajouter pour obtenir

0

Propriété 1

L’opposé d’une somme s’obtient en changeant le signe de chaque terme :

- (𝑎 + 𝑏) = - 𝑎 - 𝑏 et - (𝑎 - 𝑏) = - 𝑎 + 𝑏 .

Exemples

L’opposé de $3 𝑥 + 5$ est $- 3 𝑥 - 5$ .
L’opposé de $2 𝑥 - 7$ est $- 2 𝑥 + 7$ .
L’opposé de $- 𝑥^{2} + 4 𝑥 - 1$ est $𝑥^{2} - 4 𝑥 + 1$ .

L’erreur la plus fréquente du chapitre consiste à ne changer que le premier signe : $- (2 𝑥 - 7)$ vaut $- 2 𝑥 + 7$ , jamais $- 2 𝑥 - 7$ .

Exemple — Supprimer une parenthèse précédée d'un moins

3 (2 𝑥 + 1) - (6 - 𝑥) = 6 𝑥 + 3 - 6 + 𝑥 = 7 𝑥 - 3 .

III - Simple distributivité : développer et factoriser

Propriété 2 — Simple distributivité

Pour tous nombres $𝑘$ , $𝑎$ et $𝑏$ :

𝑘 (𝑎 + 𝑏) = 𝑘 𝑎 + 𝑘 𝑏 et 𝑘 (𝑎 - 𝑏) = 𝑘 𝑎 - 𝑘 𝑏 .

Lue de gauche à droite, l’égalité développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.

Le rectangle de largeur

𝑘

et de longueur

𝑎 + 𝑏

se coupe en deux : son aire s’écrit des deux façons.

Exemples — Développer

$5 (𝑥 + 3) = 5 𝑥 + 15$
$- 4 𝑥 (6 - 3 𝑥) = - 24 𝑥 + 12 𝑥^{2}$
$3 (2 𝑥 + 1) - 2 (𝑥 - 4) = 6 𝑥 + 3 - 2 𝑥 + 8 = 4 𝑥 + 11$

Méthode 2 — Factoriser avec un facteur commun

Repérer le facteur commun à tous les termes de la somme.
L’écrire devant une parenthèse.
Dans la parenthèse, écrire ce qui reste de chaque terme.

Exemples — Factoriser

$6 𝑥 + 15 = 3 (2 𝑥 + 5)$
$𝑥^{2} - 7 𝑥 = 𝑥 (𝑥 - 7)$
$(𝑥 + 1) (𝑥 + 4) + (𝑥 + 1) (2 𝑥 - 3) = (𝑥 + 1) (3 𝑥 + 1)$ , le facteur commun étant la parenthèse $(𝑥 + 1)$ .

IV - Double distributivité

Propriété 3 — Double distributivité

Pour tous nombres $𝑎$ , $𝑏$ , $𝑐$ et $𝑑$ :

(𝑎 + 𝑏) (𝑐 + 𝑑) = 𝑎 𝑐 + 𝑎 𝑑 + 𝑏 𝑐 + 𝑏 𝑑 .

Pour mieux comprendre

Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde : il y a donc toujours quatre produits à écrire avant de réduire.

Le rectangle de dimensions

𝑎 + 𝑏

𝑐 + 𝑑

se découpe en quatre : une aire par produit.

Exemples

$(𝑥 + 2) (𝑥 + 5) = 𝑥^{2} + 5 𝑥 + 2 𝑥 + 10 = 𝑥^{2} + 7 𝑥 + 10$
$(2 𝑥 - 3) (5 𝑥 + 7) = 10 𝑥^{2} + 14 𝑥 - 15 𝑥 - 21 = 10 𝑥^{2} - 𝑥 - 21$
$(𝑥 - 4) (𝑥 - 1) = 𝑥^{2} - 𝑥 - 4 𝑥 + 4 = 𝑥^{2} - 5 𝑥 + 4$

Méthode 3 — Contrôler un développement

Remplacer

𝑥

par un nombre simple, par exemple

1

2

, dans l’expression de départ et dans le résultat : les deux valeurs doivent coïncider.

Exemple

Pour

(𝑥 + 2) (𝑥 + 5) = 𝑥^{2} + 7 𝑥 + 10

, prenons

𝑥 = 1

: à gauche

3 \times 6 = 18

, à droite

1 + 7 + 10 = 18

cohérent.

V - Identités remarquables

Formules — Les trois identités remarquables

\begin{aligned} {(𝑎 + 𝑏)}^{2} & = 𝑎^{2} + 2 𝑎 𝑏 + 𝑏^{2} \\ {(𝑎 - 𝑏)}^{2} & = 𝑎^{2} - 2 𝑎 𝑏 + 𝑏^{2} \\ (𝑎 + 𝑏) (𝑎 - 𝑏) & = 𝑎^{2} - 𝑏^{2} \end{aligned}

{(𝑎 + 𝑏)}^{2}

: le carré de côté

𝑎 + 𝑏

contient

𝑎^{2}

𝑏^{2}

et deux rectangles

𝑎 𝑏

{(𝑎 - 𝑏)}^{2}

: ce qui reste du carré de côté

𝑎

quand on retire deux bandes — le coin

𝑏^{2}

, retiré deux fois, doit être rajouté.

${(𝑎 + 𝑏)}^{2}$ n’est pas $𝑎^{2} + 𝑏^{2}$ : le double produit $2 𝑎 𝑏$ manque. Pour $𝑎 = 3$ et $𝑏 = 4$ : ${(3 + 4)}^{2} = 49$ , alors que $9 + 16 = 25$ .

Exemples — Développer

${(𝑥 + 6)}^{2} = 𝑥^{2} + 12 𝑥 + 36$
${(2 𝑥 - 5)}^{2} = 4 𝑥^{2} - 20 𝑥 + 25$
$(𝑥 + 6) (𝑥 - 6) = 𝑥^{2} - 36$
$(2 𝑥 - 5) (2 𝑥 + 5) = 4 𝑥^{2} - 25$

Remarque

La troisième identité fait disparaitre le terme en

𝑥

: c’est la seule dont le développement n’a que deux termes.

VI - Factoriser une expression de la forme $𝑎^{2} - 𝑏^{2}$

L’équerre

𝑎^{2} - 𝑏^{2}

, recoupée puis recollée, forme le rectangle

(𝑎 + 𝑏) (𝑎 - 𝑏)

Méthode 4 — Reconnaitre une différence de deux carrés

Vérifier que l’expression est une soustraction.
Écrire chacun des deux termes comme un carré : $𝑎^{2}$ et $𝑏^{2}$ .
Appliquer $𝑎^{2} - 𝑏^{2} = (𝑎 + 𝑏) (𝑎 - 𝑏)$ .

Exemples

$𝑥^{2} - 64 = 𝑥^{2} - 8^{2} = (𝑥 + 8) (𝑥 - 8)$
$4 𝑥^{2} - 49 = {(2 𝑥)}^{2} - 7^{2} = (2 𝑥 + 7) (2 𝑥 - 7)$
$25 - 𝑥^{2} = 5^{2} - 𝑥^{2} = (5 + 𝑥) (5 - 𝑥)$
${(𝑥 + 1)}^{2} - 9 = {(𝑥 + 1)}^{2} - 3^{2} = (𝑥 + 4) (𝑥 - 2)$

Remarque

Une somme de deux carrés, comme

𝑥^{2} + 9

, ne se factorise pas de cette façon.

VII - Démontrer par le calcul littéral

Une vérification sur quelques nombres ne prouve rien : la lettre, elle, représente tous les nombres à la fois. C’est ce qui fait du calcul littéral un outil de démonstration.

Méthode 5 — Démontrer une propriété générale

Nommer par une lettre le nombre quelconque de l’énoncé.
Traduire l’énoncé par une expression.
Développer, réduire, factoriser jusqu’à faire apparaitre la forme annoncée.

Exemple — La somme de trois entiers consécutifs

On sait que

Trois entiers consécutifs s’écrivent

𝑛 - 1

𝑛

𝑛 + 1

, où

𝑛

est un entier.

Or

Leur somme vaut

(𝑛 - 1) + 𝑛 + (𝑛 + 1) = 3 𝑛

Donc

Cette somme est toujours un multiple de

3

Exemple — La différence des carrés de deux entiers consécutifs

On sait que

Deux entiers consécutifs s’écrivent

𝑛

𝑛 + 1

Or

{(𝑛 + 1)}^{2} - 𝑛^{2} = 𝑛^{2} + 2 𝑛 + 1 - 𝑛^{2} = 2 𝑛 + 1

Donc

Cette différence est toujours un nombre impair — et c’est même la somme des deux entiers.

Méthode 6 — Démontrer l'équivalence de deux programmes de calcul

Choisir une lettre pour le nombre de départ, la même pour les deux programmes.
Traduire chaque programme par une expression.
Développer et réduire les deux : si l’on obtient la même expression, les programmes donnent toujours le même résultat.

Exemple — Deux programmes

Programme A	Programme B
Choisir un nombre.	Choisir un nombre.
Lui ajouter $3$ .	Le multiplier par $2$ .
Multiplier le résultat par $2$ .	Ajouter $8$ au résultat.
Soustraire $2$ .

On sait que

Soit

𝑥

le nombre choisi.

Or

Le programme A donne

2 (𝑥 + 3) - 2 = 2 𝑥 + 6 - 2 = 2 𝑥 + 4

, et le programme B donne

2 𝑥 + 8

Donc

2 𝑥 + 4 \neq 2 𝑥 + 8

: les deux programmes ne donnent jamais le même résultat, ils diffèrent toujours de

4

Exemple — Deux programmes équivalents

Programme C : choisir $𝑥$ , l’augmenter de $5$ , élever au carré, retrancher $25$ .
Programme D : choisir $𝑥$ , l’élever au carré, ajouter $10$ fois le nombre choisi.

On sait que

C donne

{(𝑥 + 5)}^{2} - 25

et D donne

𝑥^{2} + 10 𝑥

Or

{(𝑥 + 5)}^{2} - 25 = 𝑥^{2} + 10 𝑥 + 25 - 25 = 𝑥^{2} + 10 𝑥

Donc

Les deux programmes sont équivalents : ils donnent le même résultat pour tout nombre choisi.

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Chapitre 4

Statistiques

I - Effectifs et fréquences

Vocabulaire

Une étude statistique porte sur une population, dont chaque élément est un individu. On observe sur chacun un caractère, qui prend différentes valeurs.

Définitions

L’effectif d’une valeur est le nombre d’individus qui la présentent.
L’effectif total est le nombre d’individus de la population.
La fréquence d’une valeur est le quotient
$𝑓 = \frac{effectif de la valeur}{effectif total} .$

Remarque

Une fréquence est un nombre compris entre

0

1

; multipliée par

100

, elle s’exprime en pourcentage. La somme de toutes les fréquences vaut

1

, soit

100 %

Exemple — Les notes d'un contrôle

Note	$8$	$10$	$12$	$14$	$16$	Total
Effectif	2	5	8	7	3	25
Fréquence	$0,08$	$0,2$	$0,32$	$0,28$	$0,12$	$1$

La fréquence de la note $12$ vaut $\frac{8}{25} = 0,32$ , soit $32 %$ des élèves.

Méthode 1 — Retrouver un effectif à partir d'une fréquence

L’effectif est le produit de la fréquence par l’effectif total :

effectif = 𝑓 \times effectif total .

II - Indicateurs de position : moyenne et médiane

Définition 2

La moyenne d’une série est le quotient de la somme de toutes les valeurs par l’effectif total.

Formule — Moyenne d'une série donnée par un tableau d'effectifs

𝑥 = \frac{𝑛_{1} 𝑥_{1} + 𝑛_{2} 𝑥_{2} + \dots + 𝑛_{𝑝} 𝑥_{𝑝}}{𝑛_{1} + 𝑛_{2} + \dots + 𝑛_{𝑝}}

où $𝑥_{𝑖}$ sont les valeurs et $𝑛_{𝑖}$ leurs effectifs.

Exemple

Avec le tableau des notes :

𝑥 = \frac{2 \times 8 + 5 \times 10 + 8 \times 12 + 7 \times 14 + 3 \times 16}{25} = \frac{308}{25} = 12,32 .

Définition 3

La médiane d’une série est une valeur qui partage la série rangée dans l’ordre croissant en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.

Méthode 2 — Déterminer la médiane

Ranger toutes les valeurs dans l’ordre croissant, en répétant celles qui apparaissent plusieurs fois.
Si l’effectif est impair, la médiane est la valeur centrale.
S’il est pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales.

Sept valeurs : la médiane est la quatrième.

Huit valeurs : la médiane est la demi-somme de la quatrième et de la cinquième.

Remarque

Moyenne et médiane ne disent pas la même chose. Une valeur très grande tire la moyenne vers le haut sans déplacer la médiane : sur la série

1

2

3

4

200

, la moyenne vaut

42

et la médiane

3

Exemple — Interpréter une médiane

La médiane des notes du contrôle est

12

: au moins la moitié de la classe a obtenu

12

ou moins, au moins la moitié a obtenu

12

ou plus.

III - Étendue d’une série

Définition 4

L’étendue d’une série est la différence entre sa plus grande et sa plus petite valeur.

