Équations, équations produits et équation x² = a

I - Mettre un problème en équation

Définitions

Une équation est une égalité contenant une lettre, appelée l’inconnue. Une solution est une valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie ; résoudre l’équation, c’est trouver toutes ses solutions.

Méthode 1 — Tester si un nombre est solution

Calculer séparément le membre de gauche et le membre de droite en remplaçant l’inconnue par ce nombre.
Comparer les deux résultats : égaux, le nombre est solution ; différents, il ne l’est pas.

Exemple

L’équation $5 𝑥 - 3 = 2 𝑥 + 6$ .

Pour $𝑥 = 3$ : à gauche $5 \times 3 - 3 = 12$ , à droite $2 \times 3 + 6 = 12$ égaux, donc $3$ est solution.
Pour $𝑥 = 1$ : à gauche $2$ , à droite $8$ différents, donc $1$ n’est pas solution.

Méthode 2 — Mettre un problème en équation

Choisir l’inconnue, la nommer et préciser ce qu’elle représente avec son unité.
Traduire l’énoncé par une égalité entre deux expressions.
Résoudre l’équation.
Revenir à la question posée, et contrôler la vraisemblance.

Exemple — Un périmètre

Un rectangle a une longueur qui dépasse sa largeur de $4$ cm, et un périmètre de $36$ cm.

Soit $𝑥$ la largeur, en centimètres. La longueur vaut $𝑥 + 4$ , et le périmètre $2 (𝑥 + 𝑥 + 4) = 36$ , soit $4 𝑥 + 8 = 36$ .

II - Résolution algébrique d’une équation du premier degré

Propriété 1 — Règles de transformation

Une équation garde les mêmes solutions lorsqu’on :

ajoute ou soustrait un même nombre aux deux membres ;
multiplie ou divise les deux membres par un même nombre non nul.

Pour mieux comprendre

Une équation est une balance en équilibre : tant qu’on agit de la même façon des deux côtés, l’équilibre est conservé.

Les deux plateaux se valent : c’est ce que dit le signe

=

Méthode 3 — Résoudre $a x + b = c x + d$

Développer et réduire chaque membre s’il y a des parenthèses.
Rassembler les termes en $𝑥$ dans un membre, les nombres dans l’autre.
Réduire les deux membres.
Diviser par le coefficient de $𝑥$ .
Vérifier la solution dans l’équation de départ.

Exemple — Une résolution complète

\begin{aligned} 5 𝑥 - 3 & = 2 𝑥 + 6 \\ 5 𝑥 - 2 𝑥 - 3 & = 6 \\ 3 𝑥 & = 6 + 3 \\ 3 𝑥 & = 9 \\ 𝑥 & = \frac{9}{3} = 3 \end{aligned}

Vérification : $5 \times 3 - 3 = 12$ et $2 \times 3 + 6 = 12$ cohérent. L’équation a une seule solution : $3$ .

Exemple — Avec des parenthèses

\begin{aligned} 3 (2 𝑥 + 1) - (6 - 𝑥) & = 15 \\ 6 𝑥 + 3 - 6 + 𝑥 & = 15 \\ 7 𝑥 - 3 & = 15 \\ 7 𝑥 & = 18 \\ 𝑥 & = \frac{18}{7} \end{aligned}

La solution n’est pas entière : on la laisse en écriture fractionnaire.

Remarque

Une équation du premier degré peut n’avoir aucune solution (

𝑥 + 1 = 𝑥 + 2

) ou en avoir une infinité (

2 (𝑥 + 1) = 2 𝑥 + 2

). Dans les deux cas, les termes en

𝑥

disparaissent au cours de la résolution.

III - Équations produits

Propriété 2 — Annulation d'un produit

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un au moins de ses facteurs est nul :

𝐴 \times 𝐵 = 0 équivaut à 𝐴 = 0 ou 𝐵 = 0 .

Cette propriété n’a pas d’équivalent pour une autre valeur : de $𝐴 \times 𝐵 = 12$ , on ne peut rien conclure sur $𝐴$ ni sur $𝐵$ .

Définition 2

Une équation produit est une équation dont un membre est un produit de facteurs du premier degré, et l’autre membre

0

L’équation se casse en deux équations du premier degré, chacune donnant une solution.

Méthode 4 — Résoudre une équation produit

Vérifier que l’équation est bien de la forme « produit $= 0$ ».
Écrire que le premier facteur est nul ou que le second l’est.
Résoudre chacune de ces équations.
Conclure en donnant toutes les solutions.

Exemple

(2 𝑥 - 6) (𝑥 + 5) = 0

On sait que

Un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Donc

2 𝑥 - 6 = 0

𝑥 + 5 = 0

, c’est-à-dire

𝑥 = 3

𝑥 = - 5

L’équation a deux solutions : $3$ et $- 5$ .

Méthode 5 — Se ramener à une équation produit

Lorsque l’équation n’est pas donnée sous forme de produit, il faut d’abord tout ramener dans un membre, puis factoriser — souvent grâce à l’identité

𝑎^{2} - 𝑏^{2} = (𝑎 + 𝑏) (𝑎 - 𝑏)

Exemple — Par une différence de deux carrés

\begin{aligned} 𝑥^{2} - 49 & = 0 \\ (𝑥 + 7) (𝑥 - 7) & = 0 \end{aligned}

donc $𝑥 = - 7$ ou $𝑥 = 7$ .

