Probabilités

I - Vocabulaire du hasard

Définitions

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connait tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir lequel se produira.
Une issue est l’un de ces résultats possibles.
Un évènement est un ensemble d’issues, décrit par une phrase.

Exemple

Lancer un dé à six faces est une expérience aléatoire.

Les issues sont $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ et $6$ .
« Obtenir un nombre pair » est un évènement, réalisé par les issues $2$ , $4$ et $6$ .
« Obtenir $7$ » est un évènement impossible ; « obtenir un nombre inférieur à $10$ » est un évènement certain.

Exemples — D'autres expériences aléatoires

Lancer une pièce : deux issues, « pile » et « face ».
Tirer une boule dans un sac opaque contenant des boules de couleurs.
Faire tourner une roue partagée en secteurs.

Remarque

Une expérience n’est aléatoire que si le résultat n’est pas décidé d’avance : compter le nombre d’élèves présents dans la classe n’est pas une expérience aléatoire.

II - La probabilité d’un évènement

Définition 2

La probabilité d’un évènement est un nombre compris entre

0

1

qui mesure la chance qu’il se réalise :

0

pour un évènement impossible,

1

pour un évènement certain.

Toute probabilité se place sur cette droite, entre l’impossible et le certain.

Notation

La probabilité peut s’écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage :

\frac{1}{2}

0,5

50 %

désignent la même chance.

III - Équiprobabilité

Définition 3

Une situation est dite d’équiprobabilité lorsque toutes les issues ont la même chance de se produire.

Propriété 1

Dans une situation d’équiprobabilité à $𝑛$ issues, chaque issue a pour probabilité $\frac{1}{𝑛}$ , et la probabilité d’un évènement est

𝑃 = \frac{nombre d'issues favorables}{nombre total d'issues} .

Des secteurs de même taille : chaque couleur a la même probabilité de sortir.

Exemples

Avec un dé équilibré : $𝑃 (obtenir 4) = \frac{1}{6}$ , et $𝑃 (obtenir un nombre pair) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .
Avec une pièce équilibrée : $𝑃 (pile) = \frac{1}{2} = 50 %$ .
Dans un sac de $10$ boules dont $3$ rouges : $𝑃 (rouge) = \frac{3}{10} = 0,3 = 30 %$ .

Méthode 1 — Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité

Vérifier que toutes les issues ont bien la même chance : dé équilibré, pièce non truquée, boules indiscernables au toucher.
Compter le nombre total d’issues.
Compter les issues qui réalisent l’évènement.
Écrire le quotient, puis le simplifier.

Propriété 2

La somme des probabilités de toutes les issues d’une expérience vaut

1

Remarque

L’équiprobabilité est une hypothèse, pas une évidence : un dé lesté ou une roue à secteurs inégaux n’y obéit pas, et le calcul par comptage ne s’applique plus.

IV - Expérimenter : effectifs et fréquences

Protocole — Répéter une expérience et enregistrer

Choisir l’expérience et la répéter un grand nombre de fois, dans les mêmes conditions.
Noter dans un tableau l’effectif de chaque issue.
Calculer la fréquence de chaque issue : son effectif divisé par le nombre total d’essais.
Comparer ces fréquences aux probabilités attendues.

Exemple

Une pièce lancée $200$ fois :

Issue	Effectif	Fréquence	Probabilité
pile	$104$	$0,52$	$0,5$
face	$96$	$0,48$	$0,5$
Total	$200$	$1$	$1$

Propriété 3

Plus le nombre d’essais augmente, plus la fréquence observée d’un évènement se rapproche de sa probabilité. C’est ce qui donne un sens concret au nombre calculé.

La fréquence de « pile » s’agite au début, puis se stabilise autour de

0,5

Même phénomène pour « obtenir

6

» avec un dé, autour de

\frac{1}{6} \approx 0,17

Remarque

Sur

10

lancers, obtenir

7

fois pile n’a rien d’anormal ; sur

10 000

lancers, ce serait très surprenant. Une probabilité ne prédit pas un résultat isolé : elle décrit ce qui se passe sur un grand nombre d’expériences.