Le résultat d’une addition est une somme ; les nombres qu’on additionne sont les termes de la somme.
Le résultat d’une soustraction est une différence ; les nombres qu’on soustrait sont aussi ses termes.
Le résultat d’une multiplication est un produit ; les nombres qu’on multiplie sont les facteurs du produit.
Le résultat d’une division est un quotient.
Méthode 1 — Nommer une expression
Une expression porte le nom de la dernière opération qu’on y effectue : c’est elle qui donne sa nature au résultat.
Exemples
est une somme : on multiplie d’abord, mais on termine par l’addition. Ses termes sont et .
est un produit : ses facteurs sont et .
est un quotient.
Remarque
Deux calculs peuvent avoir le même résultat sans porter le même nom : et , mais le premier est un produit et le second une somme.
II - Priorités opératoires et parenthèses
Propriété 1 — Priorités des opérations
Dans un calcul contenant plusieurs opérations de natures différentes :
on effectue d’abord les calculs entre parenthèses ;
puis les multiplications et les divisions, de gauche à droite ;
enfin les additions et les soustractions, de gauche à droite.
Remarque
Un trait de fraction joue le rôle de parenthèses : on calcule d’abord le numérateur, puis le dénominateur, et on effectue la division en dernier.
À chaque ligne, le calcul encadré est celui qui est prioritaire : il est le seul à changer d’une ligne à la suivante.
Avec un trait de fraction, le numérateur et le dénominateur se calculent chacun de leur côté avant la division finale.
Exemple
Les parenthèses ne sont pas un ornement : elles changent le résultat.
Méthode 2 — Contrôler la vraisemblance d'un résultat
Avant ou après un calcul, on le refait en remplaçant chaque nombre par un nombre voisin plus simple : l’ordre de grandeur obtenu doit être proche du résultat exact.
Exemples
: on approche par , donc .
: on approche par .
III - Programmes de calcul et expressions
Définition 2
Un programme de calcul est une suite d’instructions à exécuter dans l’ordre, à partir d’un nombre choisi au départ.
Exemple
« Choisir un nombre ; lui ajouter ; multiplier le résultat par ; enlever ». En partant de : , puis , puis .
Méthode 3 — Traduire un programme en une seule expression
On écrit les opérations dans l’ordre du programme, en mettant entre parenthèses tout résultat intermédiaire sur lequel porte l’opération suivante.
Exemple
Le programme précédent, appliqué au nombre , s’écrit d’un seul trait :
Sans les parenthèses, vaudrait : ce ne serait plus le même programme.
Remarque
Une succession d’opérations donnée en français (« la somme de et de , multipliée par ») se traduit de la même façon : .
IV - Distributivité sur des exemples numériques
Propriété 2 — Distributivité
Multiplier une somme, c’est multiplier chacun de ses termes :
Pour mieux comprendre
Un rectangle de hauteur et de largeur se coupe en deux rectangles de largeurs et : son aire, , est la somme des deux aires et .
L’aire du grand rectangle se lit de deux façons : d’un bloc, , ou en deux morceaux, .
Exemples
.
.
.
Remarque
Lue de gauche à droite, la propriété sert à développer ; lue de droite à gauche, elle sert à factoriser, c’est-à-dire à faire apparaitre un facteur commun.
V - Multiples, diviseurs et division par un décimal
Définition 3
Pour deux nombres entiers et , dire que est divisible par , c’est dire que est dans la table de multiplication de : il existe un entier tel que .
Notation
Quatre façons de dire la même chose, à propos de :
est divisible par ;
est un multiple de ;
divise ;
est un diviseur de .
Méthode 4 — Reconnaitre un multiple
Pour savoir si un nombre est divisible par un autre, on peut :
poser la division euclidienne et vérifier que le reste est nul ;
ou utiliser un critère de divisibilité, quand il en existe un.
Propriété 3 — Critères par $3$ et par $9$
Divisible par
Critère
Exemples
la somme des chiffres est divisible par
la somme des chiffres est divisible par
Remarque
Un nombre divisible par est toujours divisible par , puisque . La réciproque est fausse : est divisible par mais pas par .
Méthode 5 — Diviser par un nombre décimal
Un quotient ne change pas si on multiplie le dividende et le diviseur par un même nombre. On multiplie donc les deux par , … jusqu’à ce que le diviseur devienne un entier, puis on pose la division.
: en multipliant les deux nombres par , la division devient , qui se pose.
Une droite graduée est composée de trois éléments :
une droite ;
un point choisi comme origine, associé au nombre ;
un point associé au nombre , qui fixe l’unité.
L’origine et l’unité suffisent : toutes les autres graduations s’en déduisent en reportant l’unité.
Définition 2
À chaque point d’une droite graduée correspond un nombre, appelé son abscisse. Si le point a pour abscisse , on note .
Ici , et : on lit l’abscisse en comptant les unités depuis l’origine.
Méthode 1 — Lire une abscisse
Repérer l’origine, c’est-à-dire la graduation .
Regarder combien d’unités séparent deux graduations chiffrées, puis en combien de parts égales chaque unité est partagée.
Compter ces parts depuis l’origine jusqu’au point.
Méthode 2 — Placer un point d'abscisse donnée
On fait le chemin inverse : on part de l’origine et on avance du nombre d’unités (et de parts d’unité) indiqué par l’abscisse.
Remarque
L’abscisse d’un point n’est pas une longueur : elle dépend du choix de l’origine et de l’unité. Changer d’unité change toutes les abscisses.
II - Repérage dans le plan
Définition 3
Un repère orthogonal du plan est constitué :
d’un point, l’origine, souvent noté ;
d’un axe horizontal gradué, l’axe des abscisses ;
d’un axe vertical gradué, l’axe des ordonnées.
Les deux axes sont perpendiculaires et se coupent en l’origine.
Les deux axes et leur origine commune : le plan est alors entièrement repéré.
Définition 4
À chaque point du plan muni d’un repère, on associe deux nombres, ses coordonnées : son abscisse, lue sur l’axe horizontal, puis son ordonnée, lue sur l’axe vertical.
Notation
Si le point a pour abscisse et pour ordonnée , on écrit . L’abscisse s’écrit toujours en premier.
, et : les pointillés montrent comment se lisent les deux coordonnées d’un même point.
Méthode 3 — Lire les coordonnées d'un point
Descendre (ou monter) du point jusqu’à l’axe des abscisses en suivant la verticale : on lit l’abscisse.
Repartir du point vers l’axe des ordonnées en suivant l’horizontale : on lit l’ordonnée.
Méthode 4 — Placer un point de coordonnées données
Repérer l’abscisse sur l’axe horizontal, et tracer la verticale qui y passe.
Repérer l’ordonnée sur l’axe vertical, et tracer l’horizontale qui y passe.
Le point cherché est à l’intersection des deux traits.
Certaines grandeurs se mesurent des deux côtés d’une valeur de référence : une température au-dessus ou au-dessous de , une altitude au-dessus ou au-dessous du niveau de la mer, une date avant ou après Jésus-Christ, un solde bancaire créditeur ou débiteur. Les nombres appris jusqu’ici ne permettent d’en écrire qu’une moitié.
Sur un thermomètre, et sont à la même distance de , de part et d’autre.
Définitions
Un nombre positif est un nombre supérieur ou égal à .
Un nombre négatif est un nombre inférieur ou égal à .
Un nombre est strictement positif s’il est positif et différent de , strictement négatif s’il est négatif et différent de .
Remarque
est à la fois positif et négatif : c’est le seul nombre dans ce cas.
Notation
Un nombre positif s’écrit avec un signe devant, ou sans signe : et désignent le même nombre. Un nombre négatif s’écrit toujours avec un signe devant : .
Définition 2
Un nombre relatif est un nombre positif ou négatif. Il s’écrit avec deux éléments :
son signe : ou ;
sa valeur absolue : un nombre positif ou nul.
Exemples
Dans , le signe est et la valeur absolue est .
Pythagore est né vers l’an avant J.-C. : .
Leonhard Euler est né en : .
La température de fusion du diazote est de .
II - Opposé et valeur absolue
Définition 3
L’opposé d’un nombre relatif est le nombre de même valeur absolue et de signe contraire.
Exemples
L’opposé de est ; l’opposé de est .
L’opposé de est .
Définition 4
La valeur absolue d’un nombre relatif est ce nombre « sans son signe » : c’est sa distance à sur la droite graduée.
Exemples
La valeur absolue de est ; celle de est .
et ont la même valeur absolue : ils sont opposés.
