Calcul littéral : double distributivité et identités remarquables

I - Structure d’une expression : somme ou produit

Définition 1

La structure d’une expression littérale, c’est la dernière opération qu’on effectuerait pour la calculer : une expression est une somme ou un produit.

Méthode 1 — Reconnaitre la structure

Repérer les parenthèses : ce qu’elles contiennent forme un bloc.
Chercher, hors des parenthèses, l’opération de plus faible priorité.
Une addition ou une soustraction hors parenthèses : c’est une somme. Sinon, c’est un produit.

Exemples

$3 𝑥 + 5$ est une somme de deux termes : $3 𝑥$ et $5$ .
$3 (𝑥 + 5)$ est un produit de deux facteurs : $3$ et $(𝑥 + 5)$ .
$(𝑥 + 2) (𝑥 - 7)$ est un produit.
$(𝑥 + 2) + 𝑥^{2}$ est une somme.
$2 𝑥^{2} - 5 𝑥 + 1$ est une somme de trois termes.

Remarque

Cette lecture commande tout le chapitre : développer, c’est transformer un produit en somme ; factoriser, c’est transformer une somme en produit.

Définition 2

Réduire une expression, c’est l’écrire avec le moins de termes possible, en regroupant les termes semblables — ceux qui ont la même partie littérale.

Exemples

$5 𝑥 + 3 𝑥 = 8 𝑥$
$7 𝑥^{2} - 2 𝑥^{2} = 5 𝑥^{2}$
$4 𝑥 + 3 + 2 𝑥 - 8 = 6 𝑥 - 5$
$3 𝑥 + 2 𝑥^{2}$ ne se réduit pas : $𝑥$ et $𝑥^{2}$ ne sont pas semblables.

Convention

On n’écrit ni le signe

\times

devant une lettre ou une parenthèse, ni le coefficient

1

3 \times 𝑥

s’écrit

3 𝑥

, et

1 \times 𝑥

s’écrit

𝑥

II - Opposé d’une expression littérale

Définition 3

L’opposé d’une expression

𝐴

est l’expression

- 𝐴

, celle qu’il faut lui ajouter pour obtenir

0

Propriété 1

L’opposé d’une somme s’obtient en changeant le signe de chaque terme :

- (𝑎 + 𝑏) = - 𝑎 - 𝑏 et - (𝑎 - 𝑏) = - 𝑎 + 𝑏 .

Exemples

L’opposé de $3 𝑥 + 5$ est $- 3 𝑥 - 5$ .
L’opposé de $2 𝑥 - 7$ est $- 2 𝑥 + 7$ .
L’opposé de $- 𝑥^{2} + 4 𝑥 - 1$ est $𝑥^{2} - 4 𝑥 + 1$ .

L’erreur la plus fréquente du chapitre consiste à ne changer que le premier signe : $- (2 𝑥 - 7)$ vaut $- 2 𝑥 + 7$ , jamais $- 2 𝑥 - 7$ .

Exemple — Supprimer une parenthèse précédée d'un moins

3 (2 𝑥 + 1) - (6 - 𝑥) = 6 𝑥 + 3 - 6 + 𝑥 = 7 𝑥 - 3 .

III - Simple distributivité : développer et factoriser

Propriété 2 — Simple distributivité

Pour tous nombres $𝑘$ , $𝑎$ et $𝑏$ :

𝑘 (𝑎 + 𝑏) = 𝑘 𝑎 + 𝑘 𝑏 et 𝑘 (𝑎 - 𝑏) = 𝑘 𝑎 - 𝑘 𝑏 .

Lue de gauche à droite, l’égalité développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.

Le rectangle de largeur

𝑘

et de longueur

𝑎 + 𝑏

se coupe en deux : son aire s’écrit des deux façons.

Exemples — Développer

$5 (𝑥 + 3) = 5 𝑥 + 15$
$- 4 𝑥 (6 - 3 𝑥) = - 24 𝑥 + 12 𝑥^{2}$
$3 (2 𝑥 + 1) - 2 (𝑥 - 4) = 6 𝑥 + 3 - 2 𝑥 + 8 = 4 𝑥 + 11$

Méthode 2 — Factoriser avec un facteur commun

Repérer le facteur commun à tous les termes de la somme.
L’écrire devant une parenthèse.
Dans la parenthèse, écrire ce qui reste de chaque terme.

Exemples — Factoriser

$6 𝑥 + 15 = 3 (2 𝑥 + 5)$
$𝑥^{2} - 7 𝑥 = 𝑥 (𝑥 - 7)$
$(𝑥 + 1) (𝑥 + 4) + (𝑥 + 1) (2 𝑥 - 3) = (𝑥 + 1) (3 𝑥 + 1)$ , le facteur commun étant la parenthèse $(𝑥 + 1)$ .

