Puissances, notation scientifique et ordres de grandeur

I - Puissances d’un nombre

Définition 1

Soit $𝑎$ un nombre et $𝑛$ un entier supérieur ou égal à $1$ . La puissance $𝑎^{𝑛}$ est le produit de $𝑛$ facteurs égaux à $𝑎$ :

𝑎^{𝑛} = \underset{𝑛 facteurs}{\underset{⏟}{𝑎 \times 𝑎 \times \dots \times 𝑎}} .

Vocabulaire

𝑎

est la base,

𝑛

l’exposant. On lit «

𝑎

exposant

𝑛

». Pour

𝑛 = 2

on dit «

𝑎

au carré », pour

𝑛 = 3

𝑎

au cube ».

Le carré d’un nombre, vu comme l’aire d’un carré.

Le cube d’un nombre, vu comme le volume d’un cube.

Définitions

Pour $𝑎 \neq 0$ :

𝑎^{0} = 1 et 𝑎^{- 𝑛} = \frac{1}{𝑎^{𝑛}} .

Remarque

L’exposant négatif ne rend pas le résultat négatif :

2^{- 3} = \frac{1}{8}

est positif. Un exposant négatif signale un inverse, pas un signe.

Exemples

$3^{4} = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$
${(- 2)}^{3} = - 8$ et ${(- 2)}^{4} = 16$
$5^{- 2} = \frac{1}{25} = 0,04$
$7^{0} = 1$ et $7^{1} = 7$

Les parenthèses sont décisives : ${(- 3)}^{2} = 9$ alors que $- 3^{2} = - 9$ , car l’exposant ne porte alors que sur le $3$ .

Propriété 1

Le signe de

𝑎^{𝑛}

pour

𝑎 < 0

dépend de la parité de

𝑛

: positif si

𝑛

est pair, négatif si

𝑛

est impair.

II - Simplifier un produit, un quotient

Formules — Règles de calcul sur les puissances

Pour $𝑎 \neq 0$ et $𝑏 \neq 0$ , et pour tous entiers $𝑚$ et $𝑛$ :

\begin{aligned} 𝑎^{𝑚} \times 𝑎^{𝑛} & = 𝑎^{𝑚 + 𝑛} \\ \frac{𝑎^{𝑚}}{𝑎^{𝑛}} & = 𝑎^{𝑚 - 𝑛} \\ {(𝑎^{𝑚})}^{𝑛} & = 𝑎^{𝑚 \times 𝑛} \\ {(𝑎 \times 𝑏)}^{𝑛} & = 𝑎^{𝑛} \times 𝑏^{𝑛} \end{aligned}

Ces règles ne valent que pour une même base. L’expression $2^{3} \times 5^{3}$ se simplifie en ${(2 \times 5)}^{3} = 10^{3}$ , mais $2^{3} \times 5^{4}$ ne se simplifie pas.

Exemples

$3^{5} \times 3^{2} = 3^{7}$
$\frac{10^{8}}{10^{3}} = 10^{5}$
${(2^{3})}^{4} = 2^{12}$
$7^{- 2} \times 7^{5} = 7^{3}$
$\frac{10^{4}}{10^{- 2}} = 10^{6}$

Méthode 1 — Simplifier une expression

Regrouper les puissances de même base.
Appliquer les règles pour n’avoir qu’un exposant par base.
Écrire le résultat sans exposant négatif si l’énoncé le demande.

Exemple

\frac{3^{4} \times 3^{- 6}}{3^{- 3}} = 3^{4 - 6 + 3} = 3^{1} = 3 .

III - Puissances de 10 et préfixes

Propriété 2

Pour tout entier $𝑛$ positif :

10^{𝑛} = 1 \underset{𝑛 zéros}{\underset{⏟}{0 \dots 0}} et 10^{- 𝑛} = 0, \underset{𝑛 - 1 zéros}{\underset{⏟}{0 \dots 0}} 1 .

Exemples

$10^{6} = 1 000 000$
$10^{- 3} = 0,001$
$10^{0} = 1$

Les préfixes usuels, de nano à giga : chaque étape multiplie par mille.