Deux nombres opposés sont à la même distance de l’origine, de part et d’autre : ils sont symétriques par rapport à .
III - Repérage sur une droite graduée
Définition 5
Sur une droite graduée, on place les nombres positifs à droite de l’origine et les nombres négatifs à gauche. L’abscisse d’un point est alors un nombre relatif.
, , et : le signe indique de quel côté de l’origine se trouve le point.
Méthode 1 — Placer un nombre relatif
Le signe donne le côté : à droite de si le nombre est positif, à gauche s’il est négatif.
La valeur absolue donne la distance à l’origine, comptée en unités.
Remarque
Deux nombres opposés ont des points symétriques par rapport à l’origine.
IV - Comparer et ranger des nombres relatifs
Propriété 1
Sur une droite graduée orientée vers la droite, le plus grand de deux nombres est celui dont le point est le plus à droite.
Comparer, c’est regarder qui est le plus à droite : .
Propriétés — Règles de comparaison
Tout nombre positif est supérieur à tout nombre négatif.
Entre deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande valeur absolue.
Entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue.
Exemples
: un positif est toujours plus grand qu’un négatif.
: deux positifs, on compare les valeurs absolues.
: deux négatifs, et ; c’est bien le plus grand.
Remarque
C’est là qu’on se trompe le plus souvent : est plus « gros » que par sa valeur absolue, mais il est plus petit comme nombre. Une dette de € est pire qu’une dette de €.
Méthode 2 — Ranger une liste de nombres relatifs
Séparer les nombres négatifs des nombres positifs.
Ranger les négatifs par valeurs absolues décroissantes : ils viennent en premier, du plus petit au plus grand.
Ranger ensuite les positifs par valeurs absolues croissantes.
Deux angles sont adjacents s’ils ont le même sommet, un côté commun, et s’ils sont situés de part et d’autre de ce côté commun. Leurs mesures s’ajoutent alors pour donner celle de l’angle qu’ils forment ensemble.
Les angles et sont adjacents : ils partagent le côté .
Définitions
Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures vaut .
Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures vaut .
À gauche, deux angles complémentaires ; à droite, deux angles supplémentaires, ici adjacents et portés par une même droite.
Définition 3
Deux angles sont opposés par le sommet s’ils ont le même sommet et si leurs côtés se prolongent l’un l’autre.
Propriété 1
Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
Deux droites sécantes forment quatre angles : ceux qui se font face sont égaux deux à deux.
II - Angles alternes-internes, angles correspondants
Lorsque deux droites et sont coupées par une troisième droite, appelée la sécante, huit angles apparaissent : quatre à chaque point d’intersection.
Les huit angles formés par deux droites et leur sécante. Les angles , , et sont dits intérieurs (entre les deux droites), les autres extérieurs.
Définition 4
Deux angles sont alternes-internes lorsque, dans cette figure :
ils ont des sommets différents ;
ils sont de part et d’autre de la sécante ;
ils sont tous deux à l’intérieur des deux droites.
Les angles et sont alternes-internes ; et le sont aussi.
Définition 5
Deux angles sont correspondants lorsque :
ils ont des sommets différents ;
ils sont du même côté de la sécante ;
l’un est à l’intérieur des deux droites, l’autre à l’extérieur.
Les angles et sont correspondants. Il y a quatre paires de ce type : , , et .
Remarque
Ces définitions ne parlent que de position : elles n’affirment rien sur les mesures. C’est le parallélisme qui, ensuite, rend ces angles égaux.
III - Caractérisation du parallélisme
Propriété 2
Si deux droites sont parallèles, alors les angles alternes-internes qu’elles forment avec une sécante ont la même mesure, et les angles correspondants aussi.
Propriété 3 — Réciproque
Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes égaux, ou deux angles correspondants égaux, alors ces deux droites sont parallèles.
Les droites étant parallèles, les angles alternes-internes et sont égaux, et les angles correspondants et le sont aussi.
Méthode 1 — Démontrer que deux droites sont parallèles
Repérer la sécante, et les deux angles sur lesquels on travaille.
Justifier qu’ils sont alternes-internes, ou correspondants.
Vérifier qu’ils ont la même mesure.
Conclure par la réciproque : les deux droites sont parallèles.
Exemple
Deux droites sont coupées par une sécante ; les angles et mesurent chacun . Ils sont alternes-internes et de même mesure : les deux droites sont donc parallèles.
Méthode 2 — Calculer une mesure d'angle
Quand les droites sont déjà connues comme parallèles, on enchaine les trois outils : angles opposés par le sommet, angles supplémentaires (deux angles adjacents portés par une droite), et égalité des angles alternes-internes ou correspondants.
Exemple
Deux droites parallèles sont coupées par une sécante, et l’angle mesure .
Une population est l’ensemble des individus étudiés.
Un individu est un élément de cette population.
Un caractère est la grandeur ou la qualité observée sur chaque individu.
Exemple
Population : les élèves d’une classe de cinquième.
Individu : chaque élève.
Caractère : la note obtenue au dernier contrôle.
Vocabulaire
Un caractère est quantitatif quand ses valeurs sont des nombres (une note, une taille, un nombre de frères et sœurs), et qualitatif sinon (une couleur, un moyen de transport).
Méthode 1 — Organiser un recueil de données
Dire précisément quelle population est étudiée et quel caractère est observé.
Relever les valeurs une par une, sans en perdre : un trait par individu.
Regrouper les traits par valeur : on obtient un tableau d’effectifs.
Remarque
Une liste brute de notes ne se lit pas. Le tableau d’effectifs dit la même chose, mais permet enfin de la comparer, de la représenter, de la résumer.
II - Effectifs et fréquences
Définitions
L’effectif d’une valeur est le nombre d’individus qui portent cette valeur.
L’effectif total est le nombre d’individus de la population.
Exemple
Les notes de la classe, regroupées :
Note
Total
Effectif
Définition 3
La fréquence d’une valeur est le quotient de son effectif par l’effectif total :
Méthode 2 — Exprimer une fréquence
En fraction : on écrit le quotient tel quel, par exemple .
En décimal : on effectue la division, ici .
En pourcentage : on multiplie le résultat décimal par , ici .
Exemple
Note
Total
Effectif
Fréquence
En %
Propriété 1
La somme de toutes les fréquences d’une série vaut , c’est-à-dire . C’est un bon contrôle : si la somme ne tombe pas juste, un effectif a été mal compté.
Remarque
Les fréquences permettent de comparer deux populations de tailles différentes : élèves sur et élèves sur représentent la même proportion, environ .
III - Tableaux, diagrammes et graphiques
Définition 4
Un diagramme en barres représente chaque valeur par une barre dont la hauteur est proportionnelle à son effectif.
Les effectifs des notes de la classe : la hauteur se lit sur l’axe vertical.
Définition 5
Un diagramme circulaire représente la série sur un disque : le disque entier () correspond à l’effectif total, et chaque valeur reçoit un secteur proportionnel à son effectif.
Méthode 3 — Construire un diagramme circulaire
Calculer l’effectif total.
Pour chaque valeur, calculer son angle :
Tracer un rayon, puis reporter les angles au rapporteur, l’un après l’autre, toujours dans le même sens.
Vérifier que la somme des angles fait bien .
Chaque secteur porte l’angle qui a servi à le tracer : pour la note , et ainsi de suite.
Définition 6
Un graphique cartésien représente une série dans un repère : le caractère lu en abscisse, la valeur observée en ordonnée. Les points peuvent être reliés lorsque l’ordre des abscisses a un sens, comme le temps.
Températures moyennes mois par mois : le graphique montre l’évolution, ce que le tableau seul ne donne pas à voir.
Méthode 4 — Choisir une représentation
Un diagramme en barres compare des effectifs entre eux.
Un diagramme circulaire montre la part de chaque valeur dans le tout.
Un graphique cartésien met en évidence une évolution.
Protocole — Avec un tableur-grapheur
Saisir les valeurs du caractère dans une colonne, les effectifs dans la colonne voisine.
Sélectionner les deux colonnes, puis demander l’insertion d’un diagramme.
Choisir le type de diagramme adapté à ce qu’on veut montrer.
Nommer les axes et le graphique : un diagramme sans légende ne se lit pas.
IV - Moyenne d’une série
Définition 7
La moyenne d’une série de données est la somme de toutes les valeurs, divisée par l’effectif total. On la note souvent .
Formule
Méthode 5 — Calculer une moyenne
Additionner toutes les valeurs, en comptant chaque valeur autant de fois que son effectif.
Diviser par l’effectif total.
Arrondir si nécessaire, en précisant l’arrondi choisi.