IV - Double distributivité

Propriété 3 — Double distributivité

Pour tous nombres $𝑎$ , $𝑏$ , $𝑐$ et $𝑑$ :

(𝑎 + 𝑏) (𝑐 + 𝑑) = 𝑎 𝑐 + 𝑎 𝑑 + 𝑏 𝑐 + 𝑏 𝑑 .

Pour mieux comprendre

Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde : il y a donc toujours quatre produits à écrire avant de réduire.

Le rectangle de dimensions

𝑎 + 𝑏

𝑐 + 𝑑

se découpe en quatre : une aire par produit.

Exemples

$(𝑥 + 2) (𝑥 + 5) = 𝑥^{2} + 5 𝑥 + 2 𝑥 + 10 = 𝑥^{2} + 7 𝑥 + 10$
$(2 𝑥 - 3) (5 𝑥 + 7) = 10 𝑥^{2} + 14 𝑥 - 15 𝑥 - 21 = 10 𝑥^{2} - 𝑥 - 21$
$(𝑥 - 4) (𝑥 - 1) = 𝑥^{2} - 𝑥 - 4 𝑥 + 4 = 𝑥^{2} - 5 𝑥 + 4$

Méthode 3 — Contrôler un développement

Remplacer

𝑥

par un nombre simple, par exemple

1

2

, dans l’expression de départ et dans le résultat : les deux valeurs doivent coïncider.

Exemple

Pour

(𝑥 + 2) (𝑥 + 5) = 𝑥^{2} + 7 𝑥 + 10

, prenons

𝑥 = 1

: à gauche

3 \times 6 = 18

, à droite

1 + 7 + 10 = 18

cohérent.

V - Identités remarquables

Formules — Les trois identités remarquables

\begin{aligned} {(𝑎 + 𝑏)}^{2} & = 𝑎^{2} + 2 𝑎 𝑏 + 𝑏^{2} \\ {(𝑎 - 𝑏)}^{2} & = 𝑎^{2} - 2 𝑎 𝑏 + 𝑏^{2} \\ (𝑎 + 𝑏) (𝑎 - 𝑏) & = 𝑎^{2} - 𝑏^{2} \end{aligned}

{(𝑎 + 𝑏)}^{2}

: le carré de côté

𝑎 + 𝑏

contient

𝑎^{2}

𝑏^{2}

et deux rectangles

𝑎 𝑏

{(𝑎 - 𝑏)}^{2}

: ce qui reste du carré de côté

𝑎

quand on retire deux bandes — le coin

𝑏^{2}

, retiré deux fois, doit être rajouté.

${(𝑎 + 𝑏)}^{2}$ n’est pas $𝑎^{2} + 𝑏^{2}$ : le double produit $2 𝑎 𝑏$ manque. Pour $𝑎 = 3$ et $𝑏 = 4$ : ${(3 + 4)}^{2} = 49$ , alors que $9 + 16 = 25$ .

Exemples — Développer

${(𝑥 + 6)}^{2} = 𝑥^{2} + 12 𝑥 + 36$
${(2 𝑥 - 5)}^{2} = 4 𝑥^{2} - 20 𝑥 + 25$
$(𝑥 + 6) (𝑥 - 6) = 𝑥^{2} - 36$
$(2 𝑥 - 5) (2 𝑥 + 5) = 4 𝑥^{2} - 25$

Remarque

La troisième identité fait disparaitre le terme en

𝑥

: c’est la seule dont le développement n’a que deux termes.

VI - Factoriser une expression de la forme $𝑎^{2} - 𝑏^{2}$

L’équerre

𝑎^{2} - 𝑏^{2}

, recoupée puis recollée, forme le rectangle

(𝑎 + 𝑏) (𝑎 - 𝑏)

Méthode 4 — Reconnaitre une différence de deux carrés

Vérifier que l’expression est une soustraction.
Écrire chacun des deux termes comme un carré : $𝑎^{2}$ et $𝑏^{2}$ .
Appliquer $𝑎^{2} - 𝑏^{2} = (𝑎 + 𝑏) (𝑎 - 𝑏)$ .

Exemples

$𝑥^{2} - 64 = 𝑥^{2} - 8^{2} = (𝑥 + 8) (𝑥 - 8)$
$4 𝑥^{2} - 49 = {(2 𝑥)}^{2} - 7^{2} = (2 𝑥 + 7) (2 𝑥 - 7)$
$25 - 𝑥^{2} = 5^{2} - 𝑥^{2} = (5 + 𝑥) (5 - 𝑥)$
${(𝑥 + 1)}^{2} - 9 = {(𝑥 + 1)}^{2} - 3^{2} = (𝑥 + 4) (𝑥 - 2)$

Remarque

Une somme de deux carrés, comme

𝑥^{2} + 9

, ne se factorise pas de cette façon.

