Division décimale et sens quotient d'une fraction

I - Poser une division décimale

Définition 1

Contrairement à la division euclidienne, la division décimale admet pour quotient un nombre décimal.

Méthode 1

Lorsque l’on effectue une division décimale :

lorsqu’il n’y a plus de chiffre à abaisser, on peut ajouter au dividende autant de zéros que l’on veut après la virgule ;
la division s’arrête lorsque le reste est égal à $0$ , ou que les restes se répètent en boucle.

Remarque

Ajouter des zéros après la virgule ne change pas le dividende :

253 = 253,000

. C’est ce qui autorise à continuer la division.

Exemple

253 \div 8

: le reste devient nul après trois décimales.

253 \div 8 = 31,625

. Les zéros gris ont été ajoutés au dividende pour poursuivre la division.

II - Quand la division ne s’arrête pas

Exemple

200 \div 9

: le reste vaut

2

à chaque étape, et le chiffre

2

revient indéfiniment au quotient.

200 \div 9 = 22,222 \dots

: les restes se répètent, la division ne s’arrête jamais.

Définitions

Lorsque les restes d’une division décimale se répètent en boucle, on peut écrire le quotient de deux façons :

sous forme de fraction, c’est sa valeur exacte ;
sous forme décimale, en arrondissant, c’est une valeur approchée.

III - Arrondir un nombre décimal

Définition 3

Arrondir un nombre décimal, c’est le remplacer par un nombre proche plus simple, en ne conservant qu’un certain nombre de chiffres après la virgule.

Méthode 2

Pour arrondir à une position donnée :

repérer le chiffre à garder (unité, dixième, centième…) ;
regarder le chiffre suivant :
- s’il est $0$ , $1$ , $2$ , $3$ ou $4$ , rien ne change ;
- s’il est $5$ , $6$ , $7$ , $8$ ou $9$ , on ajoute $1$ au chiffre à garder ;
effacer les chiffres situés après la position donnée.

Exemples

Arrondir	Nombre	Arrondi
à l’unité	$34,27$	$\approx 34$
à l’unité	$34,57$	$\approx 35$
au dixième	$12,34$	$\approx 12,3$
au dixième	$12,36$	$\approx 12,4$
au centième	$7,842$	$\approx 7,84$

Remarque

On écrit

\approx

et non

=

: un arrondi n’est pas égal au nombre de départ.

IV - Le quotient d’un entier par un entier

Définition 4

Le quotient de l’entier $𝑎$ par l’entier $𝑏$ non nul, noté $\frac{𝑎}{𝑏}$ , est le nombre qui, multiplié par $𝑏$ , donne $𝑎$ :

\frac{𝑎}{𝑏} \times 𝑏 = 𝑎

V - Le sens quotient d’une fraction

Pour mieux comprendre

Partager une bande de longueur

1

4

parts égales, c’est construire un guide-âne : chaque partage vaut

\frac{1}{4}

de la bande, et

3

parts valent

\frac{3}{4}

— c’est-à-dire

3 \div 4

La bande partagée en

4

3

parts valent

\frac{3}{4}

, la valeur exacte de

3 \div 4

Exemples

\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0,75 \frac{253}{8} = 253 \div 8 = 31,625

\frac{7}{3} = 7 \div 3 = 2,333 \dots

3 \div 4 = 0,75

: ici la division s’arrête, la fraction

\frac{3}{4}

est un nombre décimal.

Remarque

\frac{3}{4}

0,75

désignent le même nombre. En revanche,

\frac{7}{3}

n’est pas un nombre décimal : seule l’écriture fractionnaire en donne la valeur exacte.

VI - Égalités à trous multiplicatives

Méthode 3

Pour compléter une égalité du type

5 \times □ = 35

, on utilise le quotient :

□ = 35 \div 5

Exemples

5 \times □ = 35 donc □ = 35 \div 5 = 7 □ \times 8 = 3 donc □ = 3 \div 8 = \frac{3}{8}

VII - Nature du nombre a/b

Propriété 1

Le nombre $\frac{𝑎}{𝑏}$ peut être :

un nombre entier, si la division $𝑎 \div 𝑏$ tombe juste sur un entier ;
un nombre décimal non entier, si la division $𝑎 \div 𝑏$ s’arrête après un ou plusieurs chiffres après la virgule ;
un nombre non décimal, si la division $𝑎 \div 𝑏$ ne s’arrête jamais.

Exemples

Fraction	Division	Nature
$\frac{12}{4}$	$12 \div 4 = 3$	entier
$\frac{3}{4}$	$3 \div 4 = 0,75$	décimal non entier
$\frac{7}{3}$	$7 \div 3 = 2,333 \dots$	non décimal