Exemples
Notes de cinq élèves : ; ; ; ; .
Avec le tableau d’effectifs de la classe entière :
Remarque
La moyenne n’est pas forcément une valeur du caractère : ici, n’est la note d’aucun élève. C’est la valeur qu’auraient tous les élèves si on répartissait équitablement les points entre eux.
Ramener toutes les barres à la même hauteur, c’est prendre la moyenne des effectifs : ici élèves par note.
Ajouter un nombre relatif, c’est se déplacer sur la droite graduée : vers la droite si le nombre est positif, vers la gauche s’il est négatif. Le résultat est le point d’arrivée.
: on part de , on recule de , on arrive à .
: on part de , on avance de , on arrive à .
Méthode 1 — Additionner deux nombres relatifs
S’ils sont de même signe : la somme garde ce signe, et on additionne les valeurs absolues.
S’ils sont de signes contraires : la somme prend le signe du terme de plus grande valeur absolue, et on soustrait les valeurs absolues.
Exemples
: même signe, .
: signes contraires, , et l’emporte.
: signes contraires, , et l’emporte.
Propriété 1
La somme de deux nombres opposés est nulle : .
Remarque
L’ordre des termes ne change pas la somme : . On peut donc regrouper les termes comme on veut.
II - Additionner plusieurs nombres relatifs
Méthode 2 — Somme de plusieurs relatifs
Regrouper d’un côté tous les termes positifs, de l’autre tous les termes négatifs.
Additionner chaque groupe séparément.
Additionner les deux résultats obtenus, qui sont de signes contraires.
Exemple
III - Soustraire un nombre relatif
Propriété 2
Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé :
: soustraire , c’est ajouter , donc avancer de .
Méthode 3 — Calculer une différence
Transformer la soustraction en addition, en remplaçant le nombre soustrait par son opposé.
Appliquer alors la règle d’addition des relatifs.
Exemples
.
.
.
Remarque
Le signe a donc deux rôles : il marque le signe d’un nombre (), et il marque l’opération de soustraction (). C’est la place qu’il occupe dans l’écriture qui les distingue.
IV - Parenthèses et simplification d’écriture
Convention
On n’écrit jamais deux signes d’opération à la suite : ne se note pas. C’est pour cela qu’on écrit , avec des parenthèses.
Propriété 3 — Simplifier une écriture
Une somme de relatifs s’écrit sans parenthèses en appliquant deux règles :
et s’écrivent ;
et s’écrivent .
Autrement dit, deux signes identiques donnent un , deux signes différents donnent un .
Exemples
.
.
.
Remarque
Les parenthèses restent indispensables quand elles changent l’ordre des calculs : , alors que . Les supprimer n’est légitime que dans une somme de relatifs, où l’ordre est libre.
V - Enchainements et problèmes
Méthode 4 — Enchainer additions et soustractions
Écrire toutes les soustractions comme des additions.
Supprimer les parenthèses inutiles.
Regrouper les positifs entre eux, les négatifs entre eux, puis conclure.
Exemple
Exemple — Un relevé de température
À h, il fait . La température monte de degrés dans la journée, puis redescend de degrés dans la nuit.
Il fait donc à la fin de la nuit.
Exemple — Un compte bancaire
Un compte affiche €. Un virement de € arrive, puis un prélèvement de € est effectué.
Le solde final est de €.
Exemple — Des altitudes
Un plongeur descend à m, puis remonte de m.
: il se trouve à m. L’écart entre le fond du lac, à m, et sa position est m.
Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à .Démonstration
Soit un triangle . On trace la parallèle à passant par .
On sait que
Cette parallèle et la droite sont coupées par la sécante : l’angle et l’angle qu’il forme en , du côté gauche, sont alternes-internes.
Or
Deux angles alternes-internes déterminés par deux droites parallèles ont la même mesure.
Donc
L’angle de gauche en a pour mesure . Le même raisonnement avec montre que l’angle de droite en a pour mesure .
Les trois angles se retrouvent alors mis bout à bout en , le long d’une droite : leur somme est celle d’un angle plat, soit .
Les angles de même couleur sont alternes-internes, donc de même mesure.
Méthode 1 — Calculer la mesure d'un angle
Quand deux angles d’un triangle sont connus, le troisième s’obtient en soustrayant leur somme à .
Exemples
Dans , si et , alors .
Dans , si et , alors .
Propriété 2 — Conséquences
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut .
Dans un triangle isocèle, les deux angles de la base sont égaux ; connaitre l’angle au sommet suffit donc à tout connaitre.
Dans un triangle équilatéral, les trois angles sont égaux, et valent chacun .
Exemple
Un triangle isocèle a un angle au sommet de . Les deux angles de la base se partagent , et sont égaux : chacun mesure .
Remarque
Un triangle ne peut pas avoir deux angles droits, ni deux angles obtus : la somme dépasserait déjà .
II - Construire un triangle à partir de données partielles
Propriété 3 — Inégalité triangulaire
Dans un triangle, la longueur d’un côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres. Trois longueurs données ne définissent donc un triangle que si la plus grande est inférieure à la somme des deux autres.
Le chemin direct est toujours plus court que le détour par le troisième sommet.
Protocole — Trois longueurs
Tracer le côté le plus long.
Tracer un arc de cercle de centre l’une des extrémités, de rayon la deuxième longueur.
Tracer un arc de cercle de centre l’autre extrémité, de rayon la troisième longueur.
Relier le point d’intersection des deux arcs aux deux extrémités.
Le troisième sommet n’est pas choisi : il est imposé par le croisement des deux arcs.
Protocole — Deux longueurs et l'angle entre elles
Tracer l’un des deux côtés.
Au rapporteur, tracer une demi-droite formant l’angle donné.
Reporter la seconde longueur sur cette demi-droite : le troisième sommet y est.
L’angle donne la direction ; la longueur donne le point.
Protocole — Une longueur et deux angles
Tracer le côté donné.
À chaque extrémité, tracer au rapporteur la demi-droite formant l’angle demandé.
Le troisième sommet est le point d’intersection des deux demi-droites.
Les deux demi-droites se coupent en un seul point : le triangle est déterminé.
Méthode 2 — Quand une donnée manque
Les données sont parfois incomplètes en apparence : la somme des angles, le codage d’un triangle isocèle ou équilatéral, l’inégalité triangulaire permettent souvent de retrouver la donnée manquante avant de construire.
Exemple
Construire tel que cm, et . L’angle en n’est pas donné, mais
et on est ramené au cas « une longueur et deux angles ».
Remarque
Certaines données ne définissent aucun triangle ( cm, cm, cm : ), d’autres en définissent une infinité (trois angles seuls, sans aucune longueur).
III - Médiatrices et cercle circonscrit
Définition 1
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieu. C’est l’ensemble des points situés à égale distance des deux extrémités.
Propriété 4
Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes : elles se coupent en un même point, qui est le centre du cercle circonscrit au triangle, c’est-à-dire du cercle passant par les trois sommets.DémonstrationSoit le point d’intersection des médiatrices de et de .
On sait que
est sur la médiatrice de , donc .
Or
est aussi sur la médiatrice de , donc .
Donc
: le point est à égale distance de et de , il appartient donc aussi à la médiatrice de . Le cercle de centre et de rayon passe par les trois sommets.
Les trois médiatrices se coupent en , centre du cercle circonscrit.
Propriété 5 — Cas particuliers
Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse : l’hypoténuse est un diamètre.
Dans un triangle isocèle, le centre est sur l’axe de symétrie, c’est-à-dire sur la médiatrice de la base.
Dans un triangle obtusangle, le centre est à l’extérieur du triangle.
Triangle rectangle : est le milieu de l’hypoténuse.
Triangle obtusangle : sort du triangle, mais le cercle passe toujours par les trois sommets.
IV - Hauteurs et aire d’un triangle
Définition 2
La hauteur issue d’un sommet est la droite passant par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé. Le point où elle rencontre ce côté s’appelle le pied de la hauteur.
Notation
Si est le pied de la hauteur issue de , on dit indifféremment que est la hauteur issue de , la hauteur relative à , ou la hauteur du côté .
La hauteur issue de rencontre à angle droit, en .
Propriété 6
Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes : leur point commun s’appelle l’orthocentre.
Les trois hauteurs se coupent en .
Remarque
Dans un triangle obtusangle, le pied d’une hauteur peut tomber en dehors du côté — il faut alors prolonger ce côté — et l’orthocentre sort du triangle.
Triangle obtusangle : les hauteurs se coupent toujours, mais à l’extérieur.