Exemple — Avec un facteur commun

\begin{aligned} (𝑥 - 2) (3 𝑥 + 1) + (𝑥 - 2) (𝑥 - 4) & = 0 \\ (𝑥 - 2) (3 𝑥 + 1 + 𝑥 - 4) & = 0 \\ (𝑥 - 2) (4 𝑥 - 3) & = 0 \end{aligned}

donc $𝑥 = 2$ ou $𝑥 = \frac{3}{4}$ .

IV - Équations de la forme $𝑥^{2} = 𝑎$

Propriété 3

Soit $𝑎$ un nombre. L’équation $𝑥^{2} = 𝑎$ :

n’a aucune solution si $𝑎 < 0$ ;
a une seule solution, $0$ , si $𝑎 = 0$ ;
a deux solutions, $\sqrt{𝑎}$ et $- \sqrt{𝑎}$ , si $𝑎 > 0$ .

Deux nombres opposés ont le même carré : les solutions sont symétriques par rapport à

0

Un carré n’étant jamais négatif, l’équation

𝑥^{2} = - 4

n’a pas de solution.

Oublier la solution négative est l’erreur classique : $𝑥^{2} = 9$ a deux solutions, $3$ et $- 3$ , et non la seule $3$ .

Exemples

$𝑥^{2} = 25$ a pour solutions $5$ et $- 5$ .
$𝑥^{2} = 7$ a pour solutions $\sqrt{7}$ et $- \sqrt{7}$ , soit environ $2,65$ et $- 2,65$ .
$𝑥^{2} = - 1$ n’a pas de solution.
$4 𝑥^{2} = 36$ s’écrit $𝑥^{2} = 9$ : les solutions sont $3$ et $- 3$ .

Remarque

On peut aussi passer par une équation produit :

𝑥^{2} = 25

donne

𝑥^{2} - 25 = 0

, soit

(𝑥 + 5) (𝑥 - 5) = 0

. Les deux méthodes donnent évidemment le même résultat.

V - Résoudre des problèmes

Exemple — Un problème de périmètre

On sait que

Soit

𝑥

la largeur du rectangle, en centimètres : le périmètre s’écrit

4 𝑥 + 8 = 36

Or

4 𝑥 = 28

, donc

𝑥 = 7

Donc

La largeur vaut

7

cm et la longueur

11

cm. Vérification :

2 \times (7 + 11) = 36

cohérent.

Exemple — Un problème d'aire

Quel est le côté d’un carré d’aire $144$ cm² ?

On sait que

Soit

𝑐

le côté, en centimètres :

𝑐^{2} = 144

Or

Les solutions de cette équation sont

12

- 12

Donc

Une longueur étant positive, le côté mesure

12

cm. La solution négative est écartée par le contexte, non par le calcul.

Résoudre une équation et répondre à un problème sont deux choses différentes : certaines solutions de l’équation peuvent être impossibles dans la situation décrite.

Exemple — Un problème de tarifs

Un club propose deux formules : $120$ € d’abonnement puis $2$ € la séance, ou $5$ € la séance sans abonnement. À partir de combien de séances la première est-elle plus avantageuse ?

On sait que

Soit

𝑛

le nombre de séances : les deux formules coutent le même prix lorsque

120 + 2 𝑛 = 5 𝑛

Or

120 = 3 𝑛

, donc

𝑛 = 40

Donc

Au-delà de

40

séances, l’abonnement devient plus avantageux.

Exemple — Un problème de physique

Un objet lâché sans vitesse tombe d’une hauteur $ℎ = 5 𝑡^{2}$ mètres au bout de $𝑡$ secondes. Au bout de combien de temps a-t-il chuté de $45$ m ?

On sait que

5 𝑡^{2} = 45

, donc

𝑡^{2} = 9

Or

Les solutions sont

3

- 3

Donc

Une durée étant positive, la chute dure

3

secondes.

I - Mettre un problème en équation

Définitions

Méthode 1 — Tester si un nombre est solution

Exemple

Méthode 2 — Mettre un problème en équation

Exemple — Un périmètre

II - Résolution algébrique d’une équation du premier degré

Propriété 1 — Règles de transformation

Pour mieux comprendre

Méthode 3 — Résoudre $a x + b = c x + d$

Exemple — Une résolution complète

Exemple — Avec des parenthèses

Remarque

III - Équations produits

Propriété 2 — Annulation d'un produit

Définition 2

Méthode 4 — Résoudre une équation produit

Exemple

On sait que

Donc

Méthode 5 — Se ramener à une équation produit

Exemple — Par une différence de deux carrés

Exemple — Avec un facteur commun

IV - Équations de la forme 𝑥2=𝑎

Propriété 3

Exemples

Remarque

V - Résoudre des problèmes

Exemple — Un problème de périmètre

On sait que

Or

Donc

Exemple — Un problème d'aire

On sait que

Or

Donc

Exemple — Un problème de tarifs

On sait que

Or

Donc

Exemple — Un problème de physique

On sait que

Or

Donc

IV - Équations de la forme $𝑥^{2} = 𝑎$