L’étendue se lit aux deux extrémités de la série rangée.

Remarque

L’étendue est un indicateur de dispersion, et non de position : elle dit si les valeurs sont resserrées ou étalées, pas où elles se situent.

Exemple — Deux séries de même moyenne

Série A	Série B
$9$ , $10$ , $10$ , $10$ , $11$	$2$ , $5$ , $10$ , $15$ , $18$
moyenne $10$ , étendue $2$	moyenne $10$ , étendue $16$

Même moyenne, même médiane, mais des séries très différentes : seule l’étendue le montre.

IV - Regroupement en classes et histogrammes

Quand le caractère prend un grand nombre de valeurs — une taille, une durée, une masse — les lister une à une n’apprend rien. On les regroupe alors en classes.

Définition 5

Une classe est un intervalle de valeurs. Son amplitude est sa largeur. Quand toutes les classes ont la même amplitude, les effectifs sont directement comparables.

Définition 6

Un histogramme représente une série regroupée en classes : à chaque classe correspond un rectangle, dont la largeur est celle de la classe et la hauteur est proportionnelle à l’effectif. Les rectangles sont contigus.

Les tailles de

30

élèves, regroupées en cinq classes de

10

cm.

Un histogramme n’est pas un diagramme en bâtons : les bâtons sont séparés parce que les valeurs sont isolées, les rectangles se touchent parce que les classes se suivent sans trou.

Méthode 3 — Construire un histogramme

Choisir des classes de même amplitude couvrant toutes les valeurs.
Compter l’effectif de chaque classe.
Graduer l’axe horizontal par les bornes des classes.
Tracer un rectangle par classe, de hauteur proportionnelle à l’effectif.

Remarque

Une fois la série regroupée, les valeurs individuelles sont perdues : la moyenne se calcule alors avec le centre de chaque classe, et ne donne qu’une valeur approchée.

V - Lire et interpréter une représentation

Le diagramme en barres : la hauteur de chaque barre est proportionnelle à l’effectif.

Le diagramme circulaire : l’angle de chaque secteur est proportionnel à l’effectif, le tour complet valant

360 °

Méthode 4 — Choisir une représentation

Un diagramme en bâtons convient à un caractère prenant peu de valeurs isolées.
Un diagramme circulaire met en évidence des parts d’un tout.
Un histogramme convient à un caractère regroupé en classes.

Méthode 5 — Lire une série sur un diagramme

Tous les indicateurs se lisent sur n’importe quelle représentation, à condition de reconstituer d’abord le tableau des effectifs : c’est de lui que viennent moyenne, médiane et étendue.

Exemple — Une lecture critique

Un diagramme circulaire montre qu’un candidat obtient un quart des voix ; il ne dit rien du nombre de votants. Un même quart peut représenter

25

voix ou

250 000

VI - Traitement de données à l’aide d’un tableur

Protocole — Les fonctions utiles

Fonction	Ce qu’elle renvoie
`=SOMME(B2:B8)`	la somme des cellules de la plage
`=MOYENNE(B2:B8)`	la moyenne des valeurs
`=MEDIANE(B2:B8)`	la médiane des valeurs
`=MAX(B2:B8)-MIN(B2:B8)`	l’étendue
`=NB(B2:B8)`	l’effectif total

Protocole — Calculer des fréquences

Placer les valeurs en colonne A et les effectifs en colonne B.
En B9, écrire =SOMME(B2:B8) pour l’effectif total.
En C2, écrire =B2/$B$9, puis recopier la formule vers le bas.
Le symbole $ fige la cellule B9 pendant la recopie.

Remarque

Pour une série donnée par un tableau d’effectifs, =MOYENNE ne convient pas : il faut écrire =SOMMEPROD(A2:A8;B2:B8)/SOMME(B2:B8), qui multiplie chaque valeur par son effectif.

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Chapitre 5

Équations, équations produits et équation x² = a

I - Mettre un problème en équation

Définitions

Une équation est une égalité contenant une lettre, appelée l’inconnue. Une solution est une valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie ; résoudre l’équation, c’est trouver toutes ses solutions.

Méthode 1 — Tester si un nombre est solution

Calculer séparément le membre de gauche et le membre de droite en remplaçant l’inconnue par ce nombre.
Comparer les deux résultats : égaux, le nombre est solution ; différents, il ne l’est pas.

Exemple

L’équation $5 𝑥 - 3 = 2 𝑥 + 6$ .

Pour $𝑥 = 3$ : à gauche $5 \times 3 - 3 = 12$ , à droite $2 \times 3 + 6 = 12$ égaux, donc $3$ est solution.
Pour $𝑥 = 1$ : à gauche $2$ , à droite $8$ différents, donc $1$ n’est pas solution.

Méthode 2 — Mettre un problème en équation

Choisir l’inconnue, la nommer et préciser ce qu’elle représente avec son unité.
Traduire l’énoncé par une égalité entre deux expressions.
Résoudre l’équation.
Revenir à la question posée, et contrôler la vraisemblance.

Exemple — Un périmètre

Un rectangle a une longueur qui dépasse sa largeur de $4$ cm, et un périmètre de $36$ cm.

Soit $𝑥$ la largeur, en centimètres. La longueur vaut $𝑥 + 4$ , et le périmètre $2 (𝑥 + 𝑥 + 4) = 36$ , soit $4 𝑥 + 8 = 36$ .

II - Résolution algébrique d’une équation du premier degré

Propriété 1 — Règles de transformation

Une équation garde les mêmes solutions lorsqu’on :

ajoute ou soustrait un même nombre aux deux membres ;
multiplie ou divise les deux membres par un même nombre non nul.

Pour mieux comprendre

Une équation est une balance en équilibre : tant qu’on agit de la même façon des deux côtés, l’équilibre est conservé.

Les deux plateaux se valent : c’est ce que dit le signe

=

Méthode 3 — Résoudre $a x + b = c x + d$

Développer et réduire chaque membre s’il y a des parenthèses.
Rassembler les termes en $𝑥$ dans un membre, les nombres dans l’autre.
Réduire les deux membres.
Diviser par le coefficient de $𝑥$ .
Vérifier la solution dans l’équation de départ.

Exemple — Une résolution complète

\begin{aligned} 5 𝑥 - 3 & = 2 𝑥 + 6 \\ 5 𝑥 - 2 𝑥 - 3 & = 6 \\ 3 𝑥 & = 6 + 3 \\ 3 𝑥 & = 9 \\ 𝑥 & = \frac{9}{3} = 3 \end{aligned}

Vérification : $5 \times 3 - 3 = 12$ et $2 \times 3 + 6 = 12$ cohérent. L’équation a une seule solution : $3$ .

Exemple — Avec des parenthèses

\begin{aligned} 3 (2 𝑥 + 1) - (6 - 𝑥) & = 15 \\ 6 𝑥 + 3 - 6 + 𝑥 & = 15 \\ 7 𝑥 - 3 & = 15 \\ 7 𝑥 & = 18 \\ 𝑥 & = \frac{18}{7} \end{aligned}

La solution n’est pas entière : on la laisse en écriture fractionnaire.

Remarque

Une équation du premier degré peut n’avoir aucune solution (

𝑥 + 1 = 𝑥 + 2

) ou en avoir une infinité (

2 (𝑥 + 1) = 2 𝑥 + 2

). Dans les deux cas, les termes en

𝑥

disparaissent au cours de la résolution.

III - Équations produits

Propriété 2 — Annulation d'un produit

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un au moins de ses facteurs est nul :

𝐴 \times 𝐵 = 0 équivaut à 𝐴 = 0 ou 𝐵 = 0 .

Cette propriété n’a pas d’équivalent pour une autre valeur : de $𝐴 \times 𝐵 = 12$ , on ne peut rien conclure sur $𝐴$ ni sur $𝐵$ .

Définition 2

Une équation produit est une équation dont un membre est un produit de facteurs du premier degré, et l’autre membre

0

L’équation se casse en deux équations du premier degré, chacune donnant une solution.

Méthode 4 — Résoudre une équation produit

Vérifier que l’équation est bien de la forme « produit $= 0$ ».
Écrire que le premier facteur est nul ou que le second l’est.
Résoudre chacune de ces équations.
Conclure en donnant toutes les solutions.

Exemple

(2 𝑥 - 6) (𝑥 + 5) = 0

On sait que

Un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Donc

2 𝑥 - 6 = 0

𝑥 + 5 = 0

, c’est-à-dire

𝑥 = 3

𝑥 = - 5

L’équation a deux solutions : $3$ et $- 5$ .

Méthode 5 — Se ramener à une équation produit

Lorsque l’équation n’est pas donnée sous forme de produit, il faut d’abord tout ramener dans un membre, puis factoriser — souvent grâce à l’identité

𝑎^{2} - 𝑏^{2} = (𝑎 + 𝑏) (𝑎 - 𝑏)

Exemple — Par une différence de deux carrés

\begin{aligned} 𝑥^{2} - 49 & = 0 \\ (𝑥 + 7) (𝑥 - 7) & = 0 \end{aligned}

donc $𝑥 = - 7$ ou $𝑥 = 7$ .

Exemple — Avec un facteur commun

\begin{aligned} (𝑥 - 2) (3 𝑥 + 1) + (𝑥 - 2) (𝑥 - 4) & = 0 \\ (𝑥 - 2) (3 𝑥 + 1 + 𝑥 - 4) & = 0 \\ (𝑥 - 2) (4 𝑥 - 3) & = 0 \end{aligned}

donc $𝑥 = 2$ ou $𝑥 = \frac{3}{4}$ .

IV - Équations de la forme $𝑥^{2} = 𝑎$

Propriété 3

Soit $𝑎$ un nombre. L’équation $𝑥^{2} = 𝑎$ :

n’a aucune solution si $𝑎 < 0$ ;
a une seule solution, $0$ , si $𝑎 = 0$ ;
a deux solutions, $\sqrt{𝑎}$ et $- \sqrt{𝑎}$ , si $𝑎 > 0$ .

Deux nombres opposés ont le même carré : les solutions sont symétriques par rapport à

0

Un carré n’étant jamais négatif, l’équation

𝑥^{2} = - 4

n’a pas de solution.

Oublier la solution négative est l’erreur classique : $𝑥^{2} = 9$ a deux solutions, $3$ et $- 3$ , et non la seule $3$ .

Exemples

$𝑥^{2} = 25$ a pour solutions $5$ et $- 5$ .
$𝑥^{2} = 7$ a pour solutions $\sqrt{7}$ et $- \sqrt{7}$ , soit environ $2,65$ et $- 2,65$ .
$𝑥^{2} = - 1$ n’a pas de solution.
$4 𝑥^{2} = 36$ s’écrit $𝑥^{2} = 9$ : les solutions sont $3$ et $- 3$ .

Remarque

On peut aussi passer par une équation produit :

𝑥^{2} = 25

donne

𝑥^{2} - 25 = 0

, soit

(𝑥 + 5) (𝑥 - 5) = 0

. Les deux méthodes donnent évidemment le même résultat.

V - Résoudre des problèmes

Exemple — Un problème de périmètre

On sait que

Soit

𝑥

la largeur du rectangle, en centimètres : le périmètre s’écrit

4 𝑥 + 8 = 36

Or

4 𝑥 = 28

, donc

𝑥 = 7

Donc

La largeur vaut

7

cm et la longueur

11

cm. Vérification :

2 \times (7 + 11) = 36

cohérent.

Exemple — Un problème d'aire

Quel est le côté d’un carré d’aire $144$ cm² ?

On sait que

Soit

𝑐

le côté, en centimètres :

𝑐^{2} = 144

Or

Les solutions de cette équation sont

12

- 12

Donc

Une longueur étant positive, le côté mesure

12

cm. La solution négative est écartée par le contexte, non par le calcul.

Résoudre une équation et répondre à un problème sont deux choses différentes : certaines solutions de l’équation peuvent être impossibles dans la situation décrite.

Exemple — Un problème de tarifs

Un club propose deux formules : $120$ € d’abonnement puis $2$ € la séance, ou $5$ € la séance sans abonnement. À partir de combien de séances la première est-elle plus avantageuse ?

On sait que

Soit

𝑛

le nombre de séances : les deux formules coutent le même prix lorsque

120 + 2 𝑛 = 5 𝑛

Or

120 = 3 𝑛

, donc

𝑛 = 40

Donc

Au-delà de

40

séances, l’abonnement devient plus avantageux.

Exemple — Un problème de physique

Un objet lâché sans vitesse tombe d’une hauteur $ℎ = 5 𝑡^{2}$ mètres au bout de $𝑡$ secondes. Au bout de combien de temps a-t-il chuté de $45$ m ?

On sait que

5 𝑡^{2} = 45

, donc

𝑡^{2} = 9

Or

Les solutions sont

3

- 3

Donc

Une durée étant positive, la chute dure

3

secondes.

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Chapitre 6

Théorème de Thalès et triangles semblables

I - Le théorème de Thalès dans les triangles emboités

Deux droites sécantes coupées par deux parallèles forment une configuration où toutes les longueurs sont proportionnelles. C’est le contenu du théorème de Thalès.

Les points

𝑀

𝑁

sont du même côté de

𝐴

: les triangles

𝐴 𝑀 𝑁

𝐴 𝐵 𝐶

sont emboités.