Formule
où la hauteur est celle qui est relative à la base choisie.
Pour mieux comprendre
Un triangle est la moitié d’un rectangle de même base et de même hauteur : la hauteur partage ce rectangle en deux, et chaque part est coupée en deux parts égales par un côté du triangle.
L’aire du triangle est la moitié de celle du rectangle.
La formule vaut encore quand la hauteur tombe en dehors de la base.
Exemple
Un triangle a une base de cm et une hauteur relative de cm :
Remarque
Les trois couples base-hauteur d’un même triangle donnent la même aire : c’est un bon moyen de retrouver une hauteur quand on connait l’aire et une base.
V - Médianes et partage des aires
Définition 3
La médiane issue d’un sommet est le segment qui joint ce sommet au milieu du côté opposé.
est le milieu de : est la médiane issue de .
Propriété 7
Les trois médianes d’un triangle sont concourantes : leur point commun s’appelle le centre de gravité du triangle.
Les trois médianes se coupent en .
Propriété 8
Une médiane partage le triangle en deux triangles de même aire.DémonstrationSoit la médiane issue de dans le triangle .
On sait que
Les triangles et ont des bases et de même longueur, puisque est le milieu de .
Or
Ces deux bases sont portées par la même droite , et les deux triangles ont le même sommet : la hauteur issue de est la même pour les deux.
Donc
Leurs aires, égales à , sont égales.
Même base, même hauteur : les deux triangles ont la même aire.
Exemple
Un triangle d’aire est partagé par une médiane en deux triangles de chacun. Les trois médianes le partagent finalement en six triangles de même aire, chacun.
Deux grandeurs sont proportionnelles si on passe des valeurs de l’une aux valeurs de l’autre en multipliant toujours par un même nombre.
Exemples
Le côté d’un carré et son périmètre sont proportionnels : on multiplie toujours par .
Le nombre d’articles identiques achetés et le prix payé sont proportionnels : on multiplie par le prix d’un article.
La durée d’un trajet à vitesse constante et la distance parcourue sont proportionnelles.
Exemples — Contre-exemples
L’âge d’une personne et sa taille ne sont pas proportionnels : à ans, on ne mesure pas le double de sa taille à ans.
Le côté d’un carré et son aire ne sont pas proportionnels : en doublant le côté, l’aire est multipliée par .
Un abonnement à € par mois plus € par séance n’est pas proportionnel au nombre de séances : sans séance, on paie déjà €.
Méthode 1 — Vérifier une proportionnalité dans un tableau
Calculer, pour chaque colonne, le quotient de la valeur du bas par la valeur du haut.
Si tous ces quotients sont égaux, les grandeurs sont proportionnelles, et ce quotient commun est le coefficient.
S’il en existe deux différents, elles ne le sont pas — un seul suffit à conclure.
Exemple
Nombre de pommes
Prix (€)
Les quotients sont tous égaux : il y a proportionnalité.
Exemple
Âge (ans)
Taille (cm)
mais
Les quotients diffèrent : il n’y a pas proportionnalité.
II - Coefficient de proportionnalité
Définition 2
Le nombre par lequel on multiplie s’appelle le coefficient de proportionnalité. Il se lit d’une ligne du tableau à l’autre.
Le coefficient fait passer de la masse au prix, colonne par colonne.
Méthode 2 — Quatre façons de compléter un tableau
Coefficient : multiplier une ligne entière par le coefficient.
Homogénéité : multiplier (ou diviser) une colonne entière par un même nombre.
Additivité : additionner deux colonnes pour en obtenir une troisième.
Passage à l’unité : obtenir d’abord la colonne du , puis multiplier par ce qu’on veut.
Exemple
kg de pommes coûtent €. Combien coûtent kg ?
Masse (kg)
Prix (€)
Passage à l’unité : € le kilogramme, puis €.
Exemple — Vitesse moyenne
Une voiture parcourt km en h. Le coefficient de proportionnalité, ici , est sa vitesse moyenne, en kilomètres par heure. En h, elle parcourt km.
Exemple — Échelle
Sur une carte à l’échelle , cm représente cm, soit m. Une distance de cm sur la carte correspond donc à m.
Remarque
Un coefficient de proportionnalité a presque toujours un sens concret : prix unitaire, vitesse, échelle, masse volumique. Le nommer, c’est déjà comprendre la situation.
III - Proportions et pourcentages
Définition 3
Une proportion est le quotient d’une partie par le tout. Un pourcentage est une proportion écrite avec le dénominateur : signifie .
Méthode 3 — Appliquer un pourcentage
Prendre d’une quantité, c’est la multiplier par .
Exemple
de € €.
Méthode 4 — Calculer un pourcentage
Pour savoir quel pourcentage une partie représente d’un tout, on calcule
Exemple
Un article passe de € à €. La remise est de €, soit
Le prix a diminué de .
Méthode 5 — Retrouver le prix de départ
Une diminution de laisse du prix : le tableau de proportionnalité relie le prix et le pourcentage correspondant.
Exemple
Après une baisse de , un article coûte €.
Prix (€)
Pourcentage (%)
On passe de la première colonne à la seconde en multipliant par ; dans l’autre sens on divise :
Le prix de départ était de €.
Remarque
Deux baisses successives ne s’additionnent pas : puis ne font pas , car la seconde baisse porte sur un prix déjà diminué.
IV - Représenter une situation de proportionnalité
Notation
Un tableau de proportionnalité indique toujours les grandeurs et leurs unités : des nombres seuls, sans signification, ne se comparent pas.
Propriété 1 — Caractérisation graphique
Dans un repère, une situation de proportionnalité se reconnait à ceci : les points sont alignésavec l’origine du repère.
Les points sont alignés et la droite passe par l’origine : proportionnalité.
Alignés, mais la droite ne passe pas par l’origine : ce n’est pas de la proportionnalité.
Points non alignés : il n’y a pas non plus proportionnalité.
Méthode 6 — Lire un nuage de points
Vérifier si les points sont alignés.
S’ils le sont, prolonger la droite jusqu’à l’axe vertical : passe-t-elle par l’origine ?
Les deux conditions ensemble, et elles seules, caractérisent la proportionnalité.
Remarque
L’origine se justifie par le sens : article acheté coute €. Toute situation où « rien » coute déjà quelque chose n’est pas proportionnelle.
Soient deux nombres et , avec . Le quotient de par est le nombre qui, multiplié par , donne .
Notation
Ce quotient se note : est le numérateur, le dénominateur.
Propriété 1
Exemples
est le quotient de par , et .
est le quotient de par , et .
Remarque
Un quotient n’est pas toujours un nombre décimal : … ne s’arrête pas. L’écriture fractionnaire , elle, est exacte : c’est une raison de la préférer.
II - Égalité de fractions
Définition 2
Deux fractions sont égales lorsqu’elles représentent le même quotient.
Propriété 2
Un quotient ne change pas si on multiplie — ou si on divise — son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul :
La même part du rectangle, découpée deux fois plus finement : l’aire coloriée ne change pas.
Exemples
.
.
Définition 3
Simplifier une fraction, c’est diviser son numérateur et son dénominateur par un même facteur commun. Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier.
Méthode 1 — Simplifier une fraction
Chercher un diviseur commun au numérateur et au dénominateur — les critères de divisibilité aident.
Diviser les deux par ce nombre.
Recommencer tant qu’un diviseur commun subsiste.
Exemples
.
.
, en simplifiant successivement par , par , puis par .
III - Comparer des fractions
Propriété 3 — Même dénominateur
Deux fractions de même dénominateur se comparent par leurs numérateurs : la plus grande est celle dont le numérateur est le plus grand.
: les parts sont de la même taille, il y en a simplement plus.
Propriété 4 — Même numérateur
Deux fractions de même numérateur se comparent par leurs dénominateurs : la plus grande est celle dont le dénominateur est le plus petit, car ses parts sont plus grandes.
: autant de parts, mais des parts plus petites.
Méthode 2 — Comparer deux fractions quelconques
Réécrire les deux fractions avec un même dénominateur, en choisissant de préférence un multiple commun des deux dénominateurs.
Comparer alors les numérateurs.
Exemple
Comparer et . Un dénominateur commun est :
Comme , on a .
Propriété 5 — Comparer à 1
Une fraction est plus petite que si son numérateur est plus petit que son dénominateur, égale à s’ils sont égaux, plus grande que sinon.
Exemples
, car .
.
, car .
IV - Additionner et soustraire des fractions
Propriété 6
Deux fractions de même dénominateur s’additionnent (ou se soustraient) en additionnant (ou soustrayant) les numérateurs, sans toucher au dénominateur :
Exemples
.
