Nombres entiers et décimaux

I - Chiffres et nombres

Définitions

Un chiffre est un symbole parmi $0$ ; $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $5$ ; $6$ ; $7$ ; $8$ ; $9$ .
Un nombre sert à compter, mesurer ou comparer, et on peut l’écrire avec un ou plusieurs chiffres.

Pour mieux comprendre

Le mot maison s’écrit avec $6$ lettres : M-A-I-S-O-N.
Le nombre $396$ s’écrit avec $3$ chiffres : 3-9-6.

a) Tableau de numération

Milliards			Millions			Milliers			Unités
C	D	U	C	D	U	C	D	U	C	D	U
								1	2	3	4
		1	5	0	0	0	3	6	0	0	0

Tableau 1. – Deux nombres placés rang par rang.

b) Chiffres de… / Nombres de…

Exemples

$2$ est le chiffre des centaines de $1 234$ .
$3$ est le chiffre des dizaines de milliers de $1 500 036 000$ .
$123$ est le nombre des dizaines de $1 234$ .
$150 003$ est le nombre des dizaines de milliers de $1 500 036 000$ .

Remarque

Le chiffre des dizaines est un symbole unique ; le nombre de dizaines compte toutes les dizaines du nombre, y compris celles cachées dans les centaines et les milliers.

II - Nombres décimaux

Définition 2

Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule — éventuellement aucun, comme un nombre entier.

a) Le tableau de numération décimale

Partie entière			,	Partie décimale

1	2	3	,	4	5	6	7	8	9
	1	3	,	4	8	2
		0	,	7	8	9	4

Tableau 2. –

123,456 789

13,482

0,789 4

placés rang par rang.

Exemples

Dans $13,482$ :

le chiffre des unités est $3$ ;
le nombre de dixièmes est $134$ .

Dans $0,789 4$ :

le chiffre des dix-millièmes est $4$ ;
le nombre de dix-millièmes est $7894$ .

Remarque

Le chiffre d’un rang occupe une seule case du tableau. Le nombre de ce rang se lit en prenant tout ce qui est à gauche, virgule comprise : il compte aussi les unités de rang supérieur.

b) Plusieurs écritures

Fractions décimales

Définition 3

Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est

1

10

100

1000

, etc.

Exemples

0,5 = \frac{5}{10} 3,87 = \frac{387}{100} 0,007 = \frac{7}{1000}

Décomposition

Exemples

\begin{aligned} 3,87 & = 3 + 0,8 + 0,07 \\ = 3 + 8 \times 0,1 + 7 \times 0,01 \\ = 3 + \frac{8}{10} + \frac{7}{100} \end{aligned}

\begin{aligned} 54,123 4 & = 54 + 0,1 + 0,02 + 0,003 + 0,000 4 \\ = 54 + 1 \times 0,1 + 2 \times 0,01 + 3 \times 0,001 + 4 \times 0,000 1 \\ = 54 + \frac{1}{10} + \frac{2}{100} + \frac{3}{1000} + \frac{4}{10000} \end{aligned}

Remarque

Il existe une troisième écriture, réservée aux nombres compris entre deux entiers : le nombre mixte, entier suivi d’une fraction

< 1

. Elle est étudiée dans le chapitre sur les fractions.

c) Repérage sur une droite graduée

Exemple

Pour placer

0,237

, on zoome trois fois : d’abord entre

0

1

, puis entre

0,2

0,3

, puis entre

0,23

0,24

Chaque chiffre après la virgule choisit dans quel dixième de la droite précédente on continue de chercher.

d) Comparaison et ordre

Notation

On note

𝑎 \leq 𝑏

pour dire que

𝑎

est plus petit ou égal à

𝑏

, et

𝑎 \geq 𝑏

pour dire que

𝑎

est plus grand ou égal à

𝑏

Méthode 1

Pour comparer deux nombres décimaux :

on compare d’abord leur partie entière, avant la virgule ;
puis, on compare chaque chiffre après la virgule, en commençant par les dixièmes, puis les centièmes, etc.

Exemples

1,23 < 1,24 3,3 > 3,07

Remarque

3,3 > 3,07

bien que

07

ait plus de chiffres que

3

: on compare rang par rang, jamais le nombre de chiffres.

3,3

vaut

3,30

Méthode 2 — Ordonner une liste

Pour ranger une liste de nombres décimaux du plus petit au plus grand — ou l’inverse — on les compare deux à deux, rang par rang, comme ci-dessus.

Exemple

Ranger $2,5$ , $2,45$ et $2,54$ du plus petit au plus grand :

2,45 < 2,5 < 2,54

e) Encadrement et intercalation

Définition 4

Encadrer un nombre, c’est trouver deux autres nombres : un plus petit, et un plus grand.

Remarque

Dans certains cas, on veut que les deux nombres trouvés soient consécutifs au rang demandé.

Exemples

Encadrer $3,2$ à l’unité : $3 < 3,2 < 4$ .
Encadrer $5,126$ au dixième : $5,1 < 5,126 < 5,2$ .
Encadrer $100,876 54$ au dix-millième : $100,876 5 < 100,876 54 < 100,876 6$ .

Définition 5

Intercaler un nombre entre deux autres, c’est trouver un nombre compris entre les deux.

Exemple

2,47

est intercalé entre

2,4

2,5

2,4 < 2,47 < 2,5

f) Valeur arrondie

Définition 6

Arrondir un nombre, c’est le simplifier en ne gardant qu’un certain nombre de chiffres après la virgule.

Méthode 3

Repérer le chiffre à la position où on veut arrondir (unité, dixième, centième, etc.).
Regarder le chiffre juste à droite de cette position :
- s’il est $0$ , $1$ , $2$ , $3$ ou $4$ , on garde le chiffre de la position choisie ;
- s’il est $5$ , $6$ , $7$ , $8$ ou $9$ , on augmente de $1$ le chiffre de la position choisie.

Exemples

Arrondir $3,2$ à l’unité : $3,2 \approx 3$ .
Arrondir $5,126$ au centième : $5,126 \approx 5,13$ .

Remarque

Un nombre qui n’est pas décimal — comme $\frac{1}{3}$ — possède aussi une valeur arrondie : on calcule d’abord une valeur approchée avec assez de chiffres après la virgule, puis on arrondit comme ci-dessus.

\frac{1}{3} \approx 0,333 3 \approx 0,33 (arrondi au centième)