Théorème 1 — Théorème de Thalès

Soient deux droites sécantes en $𝐴$ . Soient $𝐵$ et $𝑀$ sur la première, $𝐶$ et $𝑁$ sur la seconde, tous distincts de $𝐴$ .

Si les droites $(𝑀 𝑁)$ et $(𝐵 𝐶)$ sont parallèles, alors

\frac{𝐴 𝑀}{𝐴 𝐵} = \frac{𝐴 𝑁}{𝐴 𝐶} = \frac{𝑀 𝑁}{𝐵 𝐶} .

Les deux premiers quotients se lisent sur la figure : c’est la même fraction du chemin parcouru sur chacune des deux droites. Le troisième quotient, celui des segments parallèles, ne se lit pas de la même façon — il se démontre.

Méthode 1 — Écrire correctement les trois quotients

Repérer le sommet commun $𝐴$ .
Sur chaque numérateur, mettre la longueur du petit triangle ; au dénominateur, celle du grand.
Vérifier que chaque quotient met en jeu deux points alignés avec $𝐴$ , sauf le troisième, formé des deux segments parallèles.

Remarque

L’ordre des lettres est le garde-fou :

\frac{𝐴 𝑀}{𝐴 𝐵}

\frac{𝐴 𝑁}{𝐴 𝐶}

commencent tous deux par

𝐴

, et les points

𝑀

𝐵

sont sur la même droite, comme

𝑁

𝐶

II - La configuration papillon et la réciproque

Les points

𝑀

𝑁

sont de l’autre côté de

𝐴

: la figure prend la forme d’un papillon, mais le théorème s’énonce exactement de la même façon.

Propriété 1

Le théorème de Thalès s’applique à l’identique dans la configuration papillon : seule change la position des points sur les droites, pas l’égalité des quotients.

Théorème 2 — Réciproque du théorème de Thalès

Soient deux droites sécantes en $𝐴$ , avec $𝐵$ et $𝑀$ sur la première, $𝐶$ et $𝑁$ sur la seconde.

Si $\frac{𝐴 𝑀}{𝐴 𝐵} = \frac{𝐴 𝑁}{𝐴 𝐶}$ , et si les points $𝐴$ , $𝑀$ , $𝐵$ d’une part, $𝐴$ , $𝑁$ , $𝐶$ d’autre part, sont dans le même ordre, alors les droites $(𝑀 𝑁)$ et $(𝐵 𝐶)$ sont parallèles.

La condition sur l’ordre des points est indispensable : sans elle, on pourrait conclure au parallélisme à partir d’une figure où $𝑀$ est du côté de $𝐴$ et $𝑁$ de l’autre.

Méthode 2 — Démontrer que deux droites sont parallèles

Vérifier l’alignement et l’ordre des points.
Calculer séparément les deux quotients, en écriture décimale ou fractionnaire.
Les comparer : égaux, les droites sont parallèles ; différents, elles ne le sont pas.

Exemple — Deux droites parallèles

$𝐴 𝑀 = 3$ , $𝐴 𝐵 = 5$ , $𝐴 𝑁 = 4,2$ , $𝐴 𝐶 = 7$ , les points étant dans le même ordre.

On sait que

\frac{𝐴 𝑀}{𝐴 𝐵} = \frac{3}{5} = 0,6

\frac{𝐴 𝑁}{𝐴 𝐶} = \frac{4,2}{7} = 0,6

Or

Ces quotients sont égaux et les points sont dans le même ordre.

Donc

D’après la réciproque du théorème de Thalès,

(𝑀 𝑁)

(𝐵 𝐶)

sont parallèles.

Exemple — Deux droites non parallèles

$𝐴 𝑀 = 3$ , $𝐴 𝐵 = 5$ , $𝐴 𝑁 = 4$ , $𝐴 𝐶 = 7$ .

On sait que

\frac{3}{5} = 0,6

\frac{4}{7} \approx 0,571

Or

Ces deux quotients sont différents.

Donc

Les droites

(𝑀 𝑁)

(𝐵 𝐶)

ne sont pas parallèles. Le théorème de Thalès ne s’applique donc pas à cette figure.

III - Calculs de longueurs

𝐴 𝑀 = 3

cm,

𝑀 𝐵 = 2

cm et

𝑀 𝑁 = 4

cm : le théorème de Thalès donne

𝐵 𝐶

Méthode 3 — Calculer une longueur avec le théorème de Thalès

Vérifier les hypothèses : deux droites sécantes, deux droites parallèles.
Écrire la chaine des trois quotients.
Ne garder que les deux quotients où figure la longueur cherchée.
Résoudre l’égalité obtenue par le produit en croix.

Exemple — Calculer $B C$

On sait que

𝐴 𝑀 𝑁

𝐴 𝐵 𝐶

sont dans une configuration de Thalès, avec

(𝑀 𝑁)

parallèle à

(𝐵 𝐶)

;

𝐴 𝑀 = 3

cm,

𝐴 𝐵 = 3 + 2 = 5

cm et

𝑀 𝑁 = 4

cm.

Or

D’après le théorème de Thalès,

\frac{𝐴 𝑀}{𝐴 𝐵} = \frac{𝑀 𝑁}{𝐵 𝐶}

, soit

\frac{3}{5} = \frac{4}{𝐵 𝐶}

Donc

𝐵 𝐶 = \frac{5 \times 4}{3} = \frac{20}{3} \approx 6,7

cm.

Remarque

L’attention porte sur la longueur

𝐴 𝐵

, qui vaut

5

cm et non

2

cm : la figure donne

𝑀 𝐵

, mais le théorème demande

𝐴 𝐵

Exemple — Un calcul dans la configuration papillon

𝐴 𝑀 = 4

𝐴 𝐵 = 6

𝑀 𝑁 = 5

. En papillon comme en emboités,

\frac{𝐴 𝑀}{𝐴 𝐵} = \frac{𝑀 𝑁}{𝐵 𝐶}

, donc

𝐵 𝐶 = \frac{6 \times 5}{4} = 7,5

Méthode 4 — Mesurer l'inaccessible

La configuration de Thalès permet de calculer une longueur qu’aucun instrument n’atteint : hauteur d’un arbre à partir de son ombre, largeur d’une rivière, distance d’un bâtiment. Il suffit de reconnaitre deux droites sécantes coupées par deux parallèles.

Exemple — La hauteur d'un arbre

Un piquet de $1,5$ m projette une ombre de $2$ m au moment où un arbre en projette une de $16$ m.

On sait que

Les rayons du soleil sont parallèles : le piquet et l’arbre forment deux triangles emboités de même sommet.

Or

\frac{ℎ}{1,5} = \frac{16}{2}

Donc

ℎ = 1,5 \times 8 = 12

IV - Triangles semblables

Définition 1

Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont deux à deux de même mesure.

Propriété 2 — Propriété caractéristique

Deux triangles sont semblables si, et seulement si, les longueurs de leurs côtés sont deux à deux proportionnelles.

𝐷 𝐸 𝐹

est un agrandissement de

𝐴 𝐵 𝐶

de rapport

1,5

: mêmes angles, longueurs proportionnelles.

Définition 2

Le rapport de similitude est le coefficient de proportionnalité entre les longueurs des deux triangles.

Remarque

Deux triangles semblables ont la même forme mais pas nécessairement la même taille. Quand le rapport vaut

1

, ils sont superposables : ils sont alors isométriques.

Propriété 3

Comme la somme des angles d’un triangle vaut

180 °

, il suffit que deux angles soient deux à deux égaux pour que les triangles soient semblables : le troisième l’est alors automatiquement.

V - Démontrer que deux triangles sont semblables

Méthode 5 — Deux voies de démonstration

Par les angles : montrer que deux angles de l’un ont la même mesure que deux angles de l’autre.
Par les longueurs : montrer que les trois quotients des côtés correspondants sont égaux.

Exemple — Par les angles

Dans une configuration de Thalès, $(𝑀 𝑁)$ étant parallèle à $(𝐵 𝐶)$ :

On sait que

Les angles

\hat{𝐴 𝑀 𝑁}

\hat{𝐴 𝐵 𝐶}

sont correspondants, et les droites

(𝑀 𝑁)

(𝐵 𝐶)

sont parallèles.

Or

Deux angles correspondants formés par des droites parallèles ont la même mesure ; l’angle en

𝐴

est commun aux deux triangles.

Donc

Les triangles

𝐴 𝑀 𝑁

𝐴 𝐵 𝐶

sont semblables.

Exemple — Par les longueurs

$𝐴 𝐵 𝐶$ a pour côtés $3$ , $4$ et $5$ ; $𝐷 𝐸 𝐹$ a pour côtés $4,5$ , $6$ et $7,5$ .

On sait que

\frac{4,5}{3} = 1,5

\frac{6}{4} = 1,5

\frac{7,5}{5} = 1,5

Or

Les trois quotients sont égaux.

Donc

Les deux triangles sont semblables, de rapport

1,5

Méthode 6 — Déduire une longueur de la similitude

Repérer les sommets qui se correspondent, en s’aidant des angles égaux.
Écrire les quotients des côtés correspondants, dans le même ordre.
Résoudre par le produit en croix.

Exemple — Calculer une longueur

$𝐴 𝐵 𝐶$ et $𝐷 𝐸 𝐹$ sont semblables, les sommets se correspondant dans cet ordre. On donne $𝐴 𝐵 = 6$ cm, $𝐵 𝐶 = 8$ cm et $𝐷 𝐸 = 9$ cm.

On sait que

\frac{𝐷 𝐸}{𝐴 𝐵} = \frac{𝐸 𝐹}{𝐵 𝐶}

Or

\frac{9}{6} = \frac{𝐸 𝐹}{8}

Donc

𝐸 𝐹 = \frac{8 \times 9}{6} = 12

cm.

Remarque

Le théorème de Thalès n’est qu’un cas particulier de la similitude : les triangles

𝐴 𝑀 𝑁

𝐴 𝐵 𝐶

y sont toujours semblables. Les deux outils répondent à la même question, celle des longueurs proportionnelles en géométrie.

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Chapitre 7

Notion de fonction : vocabulaire, notations et représentations

I - Dépendance entre deux grandeurs

Beaucoup de situations relient deux grandeurs : le prix payé dépend de la quantité achetée, l’aire d’un carré dépend de son côté, la température dépend de l’heure. À chaque valeur de la première correspond une valeur de la seconde, et une seule.

Définition 1

Une fonction est un procédé qui, à un nombre, associe un seul nombre.

Vocabulaire

Le nombre de départ est la variable ; le nombre associé est son image. Réciproquement, le nombre de départ est un antécédent de son image.

Une fonction se comporte comme une machine : un nombre entre, un seul en sort.

« Un seul » est la condition décisive : un nombre a toujours exactement une image, mais il peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

Exemple — Une dépendance qui n'est pas une fonction

Associer à une personne sa taille définit bien une fonction. Associer à une taille une personne n’en définit pas une : plusieurs personnes peuvent avoir la même taille.

II - Notations et vocabulaire

Notation

Une fonction se nomme par une lettre, souvent $𝑓$ , $𝑔$ ou $ℎ$ . On écrit

𝑓 : 𝑥 \mapsto 3 𝑥 + 2,

qui se lit « $𝑓$ est la fonction qui à $𝑥$ associe $3 𝑥 + 2$ ».

Notation

L’image de

𝑥

par

𝑓

se note

𝑓 (𝑥)

, qui se lit «

𝑓

𝑥

». Ce n’est pas un produit.

Exemple

Pour $𝑓 : 𝑥 \mapsto 3 𝑥 + 2$ :

$𝑓 (4) = 3 \times 4 + 2 = 14$ ;
l’image de $4$ par $𝑓$ est $14$ ;
$4$ est un antécédent de $14$ par $𝑓$ .

La même machine, appliquée au nombre

4

Image et antécédent ne se rangent pas dans le même sens : dans $𝑓 (4) = 14$ , le $4$ est l’antécédent, le $14$ est l’image.

III - Les modes de représentation

Une même fonction peut se donner de quatre façons différentes, qui disent toutes la même chose.

Définitions

Un programme de calcul décrit les opérations à effectuer.
Une expression algébrique traduit ce programme en formule.
Un tableau de valeurs donne les images de quelques nombres.
Une représentation graphique donne toutes les images d’un coup, à la précision de la lecture près.

Exemple — Une fonction, quatre représentations

Représentation

La fonction

𝑓 : 𝑥 \mapsto 3 𝑥 + 2

Programme de calcul

choisir un nombre, le multiplier par

3

, ajouter

2

Expression

𝑓 (𝑥) = 3 𝑥 + 2

Tableau de valeurs

$𝑥$	$- 1$	$0$	$2$	$4$
$𝑓 (𝑥)$	$- 1$	$2$	$8$	$14$

Graphique

la courbe des points de coordonnées

(𝑥; 𝑓 (𝑥))

Définition 3

La représentation graphique d’une fonction

𝑓

est l’ensemble des points de coordonnées

(𝑥; 𝑓 (𝑥))

, où

𝑥

parcourt les nombres pour lesquels

𝑓

est définie.

Du tableau de valeurs au graphique : chaque colonne devient un point.