.
.
Méthode 3 — Dénominateurs différents
Chercher un dénominateur commun : souvent, l’un des deux dénominateurs est déjà un multiple de l’autre.
Réécrire chaque fraction avec ce dénominateur.
Additionner ou soustraire les numérateurs, puis simplifier le résultat.
: on réécrit en , et la somme se lit .
Exemples
, car .
.
.
Remarque
Quand aucun dénominateur n’est multiple de l’autre, leur produit convient toujours : . Il reste alors à simplifier.
Notation
Un nombre entier s’écrit aussi en fraction : , . C’est ce qui permet de le mêler à un calcul de fractions.
V - Problèmes
Exemple — Le partage d'un gâteau
Albert prend du gâteau, Bernard , Camille . Que reste-t-il pour Danielle ?
Il reste du gâteau.
Exemple — Un disque dur
Un tiers de l’espace sert aux vidéos, un sixième aux images, un vingt-quatrième aux logiciels. Quelle fraction reste libre ?
Un peu moins de la moitié de l’espace est libre.
Méthode 4 — Résoudre un problème de fractions
Repérer à quoi correspond le « tout », c’est-à-dire le : le gâteau entier, l’espace disque, la journée.
Écrire toutes les parts avec un même dénominateur.
Effectuer les additions et soustractions, puis simplifier.
Revenir à l’énoncé : la fraction obtenue répond-elle à la question posée ?
Remarque
Deux fractions ne se comparent, ne s’ajoutent et ne se retranchent que si elles portent sur le même tout. La moitié d’une petite pizza n’est pas la moitié d’une grande.
Deux figures sont symétriques par rapport à un point si, en faisant pivoter le plan d’un demi-tour autour de , elles se superposent. Le point est le centre de symétrie, et cette transformation s’appelle la symétrie centrale de centre .
Chaque sommet et son image sont alignés avec , de part et d’autre.
Théorème-Définition 1
Le symétrique d’un point par rapport à est l’unique point tel que soit le milieu du segment .
est le symétrique de par rapport à : , et les trois points sont alignés.
Remarque
Le symétrique de par rapport à est lui-même : c’est le seul point qui ne bouge pas.
Pour mieux comprendre
La symétrie axiale retourne la figure comme dans un miroir ; la symétrie centrale la fait pivoter d’un demi-tour, sans la retourner. Une figure et son image par une symétrie centrale se lisent « à l’envers », comme une carte à jouer.
II - Propriétés du demi-tour
Propriété 1 — Conservation
La symétrie centrale conserve :
la nature des figures : le symétrique d’un carré est un carré, celui d’un cercle un cercle de même rayon ;
les longueurs : le symétrique d’un segment de cm est un segment de cm ;
les mesures des angles : le symétrique d’un angle de est un angle de ;
les aires et l’alignement des points.
Les côtés codés de la même façon ont la même longueur, et l’angle marqué garde sa mesure.
Propriété 2 — Lien avec le parallélisme
L’image d’une droite par une symétrie centrale est une droite qui lui est parallèle.
, image de , lui est parallèle.
Remarque
C’est une différence nette avec la symétrie axiale, où l’image d’une droite n’est en général pas parallèle à la droite de départ.
Définition 2
Un point est un centre de symétrie d’une figure si la figure est sa propre image par le demi-tour de centre .
Le parallélogramme a un centre de symétrie : le point d’intersection de ses diagonales.
Un triangle n’a pas de centre de symétrie.
III - Construire des symétriques
Protocole — Sur quadrillage
Compter le déplacement qui mène du point au centre : tant de carreaux horizontalement, tant de carreaux verticalement.
Repartir du centre et refaire exactement le même déplacement, en continuant dans le même sens.
Recommencer pour chaque sommet, puis relier les images dans le même ordre.
Le chemin qui va de à se prolonge de l’autre côté, à l’identique : on arrive en .
Protocole — Sans quadrillage, à la règle et au compas
Tracer la demi-droite .
Reporter au compas la longueur à partir de , sur cette demi-droite, au-delà de : on obtient .
Recommencer pour chaque sommet de la figure.
Méthode 1 — Tirer parti des propriétés
Tous les sommets ne demandent pas le même travail : puisque les longueurs sont conservées et que les droites deviennent des droites parallèles, il suffit souvent de construire deux ou trois points, puis de terminer la figure en reportant les longueurs connues.
Exemple
Pour construire l’image d’un segment , il suffit de construire et , puis de les relier : l’image du segment est le segment , de même longueur, porté par une droite parallèle à .
Une instruction est un ordre élémentaire, compris sans ambiguïté par la machine. Une séquence est une suite d’instructions exécutées dans l’ordre, de haut en bas.
Vocabulaire
Dans un langage de programmation par blocs, chaque instruction est un bloc. Les blocs s’emboitent verticalement : l’empilement est l’ordre d’exécution.
Définitions
Les entrées d’un programme sont les informations qu’il reçoit de l’extérieur : une valeur saisie, un clic, un nombre au hasard.
Les sorties sont ce qu’il produit : un affichage, un dessin, un son.
Un programme qui demande un côté, calcule le périmètre d’un carré, puis l’affiche : l’entrée est la réponse saisie, la sortie est le nombre dit.
Définition 3
Une variable est une case mémoire portant un nom, dans laquelle le programme range une valeur pour la réutiliser plus tard.
Remarque
L’instruction « mettre à » n’est pas une égalité mathématique : c’est un ordre de rangement. La valeur précédente de est perdue.
Méthode 1 — Analyser un programme donné
Repérer ses entrées : que doit-on lui fournir ?
Exécuter la séquence pas à pas, en notant après chaque bloc la valeur de chaque variable.
Lire la sortie obtenue et la confronter à ce qu’on attendait.
Exemple
Avec le programme ci-dessus et la réponse :
Après l’instruction
côté
périmètre
mettre côté à la réponse
—
mettre périmètre à (côté × 4)
dire périmètre
La sortie est .
II - Formules et expressions informatiques
Définition 4
Une expression informatique est la traduction d’une formule mathématique dans le langage : les nombres, les variables et les opérateurs y sont emboités les uns dans les autres.
Exemples
Formule
Expression en blocs
( côté × 4 )
( 2 × ( longueur + largeur ) )
( ( base × hauteur ) / 2 )
Remarque
Les blocs d’opération ne connaissent pas les priorités : l’ordre des calculs est celui de l’emboitement. Ce sont les blocs eux-mêmes qui jouent le rôle des parenthèses.
Méthode 2 — Prévoir la valeur d'une expression
Remplacer chaque variable par sa valeur actuelle.
Évaluer les blocs les plus intérieurs d’abord, puis remonter.
Comparer ensuite avec ce que le programme affiche : un écart signale une erreur d’emboitement.
Exemple
Avec et , l’expression ( 2 × ( longueur + largeur ) ) vaut :
Emboitée autrement, ( ( 2 × longueur ) + largeur ) vaudrait : ce ne serait plus le périmètre.
III - Boucle inconditionnelle
Définition 5
Une boucle inconditionnelle répète une séquence d’instructions un nombre de fois fixé à l’avance : « répéter fois ».
Les deux instructions placées dans la boucle sont exécutées quatre fois de suite : le lutin trace un carré.
Méthode 3 — Repérer ce qui se répète
Écrire la séquence complète, sans boucle.
Repérer le motif qui revient à l’identique, et compter combien de fois.
Remplacer les répétitions par une boucle « répéter fois » contenant ce seul motif.
Exemple
Pour tracer un carré, la séquence « avancer, tourner » revient quatre fois : huit blocs deviennent une boucle de deux blocs. Pour un triangle équilatéral, ce serait « répéter fois : avancer de ; tourner de degrés », car .
Propriété 1
Pour tracer un polygone régulier à côtés, on répète fois « avancer, puis tourner de degrés » : le lutin fait un tour complet.
Remarque
Modifier le seul paramètre change entièrement le dessin sans toucher au reste du programme. C’est tout l’intérêt d’une boucle : le motif est écrit une fois, exécuté autant de fois qu’on veut.
Une expression littérale est un calcul contenant des nombres et des lettres. Chaque lettre, appelée variable, désigne un nombre qui peut changer.
Convention — Écriture
Le signe est facultatif devant une lettre ou une parenthèse :
signifie ;
signifie ;
signifie .
En revanche, il reste indispensable entre deux nombres : ne s’écrit pas .
Exemple
est une expression littérale à deux variables, composée de deux multiplications et d’une addition.
