Sixième

Triangles

Définition 1

Un triangle est une figure ayant 3 côtés et 3 angles.

I - Inégalité triangulaire

Illustration

Pour aller de 𝐴 à 𝐵, le chemin direct est toujours le plus court : passer par 𝐶 ne peut pas faire gagner de distance.
Le chemin noir est plus court que le rouge : 𝐴𝐵≤𝐴𝐶+𝐶𝐵.

Protocole — Activité au compas

  1. Tracer un segment [𝐼𝐽] de 7 cm.
  2. Essayer de construire un troisième sommet 𝐾 tel que 𝐼𝐾=5 cm et 𝐽𝐾=3 cm, avec deux arcs de compas.
  3. Recommencer avec 𝐽𝐾=1 cm : que se passe-t-il ?

Propriété 1

Un triangle ne peut être construit que si sa plus grande longueur est inférieure ou égale à la somme des deux autres.

Exemples

  • Le triangle 𝐼𝐽𝐾 avec 𝐼𝐽=7 cm, 𝐼𝐾=5 cm et 𝐽𝐾=3 cm peut être construit, car 7≤5+3.
  • Le triangle 𝑀𝑁𝑃 avec 𝑀𝑁=8 cm, 𝑀𝑃=6 cm et 𝑁𝑃=1 cm ne peut pas être construit, car 8>6+1.

II - Construire un triangle avec 3 longueurs

Protocole

  1. Avec la règle, tracer le côté le plus long du triangle.
  2. Avec le compas, tracer un arc de cercle de rayon égal à la longueur du deuxième côté.
  3. Avec le compas, tracer un arc de cercle de rayon égal à la longueur du troisième côté.
  4. Relier le point d’intersection des deux arcs aux deux extrémités du premier segment.

Exemple

Tracer 𝐴𝐵𝐶 tel que 𝐴𝐵=4 cm, 𝐴𝐶=2,4 cm et 𝐵𝐶=3,2 cm.
Le sommet 𝐶 n’est pas choisi : il est imposé par le croisement des deux arcs.
  1. Tracer [𝐴𝐵] de longueur 4 cm.
  2. Puisque 𝐴𝐶=2,4 cm, tracer un arc de cercle de centre 𝐴 et de rayon 2,4 cm.
  3. Puisque 𝐵𝐶=3,2 cm, tracer un arc de cercle de centre 𝐵 et de rayon 3,2 cm.
  4. Relier le point d’intersection à 𝐴 et à 𝐵.

III - Construire un triangle avec 2 longueurs et 1 angle

Protocole

  1. Avec la règle, tracer le côté le plus long du triangle.
  2. Avec le rapporteur et la règle, tracer une demi-droite pour former l’angle donné.
  3. Placer le troisième sommet sur cette demi-droite, à la deuxième longueur donnée.

Exemple

Tracer 𝐷𝐸𝐹 tel que 𝐷𝐸=4,8 cm, 𝐸𝐹=4,2 cm et 𝐷𝐸𝐹̂=45°.
L’angle donne la direction ; la longueur donne le point.

IV - Construire un triangle avec 1 longueur et 2 angles

Protocole

  1. Avec la règle, tracer la longueur donnée.
  2. Avec le rapporteur et la règle, tracer une demi-droite formant le premier angle.
  3. Avec le rapporteur et la règle, tracer une demi-droite formant le second angle. Le troisième sommet est leur point d’intersection.

Exemple

Tracer 𝐺𝐻𝐼 tel que 𝐺𝐻=4 cm, 𝐺𝐻𝐼̂=60° et 𝐻𝐺𝐼̂=30°.
Les deux demi-droites se coupent en un seul point : le triangle est déterminé.

V - Les différents types de triangles

a) Triangle rectangle

Définition 2

Un triangle rectangle possède un angle droit.

Propriété 2

Ses deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut 90°.
Le triangle 𝐴𝐵𝐶, rectangle en 𝐵.
Le triangle est rectangle en 𝐵, car l’angle droit est au sommet 𝐵. De plus, 𝐴𝐶𝐵̂ et 𝐶𝐴𝐵̂ sont complémentaires.

b) Triangle isocèle

Définition 3

Un triangle isocèle possède deux côtés de même longueur. Le troisième côté est appelé la base du triangle.

Propriété 3

Les deux angles adjacents à la base sont égaux.
Le triangle 𝐴𝐵𝐶, isocèle en 𝐶 : [𝐴𝐵] est sa base.
Le triangle est isocèle en 𝐶, car les côtés [𝐶𝐴] et [𝐶𝐵] ont la même longueur. De plus, les angles 𝐶𝐴𝐵̂ et 𝐶𝐵𝐴̂ sont égaux.

c) Triangle équilatéral

Définition 4

Un triangle équilatéral possède 3 côtés de même longueur.

Propriété 4

Ses 3 angles sont égaux et mesurent chacun 60°.
Trois côtés égaux, trois angles de 60°.
𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐵𝐶𝐴𝐵𝐶̂=𝐵𝐶𝐴̂=𝐶𝐴𝐵̂=60°

VI - Somme des mesures des angles

Propriété 5

La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°.

Exemple d’exercice.

  1. Tracer le triangle 𝐼𝐽𝐾 tel que 𝐼𝐽𝐾̂=90°, 𝐼𝐾𝐽̂=45° et 𝐽𝐾=4 cm.
  2. Quelle est la mesure de l’angle 𝐽𝐼𝐾̂ ?
  3. Quelle est la nature du triangle 𝐼𝐽𝐾 ?
La construction demandée en question 1.

Exemple — Correction

Question 2. D’après la propriété :

𝐼𝐽𝐾̂+𝐼𝐾𝐽̂+𝐽𝐼𝐾̂=180°

On remplace par les valeurs connues :

90°+45°+𝐽𝐼𝐾̂=180°135°+𝐽𝐼𝐾̂=180°

Pour résoudre cette addition à trou, on fait une soustraction :

𝐽𝐼𝐾̂=180°−135°=45°

Question 3. Ce triangle possède un angle droit et deux angles de 45° : 𝐼𝐽𝐾 est donc un triangle rectangle et isocèle.

VII - Médiatrices d’un triangle et cercle circonscrit

Propriété 6

Les 3 médiatrices d’un triangle sont concourantes : elles se coupent en un même point, centre du cercle circonscrit au triangle.
Le point 𝑂 est équidistant des trois sommets : le cercle de centre 𝑂 passe donc par 𝐴, 𝐵 et 𝐶.
Démonstration𝑂 est sur la médiatrice de [𝐴𝐵], donc 𝑂𝐴=𝑂𝐵. Il est aussi sur celle de [𝐵𝐶], donc 𝑂𝐵=𝑂𝐶. Par conséquent 𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝑂𝐶 : le point 𝑂 est à la même distance des trois sommets, et le cercle de centre 𝑂 et de rayon 𝑂𝐴 passe par les trois.