Remarque

Passer d’une représentation à l’autre est l’exercice central du chapitre : du programme à l’expression en nommant le nombre choisi

𝑥

; de l’expression au tableau en calculant ; du tableau au graphique en plaçant les points.

IV - Déterminer l’image d’un nombre

Méthode 1 — Selon la représentation dont on dispose

Par l’expression : remplacer $𝑥$ par le nombre et calculer.
Par le tableau : lire dans la colonne du nombre.
Par le graphique : partir de l’abscisse, monter jusqu’à la courbe, lire l’ordonnée.
Par le programme : exécuter les instructions.

Exemple — Par le calcul

Pour $𝑔 (𝑥) = 𝑥^{2} - 5$ :

$𝑔 (3) = 3^{2} - 5 = 4$ ;
$𝑔 (0) = - 5$ ;
$𝑔 (- 2) = {(- 2)}^{2} - 5 = 4 - 5 = - 1$ .

Le signe moins se met entre parenthèses avant d’élever au carré : ${(- 2)}^{2} = 4$ , alors que $- 2^{2} = - 4$ .

Lecture d’une image : on part de l’axe des abscisses.

V - Déterminer un antécédent

Méthode 2 — Graphiquement

Repérer la valeur cherchée sur l’axe des ordonnées.
Tracer l’horizontale à cette hauteur.
Lire les abscisses de tous ses points d’intersection avec la courbe.

Lecture d’antécédents : on part de l’axe des ordonnées, et il peut y en avoir plusieurs.

Méthode 3 — Dans un tableau de valeurs

Chercher la valeur dans la ligne des images, puis lire le nombre écrit au-dessus. Un tableau ne donne que les antécédents qu’il contient : il ne prouve pas qu’il n’y en a pas d’autres.

Méthode 4 — Algébriquement

Écrire l’équation $𝑓 (𝑥) = 𝑘$ , où $𝑘$ est le nombre dont on cherche les antécédents.
La résoudre.
Chaque solution est un antécédent de $𝑘$ .

Exemple — Un antécédent par le calcul

Cherchons les antécédents de $17$ par $𝑓 : 𝑥 \mapsto 3 𝑥 + 2$ .

On sait que

Il s’agit de résoudre

3 𝑥 + 2 = 17

Or

3 𝑥 = 15

, donc

𝑥 = 5

Donc

17

a un seul antécédent par

𝑓

: le nombre

5

Exemple — Zéro, un ou deux antécédents

Pour $𝑔 (𝑥) = 𝑥^{2}$ :

$9$ a deux antécédents, $3$ et $- 3$ ;
$0$ a un seul antécédent, $0$ ;
$- 4$ n’a aucun antécédent.

VI - Modéliser un phénomène continu

Une fonction sert à décrire un phénomène qui varie sans à-coups : une hauteur d’eau, une distance parcourue, une température. On parle alors de modèle : la fonction ne remplace pas la réalité, elle en donne une description utilisable.

Exemple — Le prix d'un trajet en taxi

Une course coute $4$ € de prise en charge, plus $2$ € par kilomètre.

Le prix $𝑝$ en fonction de la distance $𝑑$ , en kilomètres, s’écrit

𝑝 : 𝑑 \mapsto 2 𝑑 + 4 .

Une course de $7$ km coute $𝑝 (7) = 18$ €. Réciproquement, une course à $24$ € correspond à $2 𝑑 + 4 = 24$ , soit $𝑑 = 10$ km.

Exemple — L'aire d'un carré

L’aire d’un carré de côté

𝑐

est

𝑎 : 𝑐 \mapsto 𝑐^{2}

. Cette fonction n’a de sens que pour

𝑐 > 0

: le modèle a un domaine de validité.

Méthode 5 — Résoudre un problème avec une fonction

Repérer les deux grandeurs, et laquelle dépend de l’autre.
Choisir une lettre pour la variable, et écrire la fonction.
Traduire la question : cherche-t-on une image ou un antécédent ?
Répondre en revenant au contexte, avec l’unité.

Remarque

« Quelle est la valeur pour telle donnée ? » demande une image. « Pour quelle donnée obtient-on telle valeur ? » demande un antécédent, donc une équation.

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Chapitre 8

Programmation : variables, boucles et blocs personnalisés

I - Lire et décrire un assemblage de blocs

Définition 1

Un script est une suite d’instructions exécutées dans l’ordre, de haut en bas. Un programme est l’ensemble des scripts d’un projet.

Vocabulaire

Un bloc porte une couleur selon sa catégorie : évènements, mouvement, contrôle, variables, capteurs. La forme dit comment il s’assemble — un bloc en C contient d’autres blocs.

Méthode 1 — Prévoir le résultat d'un script

Lister les variables et noter leur valeur de départ.
Exécuter les instructions une à une, en tenant à jour un tableau des valeurs.
Ne jamais sauter une instruction : l’ordinateur n’en saute aucune.

Exemple — Une trace d'exécution

Pour le script « mettre $𝑎$ à $5$ ; mettre $𝑏$ à $3$ ; mettre $𝑎$ à $𝑎 + 𝑏$ ; mettre $𝑏$ à $𝑎 - 𝑏$ » :

Instruction	$𝑎$	$𝑏$
mettre $𝑎$ à $5$	$5$	—
mettre $𝑏$ à $3$	$5$	$3$
mettre $𝑎$ à $𝑎 + 𝑏$	$8$	$3$
mettre $𝑏$ à $𝑎 - 𝑏$	$8$	$5$

II - Variables informatiques

Définition 2

Une variable informatique est une case mémoire, désignée par un nom, qui contient une valeur. Cette valeur peut changer au cours de l’exécution.

L’instruction « mettre $𝑎$ à $𝑎 + 1$ » n’est pas une équation : elle se lit « remplacer le contenu de $𝑎$ par sa valeur augmentée de $1$ ». Le signe d’affectation va de la droite vers la gauche.

Méthode 2 — Utiliser une variable

La créer et lui donner un nom qui dit son rôle : score, côté, distance.
L’initialiser avant la première utilisation.
La modifier avec « mettre … à … » ou « ajouter … à … ».

Remarque

Oublier l’initialisation est l’erreur la plus fréquente : la variable garde alors la valeur de l’exécution précédente, et le programme ne donne pas deux fois le même résultat.

III - Les boucles

Définition 3

Une boucle bornée « répéter

𝑛

fois » exécute un groupe d’instructions un nombre de fois connu à l’avance.

Définition 4

Une boucle non bornée « répéter jusqu’à ce que … » exécute un groupe d’instructions tant qu’une condition n’est pas réalisée. Le nombre de tours n’est pas connu à l’avance.

Une boucle non bornée : elle s’arrête quand la condition devient vraie.

Si la condition d’arrêt n’est jamais réalisée, le programme tourne indéfiniment. Toute boucle non bornée demande de vérifier que son corps fait progresser vers l’arrêt.

Exemple — Un polygone régulier

Pour tracer un polygone régulier à

𝑛

côtés, on répète

𝑛

fois : avancer de la longueur du côté, puis tourner de

\frac{360}{𝑛}

degrés. La somme des rotations vaut alors un tour complet.

Méthode 3 — Construire une figure par répétition d'un motif

Isoler le motif élémentaire, celui qui se répète.
L’écrire une fois, en s’assurant qu’il ramène à la position de départ.
L’enfermer dans une boucle, en ajoutant le déplacement ou la rotation qui sépare deux motifs.

IV - Les instructions conditionnelles

Définition 5

Une instruction conditionnelle « si … alors » n’exécute son contenu que lorsque la condition est vraie. La forme « si … alors … sinon » propose deux issues exclusives.

Une boucle bornée contenant un test : à chaque tour, le score n’augmente que si la touche est pressée.

Exemples — Des conditions

si score ⩾ 10 alors dire « gagné »
si la couleur rouge est touchée alors mettre vies à vies − 1
si x < 0 alors dire « négatif » sinon dire « positif ou nul »

Remarque

Une condition est une affirmation qui n’a que deux valeurs possibles : vraie ou fausse. C’est ce qui distingue le test = de l’affectation.

V - Décomposer un problème : le bloc personnalisé

Un programme long devient illisible. La solution est la même qu’en mathématiques : découper le problème en sous-problèmes, et donner un nom à chacun.

Définition 6

Un bloc personnalisé est une suite d’instructions à laquelle on donne un nom. Une fois défini, il s’utilise comme n’importe quel autre bloc, autant de fois que nécessaire.

Le bloc carré est défini une seule fois, avec un paramètre ; le script principal l’appelle six fois pour dessiner une rosace.

Définition 7

Un paramètre est une variable propre au bloc, dont la valeur est fournie au moment de l’appel. C’est lui qui rend le bloc réutilisable.

Méthode 4 — Créer un bloc personnalisé

Repérer un groupe d’instructions qui revient, ou qui a un sens à lui seul.
Lui donner un nom qui dit ce qu’il fait, à l’infinitif ou par un nom d’objet.
Ajouter un paramètre pour ce qui change d’un appel à l’autre.
Remplacer chaque occurrence par un appel au bloc.

Remarque

Un bloc personnalisé rend le programme plus court, plus lisible, et surtout plus facile à corriger : la modification se fait à un seul endroit.

VI - Scripts en parallèle et évènements

Définition 8

Un évènement déclenche un script : le clic sur le drapeau, l’appui sur une touche, la réception d’un message, un contact entre deux objets.

Deux scripts indépendants, déclenchés par deux évènements différents et actifs en même temps.

Définition 9

Deux scripts s’exécutent en parallèle lorsqu’ils avancent tous les deux, chacun à son rythme, sans que l’un attende l’autre.

Exemple — Un jeu simple

Script 1 : quand le drapeau est cliqué, répéter indéfiniment, avancer et rebondir sur les bords.
Script 2 : quand la flèche droite est pressée, tourner de $15$ degrés.
Script 3 : quand le lutin touche le bord rouge, jouer un son et arrêter tout.

Les trois cohabitent : le premier fait vivre le jeu, les deux autres réagissent aux actions du joueur.

Méthode 5 — Faire communiquer deux scripts

Par un message : un script envoie « partie perdue », un autre réagit à sa réception.
Par une variable partagée : un script met vies à $0$ , un autre teste si vies = 0 alors.

Remarque

Le parallélisme rend les erreurs plus difficiles à trouver : deux scripts qui modifient la même variable peuvent se gêner. Une variable ne devrait être modifiée que par un seul script.

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Chapitre 9

Probabilités et simulation

I - Vocabulaire des expériences aléatoires

Définition 1

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connait tous les résultats possibles, sans pouvoir prévoir lequel se produira.

Vocabulaire

Chaque résultat possible est une issue. L’ensemble des issues s’appelle l’univers de l’expérience.

Exemples

Lancer un dé à six faces : six issues, $1$ à $6$ .
Lancer une pièce : deux issues, pile et face.
Tirer une carte dans un jeu de $32$ : trente-deux issues.

Définition 2

Un évènement est un ensemble d’issues, décrit par une phrase. Il est réalisé lorsque l’issue obtenue lui appartient.

Exemple

Avec un dé, l’évènement « obtenir un nombre pair » regroupe les issues

2

4

6

Définition 3

L’évènement contraire d’un évènement

𝐴

, noté « non

𝐴

», est l’évènement réalisé exactement quand

𝐴

ne l’est pas.

Propriété 1

𝑃 (non 𝐴) = 1 - 𝑃 (𝐴) .

Remarque

Le contraire de « obtenir au moins un six » est « n’obtenir aucun six », et non « obtenir au plus un six ». Écrire le contraire demande de la précision.

II - Calculer une probabilité par dénombrement

Définition 4

La probabilité d’un évènement est un nombre compris entre

0

1

qui mesure la chance qu’il se réalise.

Une probabilité se place entre

0

(impossible) et

1

(certain).

Définition 5

Une situation est équiprobable lorsque toutes les issues ont la même probabilité.

Des secteurs de même angle : toutes les issues ont la même probabilité.

Formule — Dans une situation équiprobable

𝑃 (𝐴) = \frac{nombre d'issues favorables}{nombre total d'issues} .

Exemples

Avec un dé équilibré, $𝑃 (obtenir 5) = \frac{1}{6}$ .
$𝑃 (obtenir un nombre pair) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .
$𝑃 (obtenir un nombre inférieur à 7) = \frac{6}{6} = 1$ : l’évènement est certain.
$𝑃 (obtenir 7) = 0$ : l’évènement est impossible.

Méthode 1 — Calculer une probabilité

Vérifier que la situation est équiprobable.
Compter toutes les issues possibles.
Compter celles qui réalisent l’évènement.
Écrire le quotient, puis le simplifier.

Exemple — Par l'évènement contraire

Dans une urne de $10$ boules dont $3$ sont rouges, la probabilité de ne pas tirer de rouge vaut

𝑃 (non rouge) = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10} .

III - Expériences à deux épreuves

Lorsque l’expérience comporte deux épreuves — deux dés, deux tirages, une pièce puis un dé — chaque issue est un couple de résultats. Un tableau à double entrée les liste tous.

Les

36

issues du lancer de deux dés, avec la somme obtenue dans chaque case.

