Division euclidienne

I - Concept

À deux entiers positifs — le dividende et le diviseur — on associe de façon unique deux entiers, le quotient et le reste, tels que :

dividende = diviseur \times quotient + reste

0 \leq reste < diviseur

La seconde condition est celle qui rend le couple unique : sans elle, on pourrait prendre un quotient trop petit et un reste énorme.

19 = 3 \times 6 + 1 255 = 16 \times 15 + 15

19 = 3 \times 6 + 1

: le reste

1

est bien inférieur au diviseur

3

255 = 16 \times 15 + 15

. Chaque couleur relie un chiffre du quotient à la soustraction qu’il a produite.

On divise chiffre après chiffre, de gauche à droite. Ce chapitre se limite à des diviseurs inférieurs à $100$ :

La division euclidienne répond à deux questions différentes, selon ce que l’on cherche :

le nombre de parts : combien de fois le diviseur tient-il dans le dividende ?
la valeur d’une part : si on partage le dividende en un nombre de parts égal au diviseur, que vaut chaque part ?

18 \div 6

: à gauche,

6

tient

3

fois dans

18

; à droite,

18

partagé en

6

parts donne des parts de

3

Nombre de parts. On a $23$ œufs, rangés par boîtes de $6$ . Combien de boîtes pleines peut-on remplir ? $23 = 6 \times 3 + 5$ : $3$ boîtes pleines.
Valeur d’une part. On partage $23$ bonbons entre $6$ enfants, à parts égales. Combien chacun reçoit-il ? $23 = 6 \times 3 + 5$ : chacun reçoit $3$ bonbons, et il en reste $5$ .

Dans une division euclidienne, si le reste est égal à

0

, le dividende est un multiple du diviseur.

15 = 5 \times 3 + 0

: le reste est nul.

Puisque $15 = 5 \times 3$ , quatre façons de dire la même chose :

Ces critères évitent de poser la division :

Divisible par	Critère	Exemples
$2$	le nombre est pair	50 48 217
$3$	la somme des chiffres est dans la table de $3$	$51 \to 5 + 1 = 6$ $48 \to 4 + 8 = 12$ $217 \to 2 + 1 + 7 = 10$
$5$	le chiffre des unités est $0$ ou $5$	50 15 217
$9$	la somme des chiffres est dans la table de $9$	$54 \to 5 + 4 = 9$ $81 \to 8 + 1 = 9$ $217 \to 2 + 1 + 7 = 10$
$10$	le chiffre des unités est $0$	50 100 217