Cinquième

Addition et soustraction de nombres relatifs

I - Additionner deux nombres relatifs

Pour mieux comprendre

Ajouter un nombre relatif, c’est se déplacer sur la droite graduée : vers la droite si le nombre est positif, vers la gauche s’il est négatif. Le résultat est le point d’arrivée.
(−3)+(−4) : on part de −3, on recule de 4, on arrive à −7.
(−8)+(+5) : on part de −8, on avance de 5, on arrive à −3.

Méthode 1 — Additionner deux nombres relatifs

  • S’ils sont de même signe : la somme garde ce signe, et on additionne les valeurs absolues.
  • S’ils sont de signes contraires : la somme prend le signe du terme de plus grande valeur absolue, et on soustrait les valeurs absolues.

Exemples

  • (−7)+(−9)=−16 : même signe, 7+9=16.
  • (−8)+(+5)=−3 : signes contraires, 8−5=3, et −8 l’emporte.
  • (+12)+(−4)=+8 : signes contraires, 12−4=8, et +12 l’emporte.

Propriété 1

La somme de deux nombres opposés est nulle : (−6)+(+6)=0.

Remarque

L’ordre des termes ne change pas la somme : (−8)+(+5)=(+5)+(−8). On peut donc regrouper les termes comme on veut.

II - Additionner plusieurs nombres relatifs

Méthode 2 — Somme de plusieurs relatifs

  1. Regrouper d’un côté tous les termes positifs, de l’autre tous les termes négatifs.
  2. Additionner chaque groupe séparément.
  3. Additionner les deux résultats obtenus, qui sont de signes contraires.

Exemple

(−5)+(+8)+(−3)+(+2)=[(+8)+(+2)]+[(−5)+(−3)]=(+10)+(−8)=+2.

III - Soustraire un nombre relatif

Propriété 2

Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé :

𝑎−𝑏=𝑎+(−𝑏).
(−7)−(−4) : soustraire −4, c’est ajouter +4, donc avancer de 4.

Méthode 3 — Calculer une différence

  1. Transformer la soustraction en addition, en remplaçant le nombre soustrait par son opposé.
  2. Appliquer alors la règle d’addition des relatifs.

Exemples

  • (−7)−(−4)=(−7)+(+4)=−3.
  • (+4)−(+7)=(+4)+(−7)=−3.
  • (−2)−(+9)=(−2)+(−9)=−11.

Remarque

Le signe − a donc deux rôles : il marque le signe d’un nombre (−4), et il marque l’opération de soustraction (7−4). C’est la place qu’il occupe dans l’écriture qui les distingue.

IV - Parenthèses et simplification d’écriture

Convention

On n’écrit jamais deux signes d’opération à la suite : 3+−5 ne se note pas. C’est pour cela qu’on écrit 3+(−5), avec des parenthèses.

Propriété 3 — Simplifier une écriture

Une somme de relatifs s’écrit sans parenthèses en appliquant deux règles :

  • +(+𝑎) et −(−𝑎) s’écrivent +𝑎 ;
  • +(−𝑎) et −(+𝑎) s’écrivent −𝑎.

Autrement dit, deux signes identiques donnent un +, deux signes différents donnent un −.

Exemples

  • (+7)+(−3)−(−5)=7−3+5=9.
  • (−4)−(+6)+(−2)=−4−6−2=−12.
  • (−4)−(−9)=−4+9=5.

Remarque

Les parenthèses restent indispensables quand elles changent l’ordre des calculs : 8−(3+5)=0, alors que 8−3+5=10. Les supprimer n’est légitime que dans une somme de relatifs, où l’ordre est libre.

V - Enchainements et problèmes

Méthode 4 — Enchainer additions et soustractions

  1. Écrire toutes les soustractions comme des additions.
  2. Supprimer les parenthèses inutiles.
  3. Regrouper les positifs entre eux, les négatifs entre eux, puis conclure.

Exemple

(−6)+(+4)−(−3)−(+8)=−6+4+3−8=(4+3)−(6+8)=7−14=−7.

Exemple — Un relevé de température

À 6 h, il fait −4°C. La température monte de 9 degrés dans la journée, puis redescend de 6 degrés dans la nuit.

−4+9−6=5−6=−1.

Il fait donc −1°C à la fin de la nuit.

Exemple — Un compte bancaire

Un compte affiche −35,5 €. Un virement de 120 € arrive, puis un prélèvement de 62 € est effectué.

−35,5+120−62=84,5−62=22,5.

Le solde final est de 22,5 €.

Exemple — Des altitudes

Un plongeur descend à −18 m, puis remonte de 7 m.

−18+7=−11

: il se trouve à −11 m. L’écart entre le fond du lac, à −24 m, et sa position est −11−(−24)=−11+24=13 m.