VII - Démontrer par le calcul littéral

Une vérification sur quelques nombres ne prouve rien : la lettre, elle, représente tous les nombres à la fois. C’est ce qui fait du calcul littéral un outil de démonstration.

Méthode 5 — Démontrer une propriété générale

Nommer par une lettre le nombre quelconque de l’énoncé.
Traduire l’énoncé par une expression.
Développer, réduire, factoriser jusqu’à faire apparaitre la forme annoncée.

Exemple — La somme de trois entiers consécutifs

On sait que

Trois entiers consécutifs s’écrivent

𝑛 - 1

𝑛

𝑛 + 1

, où

𝑛

est un entier.

Or

Leur somme vaut

(𝑛 - 1) + 𝑛 + (𝑛 + 1) = 3 𝑛

Donc

Cette somme est toujours un multiple de

3

Exemple — La différence des carrés de deux entiers consécutifs

On sait que

Deux entiers consécutifs s’écrivent

𝑛

𝑛 + 1

Or

{(𝑛 + 1)}^{2} - 𝑛^{2} = 𝑛^{2} + 2 𝑛 + 1 - 𝑛^{2} = 2 𝑛 + 1

Donc

Cette différence est toujours un nombre impair — et c’est même la somme des deux entiers.

Méthode 6 — Démontrer l'équivalence de deux programmes de calcul

Choisir une lettre pour le nombre de départ, la même pour les deux programmes.
Traduire chaque programme par une expression.
Développer et réduire les deux : si l’on obtient la même expression, les programmes donnent toujours le même résultat.

Exemple — Deux programmes

Programme A	Programme B
Choisir un nombre.	Choisir un nombre.
Lui ajouter $3$ .	Le multiplier par $2$ .
Multiplier le résultat par $2$ .	Ajouter $8$ au résultat.
Soustraire $2$ .

On sait que

Soit

𝑥

le nombre choisi.

Or

Le programme A donne

2 (𝑥 + 3) - 2 = 2 𝑥 + 6 - 2 = 2 𝑥 + 4

, et le programme B donne

2 𝑥 + 8

Donc

2 𝑥 + 4 \neq 2 𝑥 + 8

: les deux programmes ne donnent jamais le même résultat, ils diffèrent toujours de

4

Exemple — Deux programmes équivalents

Programme C : choisir $𝑥$ , l’augmenter de $5$ , élever au carré, retrancher $25$ .
Programme D : choisir $𝑥$ , l’élever au carré, ajouter $10$ fois le nombre choisi.

On sait que

C donne

{(𝑥 + 5)}^{2} - 25

et D donne

𝑥^{2} + 10 𝑥

Or

{(𝑥 + 5)}^{2} - 25 = 𝑥^{2} + 10 𝑥 + 25 - 25 = 𝑥^{2} + 10 𝑥

Donc

Les deux programmes sont équivalents : ils donnent le même résultat pour tout nombre choisi.

I - Structure d’une expression : somme ou produit

Définition 1

Méthode 1 — Reconnaitre la structure

Exemples

Remarque

Définition 2

Exemples

Convention

II - Opposé d’une expression littérale

Définition 3

Propriété 1

Exemples

Exemple — Supprimer une parenthèse précédée d'un moins

III - Simple distributivité : développer et factoriser

Propriété 2 — Simple distributivité

Exemples — Développer

Méthode 2 — Factoriser avec un facteur commun

Exemples — Factoriser

IV - Double distributivité

Propriété 3 — Double distributivité

Pour mieux comprendre

Exemples

Méthode 3 — Contrôler un développement

Exemple

V - Identités remarquables

Formules — Les trois identités remarquables

Exemples — Développer

Remarque

VI - Factoriser une expression de la forme 𝑎2−𝑏2

Méthode 4 — Reconnaitre une différence de deux carrés

Exemples

Remarque

VII - Démontrer par le calcul littéral

Méthode 5 — Démontrer une propriété générale

Exemple — La somme de trois entiers consécutifs

On sait que

Or

Donc

Exemple — La différence des carrés de deux entiers consécutifs

On sait que

Or

Donc

Méthode 6 — Démontrer l'équivalence de deux programmes de calcul

Exemple — Deux programmes

On sait que

Or

Donc

Exemple — Deux programmes équivalents

On sait que

Or

Donc

VI - Factoriser une expression de la forme $𝑎^{2} - 𝑏^{2}$