Méthode 2 — Dénombrer avec un tableau à double entrée

Porter les issues de la première épreuve en colonnes, celles de la seconde en lignes.
Remplir chaque case avec le résultat correspondant.
Compter les cases favorables : le total des cases est le nombre d’issues.

Les $36$ cases sont équiprobables, mais pas les sommes : la somme $7$ s’obtient de six façons, la somme $2$ d’une seule.

Exemple — La somme de deux dés

On sait que

Le tableau compte

36

issues équiprobables.

Or

Six d’entre elles donnent une somme égale à

7

Donc

𝑃 (somme = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

L’évènement « la somme dépasse

9

» : les cases favorables se lisent en bloc.

Exemple — Deux tirages successifs

Une urne contient une boule rouge, une verte et une bleue ; on tire deux boules l’une après l’autre, en remettant la première.

Le tableau à double entrée compte $3 \times 3 = 9$ issues. L’évènement « les deux boules sont de la même couleur » en regroupe $3$ , donc sa probabilité vaut $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ .

IV - Simulation

Définition 6

Simuler une expérience aléatoire, c’est la reproduire par un programme ou un tableur, afin de l’observer un grand nombre de fois.

Protocole — Sur un tableur

En A1, écrire =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) pour simuler un lancer de dé.
Recopier la formule sur $1 000$ lignes.
En C1, écrire =NB.SI(A1:A1000;6) pour compter les six obtenus.
Diviser par $1 000$ : on obtient la fréquence du six.
La touche F9 recalcule tout et donne une nouvelle simulation.

Protocole — Avec un logiciel de programmation

mettre succès à 0

répéter 1000 fois :

····mettre dé à nombre aléatoire entre 1 et 6

····si dé = 6 alors ajouter 1 à succès

dire succès / 1000

Remarque

Deux exécutions d’une même simulation ne donnent pas le même résultat : c’est normal, et c’est même le propre du hasard. Ce qui se reproduit, c’est l’ordre de grandeur.

V - Stabilisation des fréquences

Propriété 2 — Loi des grands nombres

Lorsqu’on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d’un évènement se rapproche de sa probabilité.

La fréquence de « pile » oscille beaucoup au début, puis se stabilise autour de

0,5

Méthode 3 — Interpréter une simulation

Sur un petit nombre de lancers, la fréquence peut s’écarter beaucoup de la probabilité : ce n’est pas une anomalie.
Plus le nombre de lancers augmente, plus l’écart se réduit.
Une fréquence n’est jamais une preuve : elle donne une estimation.

La loi des grands nombres ne dit rien du prochain lancer. Après cinq piles d’affilée, la probabilité d’obtenir pile reste $0,5$ : la pièce n’a pas de mémoire.

Exemple — Estimer une probabilité inconnue

Une punaise lancée $2 000$ fois retombe pointe en l’air $1 240$ fois. La fréquence vaut $0,62$ : on peut estimer que la probabilité de cet évènement est proche de $0,62$ .

Ici la simulation est le seul outil disponible : aucune symétrie ne permet de calculer cette probabilité par dénombrement.

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Chapitre 10

Rotations : frises, pavages et rosaces

I - Symétries et translation : les propriétés de conservation

Définitions

La symétrie axiale d’axe $(𝑑)$ associe à un point $𝑀$ le point $𝑀^{'}$ tel que $(𝑑)$ soit la médiatrice de $[𝑀 𝑀^{'}]$ .
La symétrie centrale de centre $𝑂$ associe à $𝑀$ le point $𝑀^{'}$ tel que $𝑂$ soit le milieu de $[𝑀 𝑀^{'}]$ .
La translation fait glisser toute la figure d’une même distance, dans une même direction et un même sens.

La symétrie axiale : le pliage le long de l’axe amène

𝑀

sur

𝑀^{'}

La symétrie centrale : un demi-tour autour du centre.

La translation : le même déplacement répété, sans rotation ni retournement.

Propriétés — Ce que ces transformations conservent

Symétries et translation conservent :

les longueurs ;
les mesures d’angles ;
les aires ;
l’alignement, le parallélisme et les milieux.

Remarque

La figure image a donc exactement la même forme et la même taille que la figure de départ : ces transformations ne déforment rien. La symétrie axiale est la seule des trois à inverser le sens de parcours de la figure.

II - La rotation

Définition 2

La rotation de centre $𝑂$ , d’angle $𝛼$ et de sens donné associe à tout point $𝑀$ différent de $𝑂$ le point $𝑀^{'}$ tel que

𝑂 𝑀^{'} = 𝑂 𝑀 et \hat{𝑀 𝑂 𝑀^{'}} = 𝛼,

l’angle étant compté dans le sens choisi. Le point $𝑂$ est sa propre image.

L’image d’un point : il reste à la même distance du centre, après un quart, un tiers ou une autre fraction de tour.

Vocabulaire

Le sens direct est celui inverse des aiguilles d’une montre ; le sens indirect est celui des aiguilles.

Le même angle, les deux sens : les images sont différentes.

Une rotation n’est complètement définie que par ses trois données : centre, angle et sens. En omettre une rend la construction impossible.

L’image d’une figure s’obtient en construisant l’image de chacun de ses points caractéristiques.

Remarque

La symétrie centrale de centre

𝑂

n’est rien d’autre que la rotation de centre

𝑂

et d’angle

180 °

: le sens n’a alors pas d’importance.

III - Effet d’une rotation sur les grandeurs

Propriétés

Une rotation conserve :

les longueurs, donc les périmètres ;
les mesures d’angles ;
les aires ;
l’alignement, le parallélisme et les milieux.

L’image d’un segment est un segment de même longueur, l’image d’un cercle un cercle de même rayon, l’image d’un triangle un triangle superposable.

Méthode 1 — Déterminer une longueur ou un angle

Reconnaitre que la figure cherchée est l’image d’une figure connue par une rotation, puis invoquer la conservation : la grandeur cherchée est égale à celle de la figure de départ.

Exemple

$𝐴^{'} 𝐵^{'} 𝐶^{'}$ est l’image de $𝐴 𝐵 𝐶$ par une rotation de centre $𝑂$ et d’angle $50 °$ . On donne $𝐴 𝐵 = 6$ cm, $\hat{𝐵 𝐴 𝐶} = 40 °$ et une aire de $14,5$ cm².

On sait que

Une rotation conserve longueurs, angles et aires.

Donc

𝐴^{'} 𝐵^{'} = 6

cm,

\hat{𝐵^{'} 𝐴^{'} 𝐶^{'}} = 40 °

, et l’aire de

𝐴^{'} 𝐵^{'} 𝐶^{'}

vaut

14,5

cm².

Remarque

Le seul changement est la position de la figure. C’est ce qui distingue les rotations des agrandissements et des réductions, étudiés au chapitre suivant.

IV - Reconnaitre des rotations dans les frises, pavages et rosaces

Définitions

Une frise est un motif répété le long d’une bande.
Un pavage recouvre tout le plan, sans trou ni recouvrement.
Une rosace s’obtient en tournant un motif autour d’un point.

Une rosace : six exemplaires du même motif, tournés de

60 °

à chaque fois.

Méthode 2 — Trouver l'angle d'une rosace

Si le motif se répète $𝑛$ fois autour du centre, l’angle de la rotation vaut

𝛼 = 360 \frac{°}{𝑛} .

Exemples

Un motif répété $6$ fois : rotation de $60 °$ .
Un motif répété $8$ fois : rotation de $45 °$ .
Un motif répété $5$ fois : rotation de $72 °$ .

Un pavage engendré par deux translations : chaque tuile est l’image d’une autre.

Méthode 3 — Identifier la transformation

Repérer le motif élémentaire, le plus petit qui se répète.
Comparer deux exemplaires voisins : ont-ils la même orientation ?
Même orientation, glissement simple : c’est une translation.
Orientation tournée autour d’un point fixe : c’est une rotation.
Figure retournée : c’est une symétrie.

V - Constructions

Protocole — Construire à la main l'image d'un point

Tracer la demi-droite $[𝑂 𝑀)$ .
Reporter au compas la longueur $𝑂 𝑀$ sur un arc de centre $𝑂$ .
Au rapporteur, construire l’angle $𝛼$ à partir de $[𝑂 𝑀)$ , dans le sens demandé.
$𝑀^{'}$ est l’intersection de l’arc et du second côté de l’angle.

Protocole — Construire l'image d'une figure

Construire l’image de chaque sommet.
Relier les images dans le même ordre que la figure de départ.
Contrôler : les longueurs doivent être conservées.

Protocole — Avec un logiciel de géométrie dynamique

Placer le centre de rotation.
Sélectionner l’outil « rotation », puis la figure et le centre.
Saisir l’angle, en précisant le sens.
Déplacer un point de la figure de départ : l’image suit, ce qui permet de conjecturer les propriétés de conservation.

Remarque

Sur un quadrillage, la construction se simplifie beaucoup pour les angles de

90 °

et de

180 °

: les déplacements se comptent en carreaux, en échangeant les rôles des deux directions.

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Chapitre 11

Proportionnalité, fonctions linéaires et pourcentages d'évolution

I - Situations de proportionnalité

Définition 1

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu’on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.

Un tableau de proportionnalité : le même coefficient relie chaque colonne.

Méthode 1 — Reconnaitre une situation de proportionnalité

Calculer le quotient de la seconde grandeur par la première, pour chaque couple de valeurs.
Tous les quotients égaux : il y a proportionnalité, et ce quotient est le coefficient.
Un seul quotient différent suffit à conclure qu’il n’y en a pas.

Exemple

Masse (kg)	$2$	$5$	$8$	$12$
Prix (€)	$4,6$	$11,5$	$18,4$	$27,6$

$\frac{4,6}{2} = 2,3$ , $\frac{11,5}{5} = 2,3$ , $\frac{18,4}{8} = 2,3$ : le prix est proportionnel à la masse, au tarif de $2,3$ € par kilogramme.

Définition 2

La quatrième proportionnelle est la valeur manquante d’un tableau de proportionnalité dont on connait trois valeurs.

Méthode 2 — Trois façons de la calculer

Par le coefficient : le calculer, puis multiplier.
Par le produit en croix : de $\frac{𝑎}{𝑏} = \frac{𝑐}{𝑥}$ , on tire $𝑥 = \frac{𝑏 \times 𝑐}{𝑎}$ .
Par la linéarité : additionner ou multiplier des colonnes connues.

Exemple

Si $8$ kg coutent $18,4$ €, combien coutent $14$ kg ?

𝑥 = \frac{14 \times 18,4}{8} = 32,2 €.

II - La fonction linéaire

Définition 3

Une fonction linéaire est une fonction de la forme

𝑓 : 𝑥 \mapsto 𝑎 𝑥,

où $𝑎$ est un nombre fixé, appelé le coefficient de la fonction.

Propriété 1

Une situation est de proportionnalité si, et seulement si, elle se modélise par une fonction linéaire. Le coefficient de la fonction est alors le coefficient de proportionnalité.

Exemple

Le prix de la masse achetée s’écrit

𝑝 : 𝑚 \mapsto 2,3 𝑚

. Une masse de

14

kg coute

𝑝 (14) = 2,3 \times 14 = 32,2

€.

Propriété 2

Une fonction linéaire vérifie toujours $𝑓 (0) = 0$ , et

𝑓 (𝑘 \times 𝑥) = 𝑘 \times 𝑓 (𝑥)

pour tout nombre $𝑘$ : doubler l’antécédent double l’image.

Méthode 3 — Déterminer une fonction linéaire

Il suffit de connaitre l’image d’un seul nombre non nul : si

𝑓 (𝑥_{0}) = 𝑦_{0}

, alors

𝑎 = \frac{𝑦_{0}}{𝑥_{0}}

Exemple

Une fonction linéaire vérifie

𝑓 (4) = 10

. Alors

𝑎 = \frac{10}{4} = 2,5

, donc

𝑓 : 𝑥 \mapsto 2,5 𝑥

III - Représentation graphique

Propriété 3

La représentation graphique d’une fonction linéaire $𝑥 \mapsto 𝑎 𝑥$ est une droite passant par l’origine du repère.

Réciproquement, toute droite passant par l’origine, autre que l’axe des ordonnées, représente une fonction linéaire.

Trois fonctions linéaires : la droite est d’autant plus « penchée » que

| 𝑎 |

est grand, et elle descend quand

𝑎

est négatif.

Méthode 4 — Tracer la droite

L’origine appartient toujours à la droite : c’est un premier point.
Calculer l’image d’un nombre bien choisi, par exemple $1$ ou $2$ .
Placer ce second point, et tracer la droite.

Lire le coefficient : en avançant de

1

, on monte de

𝑎

Méthode 5 — Lire le coefficient sur un graphique

Partir de l’origine, avancer de

1

vers la droite, puis mesurer la montée : cette montée est le coefficient. Une descente donne un coefficient négatif.

Reconnaitre une proportionnalité sur un graphique se résume à deux conditions : les points sont alignés, et cette droite passe par l’origine. Une droite qui ne passe pas par l’origine n’est pas une situation de proportionnalité.