Méthode 1 — Produire une formule
Nommer par une lettre la grandeur qui peut varier.
Écrire, avec cette lettre, les opérations décrites par l’énoncé.
Vérifier la formule sur un cas particulier connu.
Exemples
Le double d’un nombre : ; son triple : .
Le successeur de : ; son prédécesseur : .
Le périmètre d’un carré de côté : .
Le périmètre d’un rectangle de dimensions et : .
L’aire d’un triangle de base et de hauteur : .
Le périmètre s’écrit de plusieurs façons, toutes égales : c’est la même longueur.
Exemple — Un programme de calcul
« Choisir un nombre, le multiplier par , puis ajouter ». En notant le nombre choisi, le programme s’écrit d’un trait : .
II - Substituer et tester une égalité
Définition 2
Évaluer une expression, ou substituer, c’est remplacer chaque lettre par une valeur donnée, puis effectuer les calculs.
Méthode 2 — Substituer sans se tromper
Réécrire l’expression en remettant les signes sous-entendus.
Remplacer chaque lettre par sa valeur, entre parenthèses si elle est négative.
Effectuer en respectant les priorités opératoires.
Exemples
pour : .
pour : .
pour et : .
Définition 3
Tester une égalité, c’est vérifier si elle est vraie pour une valeur particulière de la variable, en calculant séparément chacun de ses deux membres.
Méthode 3
Remplacer la lettre par la valeur dans le membre de gauche, et calculer.
Faire de même avec le membre de droite.
Conclure : l’égalité est vraie pour cette valeur si les deux résultats sont égaux, fausse sinon.
Exemple
Tester pour :
membre de gauche : ;
membre de droite : .
L’égalité est vraie pour .
Exemple
Tester pour , puis pour :
pour : d’un côté, de l’autre : vraie ;
pour : d’un côté, de l’autre : fausse.
Remarque
Un test ne prouve rien de général : une égalité vraie pour une valeur peut être fausse pour une autre. En revanche, une seule valeur qui la met en défaut suffit à montrer qu’elle n’est pas toujours vraie.
III - Sommes, produits, développer et réduire
Méthode 4 — Reconnaitre la nature d'une expression
Une expression littérale est une somme ou un produit selon la dernière opération qu’on y effectuerait.
Exemples
est une somme de deux termes : et .
est un produit de deux facteurs : et .
est une somme ; est un produit.
Propriété 1 — Distributivité
Pour tous nombres , et :
L’aire du grand rectangle se lit ou : ce sont deux écritures de la même aire.
Définitions
Développer une expression, c’est transformer un produit en somme.
Factoriser, c’est l’inverse : transformer une somme en produit, en mettant en évidence un facteur commun.
Exemples — Développer
.
.
.
Exemples — Factoriser
.
.
.
Propriété 2 — Réduire
Deux termes qui contiennent la même lettre s’ajoutent :
Trois longueurs puis cinq longueurs font huit longueurs .
Exemples
.
.
.
.
Remarque
On ne réduit que des termes semblables : ne se réduit pas, car et ne comptent pas la même chose. De même, reste tel quel.
IV - Démontrer, réfuter, conjecturer
Méthode 5 — Démontrer une propriété générale
Pour prouver qu’une propriété vaut pour tous les nombres, on nomme le nombre par une lettre, on traduit l’énoncé en expression littérale, puis on transforme cette expression jusqu’à la forme annoncée.
Exemple
« La somme de deux entiers consécutifs est impaire. » Soit un entier. Les deux entiers consécutifs s’écrivent et , et
Or est pair, donc est impair, quel que soit . La propriété est démontrée.
Exemple
« Le programme : choisir un nombre, lui ajouter , multiplier par , puis enlever le double du nombre choisi, donne toujours . »
Le résultat ne dépend plus de : c’est bien toujours .
Méthode 6 — Réfuter par un contre-exemple
Pour montrer qu’une affirmation est fausse, il suffit d’exhiber une seule valeur qui la met en défaut : c’est un contre-exemple.
Exemple
« pour tout nombre » est fausse : pour , on obtient . Un seul contre-exemple suffit.
Remarque
Vérifier une affirmation sur trois exemples ne la démontre pas ; trouver un seul contre-exemple la réfute définitivement. Les deux démarches n’ont pas du tout la même portée.
Protocole — Conjecturer avec un tableur ou un algorithme
Faire calculer l’expression pour de nombreuses valeurs de la variable.
Observer une régularité dans la colonne des résultats : c’est la conjecture.
La démontrer ensuite par le calcul littéral — l’ordinateur suggère, il ne prouve pas.
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
est parallèle à , et est parallèle à .
Propriété 1
Un parallélogramme a un centre de symétrie : le point d’intersection de ses diagonales. Il est sa propre image par le demi-tour autour de ce point.
Protocole — Construire un parallélogramme à partir de trois sommets
Tracer la diagonale joignant deux sommets opposés, par exemple .
Placer son milieu .
Construire le symétrique du troisième sommet par rapport à : c’est le quatrième sommet .
est le symétrique de par rapport à , milieu de .
Protocole — Au compas, avec les longueurs
Tracer le côté .
Tracer un arc de centre , de rayon , et un arc de centre , de rayon .
Leur intersection donne le quatrième sommet .
II - Propriétés caractéristiques
Propriété 2 — Côtés opposés
Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur.
et .
Propriété 3 — Diagonales
Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.
est à la fois le milieu de et celui de .
Propriété 4 — Angles
Les angles opposés d’un parallélogramme ont la même mesure.
Deux angles consécutifs sont supplémentaires : leur somme vaut .
La somme des quatre angles vaut .
Les angles de même couleur sont égaux ; deux angles voisins totalisent .
Théorème 1 — Propriétés caractéristiques
Un quadrilatère non croisé est un parallélogramme si et seulement si l’une de ces conditions est vérifiée :
ses côtés opposés sont parallèles deux à deux ;
ses côtés opposés ont deux à deux la même longueur ;
ses diagonales se coupent en leur milieu ;
deux de ses côtés opposés sont à la fois parallèles et de même longueur.
Méthode 1 — Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
Choisir, parmi les propriétés caractéristiques, celle dont l’hypothèse est déjà donnée dans l’énoncé.
Écrire ce que l’on sait, puis la propriété utilisée, puis la conclusion.
Exemple
On sait que
est un quadrilatère non croisé dont les diagonales et se coupent en leur milieu .
Or
Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Donc
est un parallélogramme.
Remarque
L’hypothèse « non croisé » n’est pas un détail : deux segments de même longueur peuvent aussi former un quadrilatère croisé, qui n’est pas un parallélogramme.
III - Parallélogrammes particuliers
Définition 2
Un rectangle est un parallélogramme qui a un angle droit.Démonstration
On sait que
est un parallélogramme et .
Or
Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux et deux angles consécutifs sont supplémentaires.
Donc
, puis : les quatre angles sont droits.
Propriété 5
Les diagonales d’un rectangle ont la même longueur, et se coupent en leur milieu.
Le rectangle : quatre angles droits, des diagonales égales qui se coupent en leur milieu.
Définition 3
Un losange est un parallélogramme dont tous les côtés ont la même longueur.
Propriété 6
Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires, et se coupent en leur milieu. Elles sont aussi ses axes de symétrie.
Le losange : quatre côtés égaux, des diagonales perpendiculaires.
Définition 4
Un carré est à la fois un rectangle et un losange : il hérite de toutes leurs propriétés.
Propriété 7
Les diagonales d’un carré sont de même longueur, perpendiculaires, et se coupent en leur milieu.
Le carré cumule les propriétés du rectangle et celles du losange.
Méthode 2 — Donner la nature d'un quadrilatère
Établir d’abord que c’est un parallélogramme.
Chercher ensuite l’élément qui le spécialise : un angle droit en fait un rectangle, deux côtés consécutifs égaux (ou des diagonales perpendiculaires) en font un losange, les deux à la fois un carré.
IV - Aire d’un parallélogramme et conversions
Formule
où la hauteur est la distance entre la base et le côté qui lui est parallèle.
Pour mieux comprendre
En découpant le triangle qui dépasse d’un côté et en le recollant de l’autre, le parallélogramme devient un rectangle de même base et de même hauteur : l’aire n’a pas changé.
Découper, recoller : le parallélogramme devient un rectangle.
Formules
, où et sont les diagonales
Exemple
Un parallélogramme de base cm et de hauteur cm a pour aire
Remarque
La hauteur n’est pas la longueur du côté oblique : c’est la distance perpendiculaire entre les deux côtés parallèles.
