Proportionnalité, fonctions linéaires et pourcentages d'évolution

I - Situations de proportionnalité

Définition 1

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu’on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.

Un tableau de proportionnalité : le même coefficient relie chaque colonne.

Méthode 1 — Reconnaitre une situation de proportionnalité

Calculer le quotient de la seconde grandeur par la première, pour chaque couple de valeurs.
Tous les quotients égaux : il y a proportionnalité, et ce quotient est le coefficient.
Un seul quotient différent suffit à conclure qu’il n’y en a pas.

Exemple

Masse (kg)	$2$	$5$	$8$	$12$
Prix (€)	$4,6$	$11,5$	$18,4$	$27,6$

$\frac{4,6}{2} = 2,3$ , $\frac{11,5}{5} = 2,3$ , $\frac{18,4}{8} = 2,3$ : le prix est proportionnel à la masse, au tarif de $2,3$ € par kilogramme.

Définition 2

La quatrième proportionnelle est la valeur manquante d’un tableau de proportionnalité dont on connait trois valeurs.

Méthode 2 — Trois façons de la calculer

Par le coefficient : le calculer, puis multiplier.
Par le produit en croix : de $\frac{𝑎}{𝑏} = \frac{𝑐}{𝑥}$ , on tire $𝑥 = \frac{𝑏 \times 𝑐}{𝑎}$ .
Par la linéarité : additionner ou multiplier des colonnes connues.

Exemple

Si $8$ kg coutent $18,4$ €, combien coutent $14$ kg ?

𝑥 = \frac{14 \times 18,4}{8} = 32,2 €.

II - La fonction linéaire

Définition 3

Une fonction linéaire est une fonction de la forme

𝑓 : 𝑥 \mapsto 𝑎 𝑥,

où $𝑎$ est un nombre fixé, appelé le coefficient de la fonction.

Propriété 1

Une situation est de proportionnalité si, et seulement si, elle se modélise par une fonction linéaire. Le coefficient de la fonction est alors le coefficient de proportionnalité.

Exemple

Le prix de la masse achetée s’écrit

𝑝 : 𝑚 \mapsto 2,3 𝑚

. Une masse de

14

kg coute

𝑝 (14) = 2,3 \times 14 = 32,2

€.

Propriété 2

Une fonction linéaire vérifie toujours $𝑓 (0) = 0$ , et

𝑓 (𝑘 \times 𝑥) = 𝑘 \times 𝑓 (𝑥)

pour tout nombre $𝑘$ : doubler l’antécédent double l’image.

Méthode 3 — Déterminer une fonction linéaire

Il suffit de connaitre l’image d’un seul nombre non nul : si

𝑓 (𝑥_{0}) = 𝑦_{0}

, alors

𝑎 = \frac{𝑦_{0}}{𝑥_{0}}

Exemple

Une fonction linéaire vérifie

𝑓 (4) = 10

. Alors

𝑎 = \frac{10}{4} = 2,5

, donc

𝑓 : 𝑥 \mapsto 2,5 𝑥

III - Représentation graphique

Propriété 3

La représentation graphique d’une fonction linéaire $𝑥 \mapsto 𝑎 𝑥$ est une droite passant par l’origine du repère.

Réciproquement, toute droite passant par l’origine, autre que l’axe des ordonnées, représente une fonction linéaire.

Trois fonctions linéaires : la droite est d’autant plus « penchée » que

| 𝑎 |

est grand, et elle descend quand

𝑎

est négatif.

Méthode 4 — Tracer la droite

L’origine appartient toujours à la droite : c’est un premier point.
Calculer l’image d’un nombre bien choisi, par exemple $1$ ou $2$ .
Placer ce second point, et tracer la droite.

Lire le coefficient : en avançant de

1

, on monte de

𝑎

Méthode 5 — Lire le coefficient sur un graphique

Partir de l’origine, avancer de

1

vers la droite, puis mesurer la montée : cette montée est le coefficient. Une descente donne un coefficient négatif.

Reconnaitre une proportionnalité sur un graphique se résume à deux conditions : les points sont alignés, et cette droite passe par l’origine. Une droite qui ne passe pas par l’origine n’est pas une situation de proportionnalité.

IV - Pourcentage d’évolution et coefficient multiplicateur

Définition 4

Augmenter une valeur de

𝑡 %

, c’est la multiplier par

1 + \frac{𝑡}{100}

; la diminuer de

𝑡 %

, c’est la multiplier par

1 - \frac{𝑡}{100}

. Ce nombre est le coefficient multiplicateur de l’évolution.

Exemples

$+ 5 %$ correspond à $\times 1,05$ .
$+ 20 %$ correspond à $\times 1,2$ .
$- 20 %$ correspond à $\times 0,8$ .
$- 100 %$ correspond à $\times 0$ .

Méthode 6 — Retrouver le taux à partir du coefficient

Un coefficient $𝑐$ correspond à une évolution de

𝑡 = (𝑐 - 1) \times 100 %,

positive si $𝑐 > 1$ , négative si $𝑐 < 1$ .

Exemple

Une multiplication par

1,35

correspond à une hausse de

35 %

; une multiplication par

0,93

à une baisse de

7 %

Propriété 4 — Évolutions successives

Enchainer deux évolutions revient à multiplier leurs coefficients. Le taux global n’est pas la somme des taux.

Une hausse puis une baisse du même pourcentage : la valeur finale est inférieure à la valeur initiale.

Exemple — Hausse puis baisse

On sait que

Un article à

200

€ augmente de

20 %

, puis baisse de

20 %

Or

200 \times 1,2 \times 0,8 = 200 \times 0,96 = 192

Donc

Le prix final est

192

€, soit une baisse globale de

4 %

— et non un retour au prix de départ.

Une hausse de $20 %$ suivie d’une baisse de $20 %$ ne se compense pas : la baisse porte sur une valeur plus grande que la hausse.

Exemple — Appliquer une évolution

Un loyer de $650$ € augmente de $2,5 %$ :

650 \times 1,025 = 666,25 €.

V - Proportionnalité en géométrie

La proportionnalité ne concerne pas que les prix : elle est au cœur de toute la géométrie des configurations.

Propriété 5

Dans une configuration de Thalès, les longueurs des deux triangles sont proportionnelles : le coefficient est le rapport

\frac{𝐴 𝑀}{𝐴 𝐵}

Les longueurs du petit triangle et celles du grand forment un tableau de proportionnalité.

Exemple

Avec $𝐴 𝑀 = 3$ , $𝐴 𝐵 = 5$ et $𝑀 𝑁 = 4$ :

	petit triangle	grand triangle
sur la première droite	$3$	$5$
segment parallèle	$4$	$𝐵 𝐶$

Le coefficient vaut $\frac{5}{3}$ , donc $𝐵 𝐶 = 4 \times \frac{5}{3} = \frac{20}{3}$ .

Propriété 6

Deux triangles semblables ont leurs longueurs proportionnelles : le rapport de similitude est un coefficient de proportionnalité.

Méthode 7 — Reconnaitre une proportionnalité géométrique

Chercher, dans la figure, deux triangles de même forme : configuration de Thalès, triangles semblables, agrandissement ou réduction. Les longueurs correspondantes forment alors un tableau de proportionnalité.