IV - Pourcentage d’évolution et coefficient multiplicateur

Définition 4

Augmenter une valeur de

𝑡 %

, c’est la multiplier par

1 + \frac{𝑡}{100}

; la diminuer de

𝑡 %

, c’est la multiplier par

1 - \frac{𝑡}{100}

. Ce nombre est le coefficient multiplicateur de l’évolution.

Exemples

$+ 5 %$ correspond à $\times 1,05$ .
$+ 20 %$ correspond à $\times 1,2$ .
$- 20 %$ correspond à $\times 0,8$ .
$- 100 %$ correspond à $\times 0$ .

Méthode 6 — Retrouver le taux à partir du coefficient

Un coefficient $𝑐$ correspond à une évolution de

𝑡 = (𝑐 - 1) \times 100 %,

positive si $𝑐 > 1$ , négative si $𝑐 < 1$ .

Exemple

Une multiplication par

1,35

correspond à une hausse de

35 %

; une multiplication par

0,93

à une baisse de

7 %

Propriété 4 — Évolutions successives

Enchainer deux évolutions revient à multiplier leurs coefficients. Le taux global n’est pas la somme des taux.

Une hausse puis une baisse du même pourcentage : la valeur finale est inférieure à la valeur initiale.

Exemple — Hausse puis baisse

On sait que

Un article à

200

€ augmente de

20 %

, puis baisse de

20 %

Or

200 \times 1,2 \times 0,8 = 200 \times 0,96 = 192

Donc

Le prix final est

192

€, soit une baisse globale de

4 %

— et non un retour au prix de départ.

Une hausse de $20 %$ suivie d’une baisse de $20 %$ ne se compense pas : la baisse porte sur une valeur plus grande que la hausse.

Exemple — Appliquer une évolution

Un loyer de $650$ € augmente de $2,5 %$ :

650 \times 1,025 = 666,25 €.

V - Proportionnalité en géométrie

La proportionnalité ne concerne pas que les prix : elle est au cœur de toute la géométrie des configurations.

Propriété 5

Dans une configuration de Thalès, les longueurs des deux triangles sont proportionnelles : le coefficient est le rapport

\frac{𝐴 𝑀}{𝐴 𝐵}

Les longueurs du petit triangle et celles du grand forment un tableau de proportionnalité.

Exemple

Avec $𝐴 𝑀 = 3$ , $𝐴 𝐵 = 5$ et $𝑀 𝑁 = 4$ :

	petit triangle	grand triangle
sur la première droite	$3$	$5$
segment parallèle	$4$	$𝐵 𝐶$

Le coefficient vaut $\frac{5}{3}$ , donc $𝐵 𝐶 = 4 \times \frac{5}{3} = \frac{20}{3}$ .

Propriété 6

Deux triangles semblables ont leurs longueurs proportionnelles : le rapport de similitude est un coefficient de proportionnalité.

Méthode 7 — Reconnaitre une proportionnalité géométrique

Chercher, dans la figure, deux triangles de même forme : configuration de Thalès, triangles semblables, agrandissement ou réduction. Les longueurs correspondantes forment alors un tableau de proportionnalité.

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Chapitre 12

Homothéties, agrandissement-réduction et effet sur les grandeurs

I - Agrandissement et réduction

Définition 1

Une figure est un agrandissement ou une réduction d’une autre lorsque toutes ses longueurs sont obtenues en multipliant celles de la première par un même nombre

𝑘 > 0

, appelé le rapport.

Remarque

Agrandissement quand

𝑘 > 1

, réduction quand

0 < 𝑘 < 1

, figure superposable quand

𝑘 = 1

. Les angles, eux, ne changent jamais.

Propriétés — Effet sur les grandeurs

Dans un agrandissement ou une réduction de rapport $𝑘$ :

les longueurs sont multipliées par $𝑘$ ;
les aires sont multipliées par $𝑘^{2}$ ;
les volumes sont multipliés par $𝑘^{3}$ .

En doublant le côté, l’aire est multipliée par

4

: quatre carrés de côté

2

tiennent dans un carré de côté

4

Pour mieux comprendre

L’aire est un produit de deux longueurs, chacune multipliée par

𝑘

: d’où

𝑘 \times 𝑘 = 𝑘^{2}

. Le volume est un produit de trois longueurs : d’où

𝑘^{3}

Exemple — Une maquette

Une maquette est à l’échelle $\frac{1}{50}$ d’un bâtiment.

Une hauteur de $12$ cm sur la maquette correspond à $12 \times 50 = 600$ cm, soit $6$ m.
Une façade de $200$ cm² sur la maquette correspond à $200 \times 50^{2} = 500 000$ cm², soit $50$ m².
Un volume de $1$ L sur la maquette correspond à $50^{3} = 125 000$ L, soit $125$ m³.

L’erreur la plus fréquente consiste à multiplier une aire par $𝑘$ au lieu de $𝑘^{2}$ . Doubler les dimensions d’une pièce ne double pas sa surface : il la quadruple.

II - L’homothétie

Définition 2

Soit $𝑂$ un point et $𝑘$ un nombre non nul. L’homothétie de centre $𝑂$ et de rapport $𝑘$ associe à tout point $𝑀$ le point $𝑀^{'}$ de la droite $(𝑂 𝑀)$ tel que

𝑂 𝑀^{'} = | 𝑘 | \times 𝑂 𝑀,

$𝑀^{'}$ étant du même côté que $𝑀$ si $𝑘 > 0$ , et de l’autre côté si $𝑘 < 0$ .

Une homothétie de rapport

2

: chaque point s’éloigne de

𝑂

, deux fois plus loin, sur la même demi-droite.

Un rapport compris entre

0

1

rapproche les points de

𝑂

: c’est une réduction.

Méthode 1 — Construire l'image d'une figure

Tracer les droites reliant $𝑂$ à chaque sommet.
Reporter sur chacune la longueur multipliée par $| 𝑘 |$ , du bon côté de $𝑂$ .
Relier les images dans le même ordre.

III - Rapport positif, rapport négatif

Un rapport négatif : l’image passe de l’autre côté du centre, et la figure se retrouve retournée.

Propriété 2

L’homothétie de centre

𝑂

et de rapport

- 1

est exactement la symétrie centrale de centre

𝑂

Remarque

Le signe du rapport ne change ni les longueurs ni les aires :

| 𝑘 |

seul intervient dans les calculs de grandeurs. Il ne change que la position de l’image.

IV - Propriétés de conservation et lien avec Thalès

Propriétés

Une homothétie de rapport $𝑘$ :

multiplie les longueurs par $| 𝑘 |$ ;
conserve les mesures d’angles ;
conserve l’alignement, le parallélisme et les milieux ;
transforme une droite en une droite qui lui est parallèle.

C’est la différence essentielle avec les symétries, la translation et la rotation : celles-ci conservent les longueurs, l’homothétie les multiplie. Une homothétie déforme la taille, jamais la forme.

Propriété 4 — Lien avec le théorème de Thalès

Si $𝑀^{'}$ et $𝑁^{'}$ sont les images de $𝑀$ et $𝑁$ par l’homothétie de centre $𝑂$ et de rapport $𝑘$ , alors $(𝑀^{'} 𝑁^{'})$ est parallèle à $(𝑀 𝑁)$ et

𝑀^{'} 𝑁^{'} = | 𝑘 | \times 𝑀 𝑁 .

On retrouve exactement la configuration du théorème de Thalès, de sommet $𝑂$ .

Remarque

Le théorème de Thalès et l’homothétie disent donc la même chose, sous deux points de vue : l’un parle de quotients de longueurs, l’autre d’une transformation du plan.

V - Calculs dans une homothétie de rapport $𝑘$

Méthode 2 — Calculer une grandeur de l'image

Identifier le rapport $𝑘$ de l’homothétie ou de l’agrandissement.
Multiplier par $| 𝑘 |$ pour une longueur, par $𝑘^{2}$ pour une aire, par $𝑘^{3}$ pour un volume.

Exemple — Longueur, aire et volume

Un solide de hauteur $5$ cm, d’aire latérale $60$ cm² et de volume $80$ cm³ subit une homothétie de rapport $3$ .

On sait que

Les longueurs sont multipliées par

3

, les aires par

3^{2}

et les volumes par

3^{3}

Donc

La hauteur devient

15

cm, l’aire

60 \times 9 = 540

cm², et le volume

80 \times 27 = 2 160

cm³.

Exemple — Retrouver le rapport

Deux figures semblables ont des aires de $18$ cm² et $50$ cm².

On sait que

𝑘^{2} = \frac{50}{18} = \frac{25}{9}

Or

𝑘 > 0

, donc

𝑘 = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}

Donc

Les longueurs de la seconde valent

\frac{5}{3}

de celles de la première.

Exemple — Une réduction

Un cône de volume $240$ cm³ est réduit dans le rapport $\frac{1}{2}$ . Son volume devient

240 \times {(\frac{1}{2})}^{3} = \frac{240}{8} = 30 cm³ .

VI - Identifier des homothéties dans une frise, un pavage, une rosace

Méthode 3 — Reconnaitre une homothétie

Comparer deux exemplaires du motif : sont-ils de la même taille ?
Tailles différentes mais même forme : il y a un agrandissement ou une réduction.
Relier les points correspondants : si toutes ces droites se coupent en un même point, ce point est le centre de l’homothétie.
Le rapport se lit sur le quotient de deux longueurs correspondantes.

Dans une rosace, les motifs ont tous la même taille : la transformation en jeu est une rotation, pas une homothétie.

Exemple — Une spirale de motifs

Certaines rosaces combinent une rotation et une homothétie de même centre : le motif tourne et rétrécit à chaque étape. Le rapport se lit alors sur deux motifs consécutifs, l’angle sur leur inclinaison.

Remarque

Frises, pavages et rosaces se décrivent tous à l’aide de quatre transformations : translation, symétrie axiale, symétrie centrale et rotation — auxquelles l’homothétie ajoute le changement d’échelle.

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Chapitre 13

Fonctions affines

I - Définition

Définition 1

Une fonction affine est une fonction de la forme

𝑓 : 𝑥 \mapsto 𝑎 𝑥 + 𝑏,

où $𝑎$ et $𝑏$ sont deux nombres fixés.

Vocabulaire

𝑎

est le coefficient directeur de la fonction,

𝑏

son ordonnée à l’origine.

Exemples

$𝑓 : 𝑥 \mapsto 3 𝑥 - 2$ est affine, avec $𝑎 = 3$ et $𝑏 = - 2$ .
$𝑔 : 𝑥 \mapsto - 𝑥 + 5$ est affine, avec $𝑎 = - 1$ et $𝑏 = 5$ .
$ℎ : 𝑥 \mapsto 4 𝑥$ est affine, avec $𝑏 = 0$ : c’est aussi une fonction linéaire.
$𝑘 : 𝑥 \mapsto 7$ est affine, avec $𝑎 = 0$ : c’est une fonction constante.
$𝑚 : 𝑥 \mapsto 𝑥^{2} + 1$ n’est pas affine.

Remarque

Les fonctions linéaires sont donc les fonctions affines dont l’ordonnée à l’origine est nulle. Toute fonction linéaire est affine ; la réciproque est fausse.

Propriété 1

Pour toute fonction affine,

𝑓 (0) = 𝑏

: l’ordonnée à l’origine est l’image de

0

II - Représentation graphique

Propriété 2

La représentation graphique d’une fonction affine $𝑥 \mapsto 𝑎 𝑥 + 𝑏$ est une droite. Elle coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; 𝑏)$ .

Réciproquement, toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées est la représentation d’une fonction affine.

La droite de

𝑥 \mapsto 1,5 𝑥 - 2

: elle coupe l’axe des ordonnées en

- 2

, et monte de

1,5

quand on avance de

1

Méthode 1 — Tracer la droite à partir de deux points

Choisir deux valeurs de $𝑥$ éloignées, par exemple $0$ et $4$ .
Calculer leurs images.
Placer les deux points obtenus.
Tracer la droite qui les joint, puis contrôler avec un troisième point.

Exemple

Pour

𝑓 : 𝑥 \mapsto 1,5 𝑥 - 2

𝑓 (0) = - 2

𝑓 (4) = 4

. On place

(0; - 2)

(4; 4)

, et on trace.

Remarque

Deux points suffisent, mais un troisième sert de vérification : s’il n’est pas aligné, c’est qu’un calcul est faux.

III - Interpréter les paramètres

Propriétés

Le signe de $𝑎$ donne le sens de variation : la droite monte si $𝑎 > 0$ , descend si $𝑎 < 0$ , est horizontale si $𝑎 = 0$ .
La valeur absolue de $𝑎$ donne l’inclinaison : plus $| 𝑎 |$ est grand, plus la droite est raide.
$𝑏$ donne la hauteur à laquelle la droite coupe l’axe des ordonnées.

Trois allures : coefficient directeur positif, négatif et nul.

Méthode 2 — Lire $a$ et $b$ sur un graphique

Lire $𝑏$ : c’est l’ordonnée du point d’intersection avec l’axe des ordonnées.
Partir d’un point de la droite à coordonnées entières, avancer de $1$ vers la droite, et mesurer la montée : c’est $𝑎$ .
Une descente donne un $𝑎$ négatif.