Méthode 3 — Aire d'une figure complexe
Découper la figure en carrés, rectangles, triangles et parallélogrammes.
Calculer l’aire de chaque morceau.
Additionner — ou soustraire, si un morceau est un trou.
Une figure complexe se ramène toujours à des figures connues.
Notation — Unités de longueur
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
Chaque colonne vers la droite multiplie par .
Exemples
.
.
.
Notation — Unités d'aire
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
Chaque colonne vers la droite multiplie par : deux chiffres par colonne, et non un seul.
Exemples
.
.
, car ha hm2.
Remarque
L’erreur la plus fréquente est de convertir une aire comme une longueur : vaut , et non . Un carré de m de côté contient bien carrés de cm de côté.
Le petit chiffre écrit en haut à droite est l’exposant : il indique combien de fois le nombre est utilisé comme facteur.
Pour mieux comprendre
Ces noms viennent de la géométrie : est l’aire d’un carré de côté , et le volume d’un cube d’arête .
Un carré de côté contient carrés unité : .
Un cube d’arête contient cubes unité : .
Exemples
.
.
.
.
Remarque
Les parenthèses comptent : , alors que , car dans la seconde écriture l’exposant ne porte que sur le .
II - Carrés et cubes à connaitre
Propriété 1 — Les carrés des entiers de $0$ à $12$
Et .
Propriété 2
et : l’exposant compte les zéros.
Définition 2
Un carré parfait est le carré d’un entier : , , , , … Reconnaitre un carré parfait, c’est reconnaitre qu’un nombre peut s’écrire .
Méthode 1 — Écrire un nombre sous forme de puissance
Chercher dans le tableau des carrés, ou décomposer en facteurs : un nombre qui s’écrit est ; un nombre qui s’écrit est .
Exemples
.
.
; .
III - Calculer avec des puissances
Propriété 3 — Priorité
Dans un enchainement d’opérations, les puissances se calculent avant les multiplications et les divisions, donc avant les additions et les soustractions — mais après les parenthèses.
Méthode 2
Effectuer les calculs entre parenthèses.
Calculer les carrés et les cubes.
Effectuer ensuite les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions.
Exemples
, tandis que .
, tandis que .
.
.
Remarque
et ne sont pas égaux : . L’exposant et la base ne s’échangent pas.
IV - Expressions littérales avec une puissance
Convention
Avec des lettres, signifie , et signifie : l’exposant ne porte que sur , pas sur le . Pour élever le tout au carré, il faut écrire .
Méthode 3 — Évaluer une expression avec puissance
Remplacer la lettre par sa valeur, entre parenthèses si elle est négative.
Calculer la puissance en premier, puis le reste.
Exemples
pour : .
pour : , alors que .
pour : .
pour : .
Exemples — Des formules avec puissances
Aire d’un carré de côté : .
Volume d’un cube d’arête : .
Aire d’un disque de rayon : .
Remarque
Doubler le côté d’un carré ne double pas son aire : elle est multipliée par . Pour un cube, le volume est multiplié par .
Une expérience aléatoire est une expérience dont on connait tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir lequel se produira.
Une issue est l’un de ces résultats possibles.
Un évènement est un ensemble d’issues, décrit par une phrase.
Exemple
Lancer un dé à six faces est une expérience aléatoire.
Les issues sont , , , , et .
« Obtenir un nombre pair » est un évènement, réalisé par les issues , et .
« Obtenir » est un évènement impossible ; « obtenir un nombre inférieur à » est un évènement certain.
Exemples — D'autres expériences aléatoires
Lancer une pièce : deux issues, « pile » et « face ».
Tirer une boule dans un sac opaque contenant des boules de couleurs.
Faire tourner une roue partagée en secteurs.
Remarque
Une expérience n’est aléatoire que si le résultat n’est pas décidé d’avance : compter le nombre d’élèves présents dans la classe n’est pas une expérience aléatoire.
II - La probabilité d’un évènement
Définition 2
La probabilité d’un évènement est un nombre compris entre et qui mesure la chance qu’il se réalise : pour un évènement impossible, pour un évènement certain.
Toute probabilité se place sur cette droite, entre l’impossible et le certain.
Notation
La probabilité peut s’écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage : , et désignent la même chance.
III - Équiprobabilité
Définition 3
Une situation est dite d’équiprobabilité lorsque toutes les issues ont la même chance de se produire.
Propriété 1
Dans une situation d’équiprobabilité à issues, chaque issue a pour probabilité , et la probabilité d’un évènement est
Des secteurs de même taille : chaque couleur a la même probabilité de sortir.
Exemples
Avec un dé équilibré : , et .
Avec une pièce équilibrée : .
Dans un sac de boules dont rouges : .
Méthode 1 — Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité
Vérifier que toutes les issues ont bien la même chance : dé équilibré, pièce non truquée, boules indiscernables au toucher.
Compter le nombre total d’issues.
Compter les issues qui réalisent l’évènement.
Écrire le quotient, puis le simplifier.
Propriété 2
La somme des probabilités de toutes les issues d’une expérience vaut .
Remarque
L’équiprobabilité est une hypothèse, pas une évidence : un dé lesté ou une roue à secteurs inégaux n’y obéit pas, et le calcul par comptage ne s’applique plus.
IV - Expérimenter : effectifs et fréquences
Protocole — Répéter une expérience et enregistrer
Choisir l’expérience et la répéter un grand nombre de fois, dans les mêmes conditions.
Noter dans un tableau l’effectif de chaque issue.
Calculer la fréquence de chaque issue : son effectif divisé par le nombre total d’essais.
Comparer ces fréquences aux probabilités attendues.
Exemple
Une pièce lancée fois :
Issue
Effectif
Fréquence
Probabilité
pile
face
Total
Propriété 3
Plus le nombre d’essais augmente, plus la fréquence observée d’un évènement se rapproche de sa probabilité. C’est ce qui donne un sens concret au nombre calculé.
La fréquence de « pile » s’agite au début, puis se stabilise autour de .
Même phénomène pour « obtenir » avec un dé, autour de .
Remarque
Sur lancers, obtenir fois pile n’a rien d’anormal ; sur lancers, ce serait très surprenant. Une probabilité ne prédit pas un résultat isolé : elle décrit ce qui se passe sur un grand nombre d’expériences.
Une équation est une égalité contenant une lettre, dont on cherche la ou les valeurs qui la rendent vraie. Cette lettre s’appelle l’inconnue.
Définition 2
Une solution d’une équation est une valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie. Résoudre une équation, c’est trouver toutes ses solutions.
Remarque
La lettre n’a plus ici le même rôle que dans une formule. Dans , la lettre est une variable : elle prend toutes les valeurs qu’on veut. Dans , c’est une inconnue : une seule valeur convient.
Méthode 1 — Vérifier qu'un nombre est solution
Remplacer l’inconnue par ce nombre dans le membre de gauche, et calculer.
Faire de même à droite.
Les deux résultats sont égaux : le nombre est solution. Sinon, il ne l’est pas.
Exemple
L’équation :
pour : vrai, donc est solution ;
pour : faux, donc n’est pas solution.
II - Mettre un problème en équation
Méthode 2
Choisir l’inconnue et la nommer : « soit le nombre cherché ».
Préciser ce que représente, avec son unité.
Traduire l’énoncé par une égalité entre deux expressions.
Résoudre l’équation, puis revenir à la question posée.
Exemple — Une opération à trou
« À quel nombre faut-il ajouter pour obtenir ? » Soit ce nombre : l’énoncé se traduit par .
Exemple — Un prix
« places de cinéma identiques coutent €. Quel est le prix d’une place ? » Soit le prix d’une place, en euros : .
Exemple — Un périmètre
« Un rectangle a une largeur de cm et un périmètre de cm. Quelle est sa longueur ? » Soit la longueur, en centimètres : , c’est-à-dire .
III - Résoudre par les opérations inverses
Pour mieux comprendre
Une équation est une balance en équilibre : les deux plateaux ont le même contenu. Retirer la même chose des deux côtés, ou partager chaque côté par un même nombre, conserve l’équilibre.
: la boite inconnue et trois masses d’un côté, huit masses de l’autre.
En retirant trois masses de chaque côté, l’équilibre est conservé : la boite pèse .
Méthode 3 — Résoudre $x + b = c$
L’inverse de « ajouter » est « soustraire » : la solution est .
Exemples
donne .
donne .
donne , car l’inverse de « soustraire » est « ajouter ».
: trois boites identiques équilibrent douze masses, donc chaque boite en vaut .
Méthode 4 — Résoudre $a x = c$
L’inverse de « multiplier par » est « diviser par » : la solution est , avec .
