Grandeurs composées, volumes et conversions d'unités

I - Volume de la boule et formules du cycle

Définitions

Une sphère de centre

𝑂

et de rayon

𝑅

est l’ensemble des points situés à la distance

𝑅

𝑂

: c’est une surface. La boule est le solide plein qu’elle délimite.

La boule de centre

𝑂

et de rayon

𝑅

Formules — Sphère et boule

𝑉_{boule} = \frac{4}{3} 𝜋 𝑅^{3} et {𝒜︀}_{sphère} = 4 𝜋 𝑅^{2} .

Formules — Les volumes du cycle

Solide	Volume
Cube d’arête $𝑎$	$𝑎^{3}$
Pavé droit	$𝐿 \times 𝑙 \times ℎ$
Prisme droit	${𝒜︀}_{base} \times ℎ$
Cylindre de révolution	$𝜋 𝑅^{2} ℎ$
Pyramide	$\frac{1}{3} \times {𝒜︀}_{base} \times ℎ$
Cône de révolution	$\frac{1}{3} 𝜋 𝑅^{2} ℎ$
Boule	$\frac{4}{3} 𝜋 𝑅^{3}$

Remarque

Les trois familles se retiennent ensemble : les solides « droits » ont un volume « base

\times

hauteur », les solides « pointus » en ont le tiers, et la boule fait bande à part.

Exemple

Une boule de rayon $6$ cm a pour volume

𝑉 = \frac{4}{3} 𝜋 \times 6^{3} = \frac{4}{3} 𝜋 \times 216 = 288 𝜋 \approx 905 cm³ .

La valeur exacte s’écrit avec $𝜋$ ; la valeur approchée s’obtient à la calculatrice, en précisant l’arrondi. Les deux réponses sont acceptables, mais elles ne s’écrivent pas de la même façon.

II - Volumes d’assemblages

Méthode 1 — Calculer le volume d'un solide composé

Décomposer le solide en solides usuels.
Repérer les dimensions de chacun, en vérifiant qu’elles sont dans la même unité.
Calculer chaque volume séparément.
Additionner — ou soustraire, si un solide est creusé dans un autre.

Un cylindre surmonté d’un cône : le volume total est la somme des deux.

Exemple — Un silo

Un silo est formé d’un cylindre de rayon $2$ m et de hauteur $5$ m, surmonté d’un cône de même rayon et de hauteur $3$ m.

On sait que

Le volume total est la somme des deux volumes.

Or

𝑉_{cylindre} = 𝜋 \times 2^{2} \times 5 = 20 𝜋

𝑉_{cône} = \frac{1}{3} 𝜋 \times 2^{2} \times 3 = 4 𝜋

Donc

𝑉 = 24 𝜋 \approx 75

m³, soit environ

75 000

litres.

Exemple — Un solide creusé

Dans un cube d’arête $10$ cm, on perce un cylindre de rayon $2$ cm traversant le cube de part en part.

𝑉 = 10^{3} - 𝜋 \times 2^{2} \times 10 = 1 000 - 40 𝜋 \approx 874 cm³ .

III - Grandeurs produits et grandeurs quotients

Définition 2

Une grandeur composée s’obtient en multipliant ou en divisant deux grandeurs. Son unité se construit de la même façon.

Exemples — Des grandeurs quotients

Une vitesse est une distance divisée par une durée : km/h, m/s.
Un débit est un volume divisé par une durée : L/min, m³/s.
Une masse volumique est une masse divisée par un volume : kg/m³, g/cm³.
Une concentration est une masse divisée par un volume : g/L.

Exemples — Des grandeurs produits

Une énergie est une puissance multipliée par une durée : le kilowattheure, kW·h.
Une aire est un produit de deux longueurs : le mètre carré.

Formules

𝑣 = \frac{𝑑}{𝑡}, 𝑑 = 𝑣 \times 𝑡, 𝑡 = \frac{𝑑}{𝑣} .

Méthode 2 — Utiliser une grandeur composée

Écrire la formule qui la définit.
Vérifier que les unités des données correspondent à celle de la grandeur.
Convertir si nécessaire avant de calculer.
Donner le résultat avec son unité.

Exemple — Une vitesse moyenne

Un cycliste parcourt $63$ km en $2$ h $30$ min.

On sait que

2

30

min

= 2,5

Or

𝑣 = \frac{63}{2,5}

Donc

𝑣 = 25,2

km/h.

$2$ h $30$ min ne vaut pas $2,3$ h : les durées ne sont pas décimales. Il faut convertir en heures décimales avant tout calcul.

Exemple — Une masse volumique

Un bloc de $2,7$ kg occupe $1$ dm³.

𝜌 = \frac{2,7}{1} = 2,7 kg/dm³ = 2,7 g/cm³ :

c’est de l’aluminium.

IV - Conversions d’unités de volume

Propriété 1

Un rapport $𝑘$ sur les longueurs donne un rapport $𝑘^{2}$ sur les aires et $𝑘^{3}$ sur les volumes. Pour les unités décimales, $𝑘$ vaut $10$ :

1 m = 10^{2} cm donc 1 m^{3} = 10^{6} {cm}^{3} .

Le cube d’arête

1

dm contient dix rangées de dix piles de dix cubes d’arête

1

cm.

Formules — Les équivalences à connaitre

1 {dm}^{3} = 1 L, 1 {cm}^{3} = 1 mL, 1 m^{3} = 1 000 L .

Exemples

$2,5$ m³ $= 2,5 \times 10^{6}$ cm³ $= 2 500 000$ cm³.
$450$ cm³ $= 0,45$ L.
$0,02$ m³ $= 20$ dm³ $= 20$ L.

Méthode 3 — Convertir un volume

Écrire le rapport entre les deux unités de longueur, comme puissance de $10$ .
L’élever au cube.
Multiplier ou diviser par ce facteur.

Remarque

Le tableau de conversion des volumes comporte trois colonnes par unité, contre deux pour les aires et une pour les longueurs. C’est la traduction, en colonnes, des exposants

1

2

3

V - Conversions sur les grandeurs composées

Méthode 4 — Convertir une grandeur composée

Convertir séparément le numérateur et le dénominateur, puis effectuer le quotient.

Exemple — Des km/h aux m/s

On sait que

1

= 1 000

m et

1

= 3 600

Or

90 km/h = \frac{90 \times 1 000 m}{3 600 s} .

Donc

90

km/h

= 25

m/s. Le facteur de conversion est

3,6

: on divise par

3,6

pour passer des km/h aux m/s.

Exemple — Des m³/s aux L/min

On sait que

1

m³

= 1 000

L et

1

min

= 60

Or

0,05

m³/s

= 0,05 \times 1 000

L/s

= 50

L/s.

Donc

50 \times 60 = 3 000

L/min.

Exemple — Un débit et une durée

Une piscine de $48$ m³ se remplit à $200$ L/min. Combien de temps ?

On sait que

48

m³

= 48 000

Or

𝑡 = 48 \frac{000}{200} = 240

min.

Donc

Le remplissage dure

4

heures.

Méthode 5 — Vérifier la cohérence des unités

Le contrôle final porte toujours sur l’unité : une longueur ne peut pas répondre à une question sur un volume, et un résultat en m/s de l’ordre de plusieurs centaines pour un piéton signale une erreur de conversion.

Une réponse sans unité est incomplète ; une réponse avec une unité incohérente est fausse, même si le calcul est juste.