Troisième

Homothéties, agrandissement-réduction et effet sur les grandeurs

I - Agrandissement et réduction

Définition 1

Une figure est un agrandissement ou une réduction d’une autre lorsque toutes ses longueurs sont obtenues en multipliant celles de la première par un même nombre 𝑘>0, appelé le rapport.

Remarque

Agrandissement quand 𝑘>1, réduction quand 0<𝑘<1, figure superposable quand 𝑘=1. Les angles, eux, ne changent jamais.

Propriétés — Effet sur les grandeurs

Dans un agrandissement ou une réduction de rapport 𝑘 :

  • les longueurs sont multipliées par 𝑘 ;
  • les aires sont multipliées par 𝑘2 ;
  • les volumes sont multipliés par 𝑘3.
En doublant le côté, l’aire est multipliée par 4 : quatre carrés de côté 2 tiennent dans un carré de côté 4.

Pour mieux comprendre

L’aire est un produit de deux longueurs, chacune multipliée par 𝑘 : d’où 𝑘×𝑘=𝑘2. Le volume est un produit de trois longueurs : d’où 𝑘3.

Exemple — Une maquette

Une maquette est à l’échelle 150 d’un bâtiment.

  • Une hauteur de 12 cm sur la maquette correspond à 12×50=600 cm, soit 6 m.
  • Une façade de 200 cm² sur la maquette correspond à 200×502=500 000 cm², soit 50 m².
  • Un volume de 1 L sur la maquette correspond à 503=125 000 L, soit 125 m³.

L’erreur la plus fréquente consiste à multiplier une aire par 𝑘 au lieu de 𝑘2. Doubler les dimensions d’une pièce ne double pas sa surface : il la quadruple.

II - L’homothétie

Définition 2

Soit 𝑂 un point et 𝑘 un nombre non nul. L’homothétie de centre 𝑂 et de rapport 𝑘 associe à tout point 𝑀 le point 𝑀′ de la droite (𝑂𝑀) tel que

𝑂𝑀′=|𝑘|×𝑂𝑀,

𝑀′ étant du même côté que 𝑀 si 𝑘>0, et de l’autre côté si 𝑘<0.

Une homothétie de rapport 2 : chaque point s’éloigne de 𝑂, deux fois plus loin, sur la même demi-droite.
Un rapport compris entre 0 et 1 rapproche les points de 𝑂 : c’est une réduction.

Méthode 1 — Construire l'image d'une figure

  1. Tracer les droites reliant 𝑂 à chaque sommet.
  2. Reporter sur chacune la longueur multipliée par |𝑘|, du bon côté de 𝑂.
  3. Relier les images dans le même ordre.

III - Rapport positif, rapport négatif

Un rapport négatif : l’image passe de l’autre côté du centre, et la figure se retrouve retournée.

Propriété 2

L’homothétie de centre 𝑂 et de rapport −1 est exactement la symétrie centrale de centre 𝑂.

Remarque

Le signe du rapport ne change ni les longueurs ni les aires : |𝑘| seul intervient dans les calculs de grandeurs. Il ne change que la position de l’image.

IV - Propriétés de conservation et lien avec Thalès

Propriétés

Une homothétie de rapport 𝑘 :

  • multiplie les longueurs par |𝑘| ;
  • conserve les mesures d’angles ;
  • conserve l’alignement, le parallélisme et les milieux ;
  • transforme une droite en une droite qui lui est parallèle.

C’est la différence essentielle avec les symétries, la translation et la rotation : celles-ci conservent les longueurs, l’homothétie les multiplie. Une homothétie déforme la taille, jamais la forme.

Propriété 4 — Lien avec le théorème de Thalès

Si 𝑀′ et 𝑁′ sont les images de 𝑀 et 𝑁 par l’homothétie de centre 𝑂 et de rapport 𝑘, alors (𝑀′𝑁′) est parallèle à (𝑀𝑁) et

𝑀′𝑁′=|𝑘|×𝑀𝑁.

On retrouve exactement la configuration du théorème de Thalès, de sommet 𝑂.

Remarque

Le théorème de Thalès et l’homothétie disent donc la même chose, sous deux points de vue : l’un parle de quotients de longueurs, l’autre d’une transformation du plan.

V - Calculs dans une homothétie de rapport 𝑘

Méthode 2 — Calculer une grandeur de l'image

  1. Identifier le rapport 𝑘 de l’homothétie ou de l’agrandissement.
  2. Multiplier par |𝑘| pour une longueur, par 𝑘2 pour une aire, par 𝑘3 pour un volume.

Exemple — Longueur, aire et volume

Un solide de hauteur 5 cm, d’aire latérale 60 cm² et de volume 80 cm³ subit une homothétie de rapport 3.

On sait que

Les longueurs sont multipliées par 3, les aires par 32 et les volumes par 33.

Donc

La hauteur devient 15 cm, l’aire 60×9=540 cm², et le volume 80×27=2 160 cm³.

Exemple — Retrouver le rapport

Deux figures semblables ont des aires de 18 cm² et 50 cm².

On sait que

𝑘2=5018=259.

Or

𝑘>0, donc 𝑘=259=53.

Donc

Les longueurs de la seconde valent 53 de celles de la première.

Exemple — Une réduction

Un cône de volume 240 cm³ est réduit dans le rapport 12. Son volume devient

240×(12)3=2408=30 cm³.

VI - Identifier des homothéties dans une frise, un pavage, une rosace

Méthode 3 — Reconnaitre une homothétie

  1. Comparer deux exemplaires du motif : sont-ils de la même taille ?
  2. Tailles différentes mais même forme : il y a un agrandissement ou une réduction.
  3. Relier les points correspondants : si toutes ces droites se coupent en un même point, ce point est le centre de l’homothétie.
  4. Le rapport se lit sur le quotient de deux longueurs correspondantes.
Dans une rosace, les motifs ont tous la même taille : la transformation en jeu est une rotation, pas une homothétie.

Exemple — Une spirale de motifs

Certaines rosaces combinent une rotation et une homothétie de même centre : le motif tourne et rétrécit à chaque étape. Le rapport se lit alors sur deux motifs consécutifs, l’angle sur leur inclinaison.

Remarque

Frises, pavages et rosaces se décrivent tous à l’aide de quatre transformations : translation, symétrie axiale, symétrie centrale et rotation — auxquelles l’homothétie ajoute le changement d’échelle.