Exemples
donne .
donne .
donne .
Méthode 5 — Vérifier sa solution
Toute résolution se termine par une vérification : on remplace l’inconnue par la valeur trouvée dans l’équation de départ, et on contrôle que l’égalité est vraie.
Exemple — Résolution complète
places de cinéma coutent €.
On sait que
Soit le prix d’une place, en euros : .
Donc
.
Vérification : vrai. Une place coute €.
Remarque
Une équation peut n’avoir aucune solution ( n’est jamais vraie), ou en avoir une infinité ( est toujours vraie). Celles rencontrées ici en ont exactement une.
Deux grandeurs sont dépendantes lorsqu’il existe un moyen — une formule, un tableau, un graphique — de calculer ou de lire la valeur de l’une à partir de la valeur de l’autre.
Notation
On dit alors que la première s’exprime en fonction de la seconde. L’ordre compte : c’est la grandeur qui dépend qu’on nomme en premier.
Exemples
L’aire d’un disque s’exprime en fonction de son rayon : .
Le périmètre d’un carré s’exprime en fonction de son côté : .
Le prix payé à la pompe s’exprime en fonction du nombre de litres.
La hauteur d’eau d’une rivière s’exprime en fonction du temps, sans qu’aucune formule ne la donne : la dépendance se lit sur un graphique.
Remarque
Toutes les dépendances ne se calculent pas. Une grandeur peut dépendre d’une autre par un tableau de mesures ou une courbe relevée, sans formule connue — la dépendance n’en est pas moins réelle.
Exemple
La température ressentie dépend à la fois de la température ambiante et de la vitesse du vent : une grandeur peut dépendre de plusieurs autres.
II - Tableaux de valeurs
Définition 2
Un tableau de valeurs range côte à côte les valeurs des deux grandeurs : une colonne par couple.
Méthode 1 — Produire un tableau à partir d'une formule
Choisir plusieurs valeurs de la grandeur dont tout dépend.
Appliquer la formule à chacune, en détaillant le calcul.
Ranger les résultats dans la seconde ligne du tableau.
Exemple
Périmètre d’un carré, :
côté (cm)
périmètre (cm)
Méthode 2 — Lire un tableau de valeurs
Une colonne se lit comme une phrase : « quand le côté vaut cm, le périmètre vaut cm ». Entre deux colonnes, le tableau ne dit rien : il ne donne que les valeurs qu’il contient.
III - Graphiques cartésiens
Méthode 3 — Du tableau au graphique
Choisir un repère, la grandeur dont tout dépend en abscisse, l’autre en ordonnée.
Graduer les deux axes en indiquant les grandeurs et leurs unités.
Placer un point par colonne du tableau.
Chaque colonne du tableau devient un point du repère.
Méthode 4 — Lire un graphique
D’une abscisse vers une ordonnée : monter à la verticale jusqu’à la courbe, puis lire à l’horizontale sur l’axe vertical.
D’une ordonnée vers une abscisse : faire le chemin inverse.
En rouge : à h, la hauteur est de cm. En vert : la hauteur vaut cm à h.
Remarque
Relier les points n’a de sens que si les valeurs intermédiaires existent : une hauteur d’eau varie à chaque instant, alors qu’un nombre d’élèves ne prend que des valeurs entières. Dans ce dernier cas, on laisse un nuage de points.
IV - Formules et proportionnalité
Méthode 5 — Produire une formule
Nommer par une lettre chacune des deux grandeurs.
Décrire par des opérations comment on obtient l’une à partir de l’autre.
Vérifier la formule sur une ou deux colonnes du tableau.
Exemples
Un cahier coute € : le prix de cahiers est .
Un taxi facture € de prise en charge et € par kilomètre : le prix pour kilomètres est .
L’aire d’un rectangle de largeur fixe et de longueur est .
Propriété 1 — Caractérisation graphique de la proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles si et seulement si les points du graphique sont alignés et si la droite passe par l’origine du repère.
Alignés avec l’origine : les deux grandeurs sont proportionnelles.
Alignés, mais la droite ne passe pas par l’origine : le prix du taxi n’est pas proportionnel à la distance.
Méthode 6 — Reconnaitre la proportionnalité sur une formule
Une formule du type traduit une proportionnalité ; dès qu’un terme s’ajoute, comme dans avec , il n’y en a plus.
Exemple
: proportionnalité, la droite passe par l’origine — zéro cahier, zéro euro. : pas de proportionnalité, car kilomètre coute déjà €.
Une face est une surface, plane ou courbe, qui délimite le solide.
Une arête est un segment où deux faces se rejoignent.
Un sommet est un point où plusieurs arêtes se rejoignent.
Un polyèdre est un solide dont toutes les faces sont des polygones.
Remarque
La sphère, le cylindre et le cône ont des faces courbes : ce ne sont pas des polyèdres.
Définition 2
Un prisme droit est un solide dont les deux bases sont des polygones identiques et parallèles, et dont les faces latérales sont des rectangles.
Remarque
Le pavé droit est un prisme droit à base rectangulaire, et le cube un prisme droit à base carrée : ce sont des cas particuliers, pas des solides d’une autre espèce.
Définition 3
Un cylindre de révolution est un solide délimité par deux disques parallèles de même rayon — ses bases — et par une surface latérale courbe.
Convention — Perspective cavalière
Les faces vues de face sont dessinées en vraie grandeur.
Les arêtes parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin.
Les arêtes fuyantes sont tracées obliquement, et raccourcies.
Les arêtes cachées se dessinent en pointillés.
Un pavé droit en perspective cavalière : trois arêtes cachées, en pointillés.
Un prisme droit à base triangulaire : les deux bases sont des triangles identiques, les trois faces latérales des rectangles.
Un cylindre de révolution, de rayon et de hauteur : les disques se dessinent comme des ovales.
Définition 4
Un patron d’un solide est une figure plane qui, une fois découpée et pliée, reconstitue exactement ce solide.
Le patron d’un prisme droit : les faces latérales mises bout à bout, et les deux bases rabattues.
Le patron d’un cylindre : deux disques et un rectangle dont la longueur est le périmètre du disque, .
Méthode 1 — Passer de la perspective au patron
Compter les faces du solide et reconnaitre leur forme.
Relever les dimensions réelles de chacune — la perspective déforme, le patron non.
Disposer les faces en les faisant se toucher par des côtés de même longueur.
II - Unités de volume et de capacité
Définitions
Le volume d’un solide est la mesure de l’espace qu’il occupe.
La capacité est la mesure de ce qu’il peut contenir.
Convention
Le volume se mesure en mètres cubes (m3) et ses sous-multiples ; la capacité en litres (L) et ses sous-multiples.
Propriété 1
Notation — Unités de volume
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
Chaque colonne vers la droite multiplie par : trois chiffres par colonne.
Exemples
.
.
.
Remarque
Une longueur change de colonne par , une aire par , un volume par : un chiffre, deux chiffres, trois chiffres. C’est la même logique, appliquée à une, deux, puis trois dimensions.
III - Volumes du cube, du pavé droit et du prisme droit
Formules
Pour mieux comprendre
Un pavé droit se remplit de cubes unité : une couche en contient , et il y a couches. Pour un prisme quelconque, la couche n’est plus un rectangle mais la base elle-même : d’où .
Compter les cubes unité, couche par couche : c’est ce que fait la formule.
Exemple
Un pavé droit de dimensions cm, cm et cm a pour volume
soit mL.
Exemple
Un prisme droit de hauteur cm, dont la base est un triangle de base cm et de hauteur cm :
Méthode 2 — Calculer un volume
Reconnaitre la base du solide, et la hauteur qui lui est perpendiculaire.
Convertir toutes les longueurs dans la même unité.
Calculer l’aire de la base, puis la multiplier par la hauteur.
Donner le résultat avec l’unité de volume correspondante.
IV - Aire du disque et volume du cylindre
Formule
Pour mieux comprendre
L’aire d’un disque de rayon vaut un peu plus de trois carrés de côté : exactement d’entre eux.
Le disque couvre carrés de côté .
Exemple
Aire d’un disque de rayon cm :
L’écriture est la valeur exacte ; en est une valeur approchée.
Exemple
Aire d’un quart de disque de rayon cm :
Formule
Exemple
Un cylindre de rayon cm et de hauteur cm :
soit environ mL.
Remarque
Ne pas confondre le périmètre du disque, , qui sert à tracer le patron, et son aire, , qui sert à calculer un volume. L’un se mesure en centimètres, l’autre en centimètres carrés.