Formule — Coefficient directeur à partir de deux points

Si la droite passe par $𝐴 (𝑥_{𝐴}; 𝑦_{𝐴})$ et $𝐵 (𝑥_{𝐵}; 𝑦_{𝐵})$ , avec $𝑥_{𝐴} \neq 𝑥_{𝐵}$ , alors

𝑎 = \frac{𝑦_{𝐵} - 𝑦_{𝐴}}{𝑥_{𝐵} - 𝑥_{𝐴}} .

Exemple

Une droite passe par $(1; 3)$ et $(5; 11)$ :

𝑎 = \frac{11 - 3}{5 - 1} = \frac{8}{4} = 2 .

Comme $𝑓 (1) = 3$ , on a $2 \times 1 + 𝑏 = 3$ , donc $𝑏 = 1$ : la fonction est $𝑥 \mapsto 2 𝑥 + 1$ .

IV - Image et antécédent

Méthode 3 — Déterminer une image

Remplacer

𝑥

par le nombre dans l’expression

𝑎 𝑥 + 𝑏

, et calculer.

Exemple

Pour

𝑓 : 𝑥 \mapsto 3 𝑥 - 2

𝑓 (5) = 3 \times 5 - 2 = 13

𝑓 (- 2) = - 6 - 2 = - 8

Méthode 4 — Déterminer un antécédent

Écrire l’équation $𝑎 𝑥 + 𝑏 = 𝑘$ .
La résoudre : $𝑥 = \frac{𝑘 - 𝑏}{𝑎}$ , avec $𝑎 \neq 0$ .

Exemple

Cherchons l’antécédent de $13$ par $𝑓 : 𝑥 \mapsto 3 𝑥 - 2$ .

On sait que

Il s’agit de résoudre

3 𝑥 - 2 = 13

Or

3 𝑥 = 15

, donc

𝑥 = 5

Donc

L’antécédent de

13

par

𝑓

est

5

Propriété 4

Une fonction affine avec

𝑎 \neq 0

associe à chaque nombre un unique antécédent : la droite coupe toute horizontale en exactement un point.

Remarque

𝑎 = 0

, la fonction est constante :

𝑏

a une infinité d’antécédents, et tout autre nombre n’en a aucun.

V - Résoudre des problèmes

Méthode 5 — Modéliser par une fonction affine

Une situation se modélise par une fonction affine dès qu’elle comporte une part fixe et une part proportionnelle :

𝑏

est la part fixe,

𝑎

le tarif unitaire.

Exemple — Deux tarifs

Un club propose deux formules :

formule A : $120$ € d’abonnement, puis $2$ € la séance ;
formule B : $5$ € la séance, sans abonnement.

On sait que

Ces tarifs se modélisent par

𝑎 : 𝑛 \mapsto 2 𝑛 + 120

, affine, et

𝑏 : 𝑛 \mapsto 5 𝑛

, linéaire.

Or

Les deux formules coutent le même prix lorsque

2 𝑛 + 120 = 5 𝑛

, soit

𝑛 = 40

Donc

Jusqu’à

40

séances, la formule B est la moins chère ; au-delà, c’est la formule A.

Méthode 6 — Résolution graphique

Tracer les deux droites dans un même repère.
Le point d’intersection donne la valeur pour laquelle les deux modèles coïncident.
Comparer les positions relatives des droites de part et d’autre de ce point.

Une lecture graphique donne une valeur approchée ; le calcul algébrique donne la valeur exacte. Les deux se complètent : le graphique montre, l’équation prouve.

Exemple — Un remplissage

Un réservoir contient déjà $30$ L, et on le remplit à raison de $8$ L par minute.

Le volume s’écrit $𝑣 : 𝑡 \mapsto 8 𝑡 + 30$ , en litres, où $𝑡$ est la durée en minutes.

Au bout de $7$ minutes : $𝑣 (7) = 86$ L.
Pour atteindre $150$ L : $8 𝑡 + 30 = 150$ , donc $𝑡 = 15$ minutes.

Exemple — Une conversion

La conversion des degrés Celsius en degrés Fahrenheit est affine :

𝑓 : 𝑐 \mapsto 1,8 𝑐 + 32 .

Ainsi $0 °$ C valent $32 °$ F, et $100 °$ C valent $212 °$ F. Réciproquement, $1,8 𝑐 + 32 = 68$ donne $𝑐 = 20 °$ C.

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Chapitre 14

Puissances, notation scientifique et ordres de grandeur

I - Puissances d’un nombre

Définition 1

Soit $𝑎$ un nombre et $𝑛$ un entier supérieur ou égal à $1$ . La puissance $𝑎^{𝑛}$ est le produit de $𝑛$ facteurs égaux à $𝑎$ :

𝑎^{𝑛} = \underset{𝑛 facteurs}{\underset{⏟}{𝑎 \times 𝑎 \times \dots \times 𝑎}} .

Vocabulaire

𝑎

est la base,

𝑛

l’exposant. On lit «

𝑎

exposant

𝑛

». Pour

𝑛 = 2

on dit «

𝑎

au carré », pour

𝑛 = 3

𝑎

au cube ».

Le carré d’un nombre, vu comme l’aire d’un carré.

Le cube d’un nombre, vu comme le volume d’un cube.

Définitions

Pour $𝑎 \neq 0$ :

𝑎^{0} = 1 et 𝑎^{- 𝑛} = \frac{1}{𝑎^{𝑛}} .

Remarque

L’exposant négatif ne rend pas le résultat négatif :

2^{- 3} = \frac{1}{8}

est positif. Un exposant négatif signale un inverse, pas un signe.

Exemples

$3^{4} = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$
${(- 2)}^{3} = - 8$ et ${(- 2)}^{4} = 16$
$5^{- 2} = \frac{1}{25} = 0,04$
$7^{0} = 1$ et $7^{1} = 7$

Les parenthèses sont décisives : ${(- 3)}^{2} = 9$ alors que $- 3^{2} = - 9$ , car l’exposant ne porte alors que sur le $3$ .

Propriété 1

Le signe de

𝑎^{𝑛}

pour

𝑎 < 0

dépend de la parité de

𝑛

: positif si

𝑛

est pair, négatif si

𝑛

est impair.

II - Simplifier un produit, un quotient

Formules — Règles de calcul sur les puissances

Pour $𝑎 \neq 0$ et $𝑏 \neq 0$ , et pour tous entiers $𝑚$ et $𝑛$ :

\begin{aligned} 𝑎^{𝑚} \times 𝑎^{𝑛} & = 𝑎^{𝑚 + 𝑛} \\ \frac{𝑎^{𝑚}}{𝑎^{𝑛}} & = 𝑎^{𝑚 - 𝑛} \\ {(𝑎^{𝑚})}^{𝑛} & = 𝑎^{𝑚 \times 𝑛} \\ {(𝑎 \times 𝑏)}^{𝑛} & = 𝑎^{𝑛} \times 𝑏^{𝑛} \end{aligned}

Ces règles ne valent que pour une même base. L’expression $2^{3} \times 5^{3}$ se simplifie en ${(2 \times 5)}^{3} = 10^{3}$ , mais $2^{3} \times 5^{4}$ ne se simplifie pas.

Exemples

$3^{5} \times 3^{2} = 3^{7}$
$\frac{10^{8}}{10^{3}} = 10^{5}$
${(2^{3})}^{4} = 2^{12}$
$7^{- 2} \times 7^{5} = 7^{3}$
$\frac{10^{4}}{10^{- 2}} = 10^{6}$

Méthode 1 — Simplifier une expression

Regrouper les puissances de même base.
Appliquer les règles pour n’avoir qu’un exposant par base.
Écrire le résultat sans exposant négatif si l’énoncé le demande.

Exemple

\frac{3^{4} \times 3^{- 6}}{3^{- 3}} = 3^{4 - 6 + 3} = 3^{1} = 3 .

III - Puissances de 10 et préfixes

Propriété 2

Pour tout entier $𝑛$ positif :

10^{𝑛} = 1 \underset{𝑛 zéros}{\underset{⏟}{0 \dots 0}} et 10^{- 𝑛} = 0, \underset{𝑛 - 1 zéros}{\underset{⏟}{0 \dots 0}} 1 .

Exemples

$10^{6} = 1 000 000$
$10^{- 3} = 0,001$
$10^{0} = 1$

Les préfixes usuels, de nano à giga : chaque étape multiplie par mille.

Formule — Les préfixes du système international

nano	micro	milli	—	kilo	méga	giga	téra
$10^{- 9}$	$10^{- 6}$	$10^{- 3}$	$10^{0}$	$10^{3}$	$10^{6}$	$10^{9}$	$10^{12}$

Exemples

$1$ km $= 10^{3}$ m ; $1$ mm $= 10^{- 3}$ m.
$1$ Go $= 10^{9}$ octets ; $1$ µm $= 10^{- 6}$ m.
$1$ MW $= 10^{6}$ W.

IV - Notation scientifique

Définition 3

L’écriture scientifique d’un nombre décimal non nul est son écriture sous la forme

𝑎 \times 10^{𝑛},

où $𝑛$ est un entier relatif et où $𝑎$ est un décimal tel que $1 \leq | 𝑎 | < 10$ : il n’y a donc qu’un seul chiffre, non nul, avant la virgule.

Méthode 2 — Écrire un nombre en notation scientifique

Placer la virgule juste après le premier chiffre non nul.
Compter de combien de rangs la virgule a été déplacée.
Vers la gauche : exposant positif ; vers la droite : exposant négatif.

Exemples

$47 500 = 4,75 \times 10^{4}$
$0,000 62 = 6,2 \times 10^{- 4}$
$8,3 = 8,3 \times 10^{0}$
$0,000 000 000 1 = 10^{- 10}$

$47,5 \times 10^{3}$ vaut bien $47 500$ , mais ce n’est pas l’écriture scientifique : $47,5$ est supérieur à $10$ .

Méthode 3 — Comparer deux nombres en notation scientifique

Comparer d’abord les exposants : le plus grand exposant l’emporte, pour des nombres positifs.
À exposants égaux, comparer les nombres $𝑎$ .

Exemple

3,1 \times 10^{5} < 2,4 \times 10^{7}

, car

5 < 7

, même si

3,1 > 2,4

Définition 4

L’ordre de grandeur d’un nombre est la puissance de

10

la plus proche de ce nombre : on arrondit

𝑎

à l’unité dans son écriture scientifique.

Quelques ordres de grandeur, de l’atome à la distance Terre-Lune.

Exemples

$3 200 = 3,2 \times 10^{3}$ : ordre de grandeur $3 \times 10^{3}$ .
$87 000 = 8,7 \times 10^{4}$ : ordre de grandeur $10^{5}$ .
La population mondiale, environ $8 \times 10^{9}$ personnes.

Méthode 4 — Estimer un résultat

Remplacer chaque nombre par son ordre de grandeur, puis calculer : le résultat obtenu sert à contrôler l’ordre de grandeur du calcul exact.

V - Problèmes

Exemple — En physique : la vitesse de la lumière

La lumière parcourt $3 \times 10^{8}$ m en une seconde. Quelle distance parcourt-elle en une année, sachant qu’une année compte environ $3,15 \times 10^{7}$ secondes ?

On sait que

La distance est le produit de la vitesse par la durée.

Or

3 \times 10^{8} \times 3,15 \times 10^{7} = 9,45 \times 10^{8 + 7} = 9,45 \times 10^{15}

Donc

Une année-lumière vaut environ

9,45 \times 10^{15}

m, soit près de dix mille milliards de kilomètres.

Exemple — En chimie : le nombre d'Avogadro

Une mole contient $6 \times 10^{23}$ entités. Combien d’atomes dans $0,05$ mole ?

0,05 \times 6 \times 10^{23} = 0,3 \times 10^{23} = 3 \times 10^{22} .

Exemple — En informatique : les unités de stockage

Un disque de $2$ To contient $2 \times 10^{12}$ octets. Combien de fichiers de $4$ Mo peut-il stocker ?

\frac{2 \times 10^{12}}{4 \times 10^{6}} = 0,5 \times 10^{6} = 5 \times 10^{5},

soit $500 000$ fichiers.

Exemple — En sciences de la vie : une échelle

Une bactérie mesure environ $2$ µm, soit $2 \times 10^{- 6}$ m, et un cheveu $10^{- 4}$ m de diamètre.

\frac{10^{- 4}}{2 \times 10^{- 6}} = 0,5 \times 10^{2} = 50 :

le diamètre d’un cheveu vaut environ cinquante bactéries mises bout à bout.

Méthode 5 — Contrôler la cohérence d'un résultat

Un calcul avec des puissances se vérifie en deux temps : le chiffre

𝑎

doit rester entre

1

10

, et l’exposant doit s’obtenir par une addition ou une soustraction d’exposants — jamais par un produit.

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Chapitre 15

Grandeurs composées, volumes et conversions d'unités

I - Volume de la boule et formules du cycle

Définitions

Une sphère de centre

𝑂

et de rayon

𝑅

est l’ensemble des points situés à la distance

𝑅

𝑂

: c’est une surface. La boule est le solide plein qu’elle délimite.

La boule de centre

𝑂

et de rayon

𝑅

Formules — Sphère et boule

𝑉_{boule} = \frac{4}{3} 𝜋 𝑅^{3} et {𝒜︀}_{sphère} = 4 𝜋 𝑅^{2} .

