Cinquième

Nombres relatifs : découverte et comparaison

I - Nombres positifs, nombres négatifs

Pour mieux comprendre

Certaines grandeurs se mesurent des deux côtés d’une valeur de référence : une température au-dessus ou au-dessous de 0°C, une altitude au-dessus ou au-dessous du niveau de la mer, une date avant ou après Jésus-Christ, un solde bancaire créditeur ou débiteur. Les nombres appris jusqu’ici ne permettent d’en écrire qu’une moitié.
Sur un thermomètre, −5°C et +5°C sont à la même distance de 0, de part et d’autre.

Définitions

  • Un nombre positif est un nombre supérieur ou égal à 0.
  • Un nombre négatif est un nombre inférieur ou égal à 0.
  • Un nombre est strictement positif s’il est positif et différent de 0, strictement négatif s’il est négatif et différent de 0.

Remarque

0 est à la fois positif et négatif : c’est le seul nombre dans ce cas.

Notation

Un nombre positif s’écrit avec un signe + devant, ou sans signe : +7 et 7 désignent le même nombre. Un nombre négatif s’écrit toujours avec un signe − devant : −7.

Définition 2

Un nombre relatif est un nombre positif ou négatif. Il s’écrit avec deux éléments :

  • son signe : + ou − ;
  • sa valeur absolue : un nombre positif ou nul.

Exemples

  • Dans −123, le signe est − et la valeur absolue est 123.
  • Pythagore est né vers l’an 580 avant J.-C. : −580.
  • Leonhard Euler est né en 1707 : +1707.
  • La température de fusion du diazote est de −210°C.

II - Opposé et valeur absolue

Définition 3

L’opposé d’un nombre relatif est le nombre de même valeur absolue et de signe contraire.

Exemples

  • L’opposé de +5 est −5 ; l’opposé de −2,5 est +2,5.
  • L’opposé de 0 est 0.

Définition 4

La valeur absolue d’un nombre relatif est ce nombre « sans son signe » : c’est sa distance à 0 sur la droite graduée.

Exemples

  • La valeur absolue de +5 est 5 ; celle de −7 est 7.
  • −7 et +7 ont la même valeur absolue : ils sont opposés.
Deux nombres opposés sont à la même distance de l’origine, de part et d’autre : ils sont symétriques par rapport à 0.

III - Repérage sur une droite graduée

Définition 5

Sur une droite graduée, on place les nombres positifs à droite de l’origine et les nombres négatifs à gauche. L’abscisse d’un point est alors un nombre relatif.
𝐴(2), 𝐵(−3), 𝐶(0,5) et 𝐷(−2,5) : le signe indique de quel côté de l’origine se trouve le point.

Méthode 1 — Placer un nombre relatif

  1. Le signe donne le côté : à droite de 0 si le nombre est positif, à gauche s’il est négatif.
  2. La valeur absolue donne la distance à l’origine, comptée en unités.

Remarque

Deux nombres opposés ont des points symétriques par rapport à l’origine.

IV - Comparer et ranger des nombres relatifs

Propriété 1

Sur une droite graduée orientée vers la droite, le plus grand de deux nombres est celui dont le point est le plus à droite.
Comparer, c’est regarder qui est le plus à droite : −4<−1<0<1,5<3.

Propriétés — Règles de comparaison

  • Tout nombre positif est supérieur à tout nombre négatif.
  • Entre deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande valeur absolue.
  • Entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue.

Exemples

  • 3,2>−100 : un positif est toujours plus grand qu’un négatif.
  • 4,7>4,2 : deux positifs, on compare les valeurs absolues.
  • −2>−9 : deux négatifs, et 2<9 ; c’est bien −2 le plus grand.

Remarque

C’est là qu’on se trompe le plus souvent : −9 est plus « gros » que −2 par sa valeur absolue, mais il est plus petit comme nombre. Une dette de 9 € est pire qu’une dette de 2 €.

Méthode 2 — Ranger une liste de nombres relatifs

  1. Séparer les nombres négatifs des nombres positifs.
  2. Ranger les négatifs par valeurs absolues décroissantes : ils viennent en premier, du plus petit au plus grand.
  3. Ranger ensuite les positifs par valeurs absolues croissantes.

Exemple

Ranger 3 ; −2,5 ; 0 ; −7 ; 1,5 dans l’ordre croissant :

−7<−2,5<0<1,5<3.