Formule — Les préfixes du système international

nano	micro	milli	—	kilo	méga	giga	téra
$10^{- 9}$	$10^{- 6}$	$10^{- 3}$	$10^{0}$	$10^{3}$	$10^{6}$	$10^{9}$	$10^{12}$

Exemples

$1$ km $= 10^{3}$ m ; $1$ mm $= 10^{- 3}$ m.
$1$ Go $= 10^{9}$ octets ; $1$ µm $= 10^{- 6}$ m.
$1$ MW $= 10^{6}$ W.

IV - Notation scientifique

Définition 3

L’écriture scientifique d’un nombre décimal non nul est son écriture sous la forme

𝑎 \times 10^{𝑛},

où $𝑛$ est un entier relatif et où $𝑎$ est un décimal tel que $1 \leq | 𝑎 | < 10$ : il n’y a donc qu’un seul chiffre, non nul, avant la virgule.

Méthode 2 — Écrire un nombre en notation scientifique

Placer la virgule juste après le premier chiffre non nul.
Compter de combien de rangs la virgule a été déplacée.
Vers la gauche : exposant positif ; vers la droite : exposant négatif.

Exemples

$47 500 = 4,75 \times 10^{4}$
$0,000 62 = 6,2 \times 10^{- 4}$
$8,3 = 8,3 \times 10^{0}$
$0,000 000 000 1 = 10^{- 10}$

$47,5 \times 10^{3}$ vaut bien $47 500$ , mais ce n’est pas l’écriture scientifique : $47,5$ est supérieur à $10$ .

Méthode 3 — Comparer deux nombres en notation scientifique

Comparer d’abord les exposants : le plus grand exposant l’emporte, pour des nombres positifs.
À exposants égaux, comparer les nombres $𝑎$ .

Exemple

3,1 \times 10^{5} < 2,4 \times 10^{7}

, car

5 < 7

, même si

3,1 > 2,4

Définition 4

L’ordre de grandeur d’un nombre est la puissance de

10

la plus proche de ce nombre : on arrondit

𝑎

à l’unité dans son écriture scientifique.

Quelques ordres de grandeur, de l’atome à la distance Terre-Lune.

Exemples

$3 200 = 3,2 \times 10^{3}$ : ordre de grandeur $3 \times 10^{3}$ .
$87 000 = 8,7 \times 10^{4}$ : ordre de grandeur $10^{5}$ .
La population mondiale, environ $8 \times 10^{9}$ personnes.

Méthode 4 — Estimer un résultat

Remplacer chaque nombre par son ordre de grandeur, puis calculer : le résultat obtenu sert à contrôler l’ordre de grandeur du calcul exact.

V - Problèmes

Exemple — En physique : la vitesse de la lumière

La lumière parcourt $3 \times 10^{8}$ m en une seconde. Quelle distance parcourt-elle en une année, sachant qu’une année compte environ $3,15 \times 10^{7}$ secondes ?

On sait que

La distance est le produit de la vitesse par la durée.

Or

3 \times 10^{8} \times 3,15 \times 10^{7} = 9,45 \times 10^{8 + 7} = 9,45 \times 10^{15}

Donc

Une année-lumière vaut environ

9,45 \times 10^{15}

m, soit près de dix mille milliards de kilomètres.

Exemple — En chimie : le nombre d'Avogadro

Une mole contient $6 \times 10^{23}$ entités. Combien d’atomes dans $0,05$ mole ?

0,05 \times 6 \times 10^{23} = 0,3 \times 10^{23} = 3 \times 10^{22} .

Exemple — En informatique : les unités de stockage

Un disque de $2$ To contient $2 \times 10^{12}$ octets. Combien de fichiers de $4$ Mo peut-il stocker ?

\frac{2 \times 10^{12}}{4 \times 10^{6}} = 0,5 \times 10^{6} = 5 \times 10^{5},

soit $500 000$ fichiers.

Exemple — En sciences de la vie : une échelle

Une bactérie mesure environ $2$ µm, soit $2 \times 10^{- 6}$ m, et un cheveu $10^{- 4}$ m de diamètre.

\frac{10^{- 4}}{2 \times 10^{- 6}} = 0,5 \times 10^{2} = 50 :

le diamètre d’un cheveu vaut environ cinquante bactéries mises bout à bout.

Méthode 5 — Contrôler la cohérence d'un résultat

Un calcul avec des puissances se vérifie en deux temps : le chiffre

𝑎

doit rester entre

1

10

, et l’exposant doit s’obtenir par une addition ou une soustraction d’exposants — jamais par un produit.