Formules — Les volumes du cycle

Solide	Volume
Cube d’arête $𝑎$	$𝑎^{3}$
Pavé droit	$𝐿 \times 𝑙 \times ℎ$
Prisme droit	${𝒜︀}_{base} \times ℎ$
Cylindre de révolution	$𝜋 𝑅^{2} ℎ$
Pyramide	$\frac{1}{3} \times {𝒜︀}_{base} \times ℎ$
Cône de révolution	$\frac{1}{3} 𝜋 𝑅^{2} ℎ$
Boule	$\frac{4}{3} 𝜋 𝑅^{3}$

Remarque

Les trois familles se retiennent ensemble : les solides « droits » ont un volume « base

\times

hauteur », les solides « pointus » en ont le tiers, et la boule fait bande à part.

Exemple

Une boule de rayon $6$ cm a pour volume

𝑉 = \frac{4}{3} 𝜋 \times 6^{3} = \frac{4}{3} 𝜋 \times 216 = 288 𝜋 \approx 905 cm³ .

La valeur exacte s’écrit avec $𝜋$ ; la valeur approchée s’obtient à la calculatrice, en précisant l’arrondi. Les deux réponses sont acceptables, mais elles ne s’écrivent pas de la même façon.

II - Volumes d’assemblages

Méthode 1 — Calculer le volume d'un solide composé

Décomposer le solide en solides usuels.
Repérer les dimensions de chacun, en vérifiant qu’elles sont dans la même unité.
Calculer chaque volume séparément.
Additionner — ou soustraire, si un solide est creusé dans un autre.

Un cylindre surmonté d’un cône : le volume total est la somme des deux.

Exemple — Un silo

Un silo est formé d’un cylindre de rayon $2$ m et de hauteur $5$ m, surmonté d’un cône de même rayon et de hauteur $3$ m.

On sait que

Le volume total est la somme des deux volumes.

Or

𝑉_{cylindre} = 𝜋 \times 2^{2} \times 5 = 20 𝜋

𝑉_{cône} = \frac{1}{3} 𝜋 \times 2^{2} \times 3 = 4 𝜋

Donc

𝑉 = 24 𝜋 \approx 75

m³, soit environ

75 000

litres.

Exemple — Un solide creusé

Dans un cube d’arête $10$ cm, on perce un cylindre de rayon $2$ cm traversant le cube de part en part.

𝑉 = 10^{3} - 𝜋 \times 2^{2} \times 10 = 1 000 - 40 𝜋 \approx 874 cm³ .

III - Grandeurs produits et grandeurs quotients

Définition 2

Une grandeur composée s’obtient en multipliant ou en divisant deux grandeurs. Son unité se construit de la même façon.

Exemples — Des grandeurs quotients

Une vitesse est une distance divisée par une durée : km/h, m/s.
Un débit est un volume divisé par une durée : L/min, m³/s.
Une masse volumique est une masse divisée par un volume : kg/m³, g/cm³.
Une concentration est une masse divisée par un volume : g/L.

Exemples — Des grandeurs produits

Une énergie est une puissance multipliée par une durée : le kilowattheure, kW·h.
Une aire est un produit de deux longueurs : le mètre carré.

Formules

𝑣 = \frac{𝑑}{𝑡}, 𝑑 = 𝑣 \times 𝑡, 𝑡 = \frac{𝑑}{𝑣} .

Méthode 2 — Utiliser une grandeur composée

Écrire la formule qui la définit.
Vérifier que les unités des données correspondent à celle de la grandeur.
Convertir si nécessaire avant de calculer.
Donner le résultat avec son unité.

Exemple — Une vitesse moyenne

Un cycliste parcourt $63$ km en $2$ h $30$ min.

On sait que

2

30

min

= 2,5

Or

𝑣 = \frac{63}{2,5}

Donc

𝑣 = 25,2

km/h.

$2$ h $30$ min ne vaut pas $2,3$ h : les durées ne sont pas décimales. Il faut convertir en heures décimales avant tout calcul.

Exemple — Une masse volumique

Un bloc de $2,7$ kg occupe $1$ dm³.

𝜌 = \frac{2,7}{1} = 2,7 kg/dm³ = 2,7 g/cm³ :

c’est de l’aluminium.

IV - Conversions d’unités de volume

Propriété 1

Un rapport $𝑘$ sur les longueurs donne un rapport $𝑘^{2}$ sur les aires et $𝑘^{3}$ sur les volumes. Pour les unités décimales, $𝑘$ vaut $10$ :

1 m = 10^{2} cm donc 1 m^{3} = 10^{6} {cm}^{3} .

Le cube d’arête

1

dm contient dix rangées de dix piles de dix cubes d’arête

1

cm.

Formules — Les équivalences à connaitre

1 {dm}^{3} = 1 L, 1 {cm}^{3} = 1 mL, 1 m^{3} = 1 000 L .

Exemples

$2,5$ m³ $= 2,5 \times 10^{6}$ cm³ $= 2 500 000$ cm³.
$450$ cm³ $= 0,45$ L.
$0,02$ m³ $= 20$ dm³ $= 20$ L.

Méthode 3 — Convertir un volume

Écrire le rapport entre les deux unités de longueur, comme puissance de $10$ .
L’élever au cube.
Multiplier ou diviser par ce facteur.

Remarque

Le tableau de conversion des volumes comporte trois colonnes par unité, contre deux pour les aires et une pour les longueurs. C’est la traduction, en colonnes, des exposants

1

2

3

V - Conversions sur les grandeurs composées

Méthode 4 — Convertir une grandeur composée

Convertir séparément le numérateur et le dénominateur, puis effectuer le quotient.

Exemple — Des km/h aux m/s

On sait que

1

= 1 000

m et

1

= 3 600

Or

90 km/h = \frac{90 \times 1 000 m}{3 600 s} .

Donc

90

km/h

= 25

m/s. Le facteur de conversion est

3,6

: on divise par

3,6

pour passer des km/h aux m/s.

Exemple — Des m³/s aux L/min

On sait que

1

m³

= 1 000

L et

1

min

= 60

Or

0,05

m³/s

= 0,05 \times 1 000

L/s

= 50

L/s.

Donc

50 \times 60 = 3 000

L/min.

Exemple — Un débit et une durée

Une piscine de $48$ m³ se remplit à $200$ L/min. Combien de temps ?

On sait que

48

m³

= 48 000

Or

𝑡 = 48 \frac{000}{200} = 240

min.

Donc

Le remplissage dure

4

heures.

Méthode 5 — Vérifier la cohérence des unités

Le contrôle final porte toujours sur l’unité : une longueur ne peut pas répondre à une question sur un volume, et un résultat en m/s de l’ordre de plusieurs centaines pour un piéton signale une erreur de conversion.

Une réponse sans unité est incomplète ; une réponse avec une unité incohérente est fausse, même si le calcul est juste.

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Chapitre 16

Espace : solides, sections planes et repérage sur la sphère

I - Représenter les solides du cycle

Vocabulaire

Un polyèdre est un solide dont toutes les faces sont des polygones. Le cube, le pavé droit, le prisme droit et la pyramide en sont ; le cylindre, le cône et la boule n’en sont pas.

Définition 1

La perspective cavalière représente un solide en conservant en vraie grandeur les faces parallèles au plan de la feuille. Les arêtes fuyantes sont tracées parallèlement entre elles, réduites, et les arêtes cachées sont en pointillés.

Un pavé droit en perspective cavalière.

Un cylindre de révolution : les disques de base se dessinent en ellipses.

Définition 2

Un patron d’un solide est une figure plane qui, pliée le long de certains segments, reconstitue exactement le solide.

Le patron d’un cylindre : deux disques et un rectangle dont la longueur est le périmètre du disque.

Définitions

Un solide se décrit aussi par ses vues :

la vue de face, celle de l’observateur ;
la vue de dessus, à la verticale ;
la vue de côté ;
la vue en coupe, qui montre l’intérieur.

Méthode 1 — Passer d'une représentation à une autre

Compter les faces, les arêtes et les sommets sur chaque représentation : les nombres doivent coïncider.
Repérer les longueurs conservées : elles sont en vraie grandeur sur le patron et sur les vues, pas toujours en perspective.
Contrôler la cohérence : deux vues suffisent rarement à identifier un solide, trois suffisent presque toujours.

II - Sections planes

Définition 4

La section d’un solide par un plan est la figure obtenue à l’intersection du solide et du plan : c’est ce qu’on voit sur la tranche quand on coupe le solide.

Propriétés — Section d'un pavé droit

Par un plan parallèle à une face, la section est un rectangle identique à cette face.
Par un plan parallèle à une arête, la section est un rectangle dont une dimension est celle de l’arête.

Une section parallèle à une face : le rectangle obtenu est superposable à cette face.

Une section parallèle à une arête verticale.

Propriétés — Sections des solides de révolution

Cylindre coupé parallèlement aux bases : un disque de même rayon ; coupé par un plan contenant l’axe : un rectangle.
Cône coupé parallèlement à la base : un disque plus petit, dont le rayon est proportionnel à la distance au sommet.
Pyramide coupée parallèlement à la base : un polygone de même forme, réduction de la base.
Sphère coupée par un plan : un cercle, d’autant plus petit que le plan s’éloigne du centre.

Le cylindre coupé parallèlement aux bases.

Le même cylindre, coupé par un plan contenant son axe.

Le cône coupé parallèlement à sa base : la section est une réduction du disque de base.

La sphère coupée par un plan.

La section d’une pyramide ou d’un cône par un plan parallèle à la base est une réduction de cette base : c’est le chapitre des homothéties qui donne le rapport, et donc l’effet sur les aires et les volumes.

III - Utiliser un logiciel de géométrie dans l’espace

Protocole

Construire le solide à partir de ses dimensions.
Le faire tourner pour identifier les arêtes cachées et vérifier la perspective dessinée à la main.
Définir un plan, puis demander la section : le logiciel affiche la figure obtenue.
Déplacer le plan et observer comment la section se déforme.

Remarque

Le logiciel sert à conjecturer : il montre que la section d’un cône se réduit à mesure que le plan monte. Il ne démontre rien ; c’est le théorème de Thalès qui donne le rapport.

IV - Repérage sur la sphère

Définitions

Sur une sphère :

un grand cercle est un cercle de même centre et de même rayon que la sphère ;
les méridiens sont des demi-grands cercles joignant les deux pôles ;
les parallèles sont les cercles obtenus en coupant la sphère par un plan perpendiculaire à l’axe des pôles.

L’équateur est le seul parallèle qui soit un grand cercle. Tous les méridiens en sont.

Un point de la sphère est repéré par sa latitude et sa longitude.

Définitions

La latitude d’un point est l’angle, compris entre $0 °$ et $90 °$ , mesuré depuis l’équateur, suivi de Nord ou Sud.
La longitude est l’angle, compris entre $0 °$ et $180 °$ , mesuré depuis le méridien de Greenwich, suivi de Est ou Ouest.

Exemples

Paris : $49 °$ Nord, $2 °$ Est.
Quito : $0 °$ , $78 °$ Ouest — sur l’équateur.
Le pôle Nord : $90 °$ Nord ; sa longitude n’a pas de sens.

Méthode 2 — Lire des coordonnées géographiques

Repérer le parallèle du point : il donne la latitude, Nord au-dessus de l’équateur, Sud en dessous.
Repérer son méridien : il donne la longitude, Est à droite de Greenwich, Ouest à gauche.
Toujours donner les deux, avec leur lettre.

V - Calculs dans une section

Méthode 3 — Calculer une longueur dans une section

Dessiner la section en vraie grandeur, à plat.
Y repérer un triangle rectangle.
Appliquer le théorème de Pythagore, ou celui de Thalès si la section provient d’une réduction.

Exemple — Le rayon d'une section de sphère

Une sphère de rayon $10$ cm est coupée par un plan situé à $6$ cm de son centre.

On sait que

Le rayon de la sphère, la distance au plan et le rayon de la section forment un triangle rectangle.

Or

𝑟^{2} = 10^{2} - 6^{2} = 100 - 36 = 64

Donc

𝑟 = 8

cm : la section est un cercle de rayon

8

cm, d’aire

64 𝜋 \approx 201

cm².

Exemple — Une section de cône

Un cône a une base de rayon $9$ cm et une hauteur de $12$ cm. On le coupe à $4$ cm du sommet, parallèlement à la base.

On sait que

La section est une réduction de la base, de rapport

𝑘 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}

Or

Le rayon de la section vaut

9 \times \frac{1}{3} = 3

cm.

Donc

Son aire vaut

9 𝜋

cm², soit

\frac{1}{9}

de l’aire de la base — le carré du rapport.

Exemple — La diagonale d'une section de pavé

Un pavé droit a pour dimensions $6$ cm, $8$ cm et $5$ cm. La section par un plan parallèle à la face $6 \times 8$ est un rectangle de $6$ cm sur $8$ cm.

Sa diagonale mesure $\sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10$ cm, et son aire $48$ cm².

Méthode 4 — Contrôler un résultat

Le rayon d’une section est toujours inférieur au rayon du solide, et l’aire d’une section de cône est toujours inférieure à celle de la base. Un résultat qui viole ces bornes signale une erreur.

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