Notion de fonction : vocabulaire, notations et représentations

I - Dépendance entre deux grandeurs

Beaucoup de situations relient deux grandeurs : le prix payé dépend de la quantité achetée, l’aire d’un carré dépend de son côté, la température dépend de l’heure. À chaque valeur de la première correspond une valeur de la seconde, et une seule.

Définition 1

Une fonction est un procédé qui, à un nombre, associe un seul nombre.

Vocabulaire

Le nombre de départ est la variable ; le nombre associé est son image. Réciproquement, le nombre de départ est un antécédent de son image.

Une fonction se comporte comme une machine : un nombre entre, un seul en sort.

« Un seul » est la condition décisive : un nombre a toujours exactement une image, mais il peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

Exemple — Une dépendance qui n'est pas une fonction

Associer à une personne sa taille définit bien une fonction. Associer à une taille une personne n’en définit pas une : plusieurs personnes peuvent avoir la même taille.

II - Notations et vocabulaire

Notation

Une fonction se nomme par une lettre, souvent $𝑓$ , $𝑔$ ou $ℎ$ . On écrit

𝑓 : 𝑥 \mapsto 3 𝑥 + 2,

qui se lit « $𝑓$ est la fonction qui à $𝑥$ associe $3 𝑥 + 2$ ».

Notation

L’image de

𝑥

par

𝑓

se note

𝑓 (𝑥)

, qui se lit «

𝑓

𝑥

». Ce n’est pas un produit.

Exemple

Pour $𝑓 : 𝑥 \mapsto 3 𝑥 + 2$ :

$𝑓 (4) = 3 \times 4 + 2 = 14$ ;
l’image de $4$ par $𝑓$ est $14$ ;
$4$ est un antécédent de $14$ par $𝑓$ .

La même machine, appliquée au nombre

4

Image et antécédent ne se rangent pas dans le même sens : dans $𝑓 (4) = 14$ , le $4$ est l’antécédent, le $14$ est l’image.

III - Les modes de représentation

Une même fonction peut se donner de quatre façons différentes, qui disent toutes la même chose.

Définitions

Un programme de calcul décrit les opérations à effectuer.
Une expression algébrique traduit ce programme en formule.
Un tableau de valeurs donne les images de quelques nombres.
Une représentation graphique donne toutes les images d’un coup, à la précision de la lecture près.

Exemple — Une fonction, quatre représentations

Représentation

La fonction

𝑓 : 𝑥 \mapsto 3 𝑥 + 2

Programme de calcul

choisir un nombre, le multiplier par

3

, ajouter

2

Expression

𝑓 (𝑥) = 3 𝑥 + 2

Tableau de valeurs

$𝑥$	$- 1$	$0$	$2$	$4$
$𝑓 (𝑥)$	$- 1$	$2$	$8$	$14$

Graphique

la courbe des points de coordonnées

(𝑥; 𝑓 (𝑥))

Définition 3

La représentation graphique d’une fonction

𝑓

est l’ensemble des points de coordonnées

(𝑥; 𝑓 (𝑥))

, où

𝑥

parcourt les nombres pour lesquels

𝑓

est définie.

Du tableau de valeurs au graphique : chaque colonne devient un point.

Remarque

Passer d’une représentation à l’autre est l’exercice central du chapitre : du programme à l’expression en nommant le nombre choisi

𝑥

; de l’expression au tableau en calculant ; du tableau au graphique en plaçant les points.

IV - Déterminer l’image d’un nombre

Méthode 1 — Selon la représentation dont on dispose

Par l’expression : remplacer $𝑥$ par le nombre et calculer.
Par le tableau : lire dans la colonne du nombre.
Par le graphique : partir de l’abscisse, monter jusqu’à la courbe, lire l’ordonnée.
Par le programme : exécuter les instructions.

Exemple — Par le calcul

Pour $𝑔 (𝑥) = 𝑥^{2} - 5$ :

$𝑔 (3) = 3^{2} - 5 = 4$ ;
$𝑔 (0) = - 5$ ;
$𝑔 (- 2) = {(- 2)}^{2} - 5 = 4 - 5 = - 1$ .

Le signe moins se met entre parenthèses avant d’élever au carré : ${(- 2)}^{2} = 4$ , alors que $- 2^{2} = - 4$ .

Lecture d’une image : on part de l’axe des abscisses.

V - Déterminer un antécédent

Méthode 2 — Graphiquement

Repérer la valeur cherchée sur l’axe des ordonnées.
Tracer l’horizontale à cette hauteur.
Lire les abscisses de tous ses points d’intersection avec la courbe.

Lecture d’antécédents : on part de l’axe des ordonnées, et il peut y en avoir plusieurs.

Méthode 3 — Dans un tableau de valeurs

Chercher la valeur dans la ligne des images, puis lire le nombre écrit au-dessus. Un tableau ne donne que les antécédents qu’il contient : il ne prouve pas qu’il n’y en a pas d’autres.

Méthode 4 — Algébriquement

Écrire l’équation $𝑓 (𝑥) = 𝑘$ , où $𝑘$ est le nombre dont on cherche les antécédents.
La résoudre.
Chaque solution est un antécédent de $𝑘$ .

Exemple — Un antécédent par le calcul

Cherchons les antécédents de $17$ par $𝑓 : 𝑥 \mapsto 3 𝑥 + 2$ .

On sait que

Il s’agit de résoudre

3 𝑥 + 2 = 17

Or

3 𝑥 = 15

, donc

𝑥 = 5

Donc

17

a un seul antécédent par

𝑓

: le nombre

5

Exemple — Zéro, un ou deux antécédents

Pour $𝑔 (𝑥) = 𝑥^{2}$ :

$9$ a deux antécédents, $3$ et $- 3$ ;
$0$ a un seul antécédent, $0$ ;
$- 4$ n’a aucun antécédent.

VI - Modéliser un phénomène continu

Une fonction sert à décrire un phénomène qui varie sans à-coups : une hauteur d’eau, une distance parcourue, une température. On parle alors de modèle : la fonction ne remplace pas la réalité, elle en donne une description utilisable.

Exemple — Le prix d'un trajet en taxi

Une course coute $4$ € de prise en charge, plus $2$ € par kilomètre.

Le prix $𝑝$ en fonction de la distance $𝑑$ , en kilomètres, s’écrit

𝑝 : 𝑑 \mapsto 2 𝑑 + 4 .

Une course de $7$ km coute $𝑝 (7) = 18$ €. Réciproquement, une course à $24$ € correspond à $2 𝑑 + 4 = 24$ , soit $𝑑 = 10$ km.

Exemple — L'aire d'un carré

L’aire d’un carré de côté

𝑐

est

𝑎 : 𝑐 \mapsto 𝑐^{2}

. Cette fonction n’a de sens que pour

𝑐 > 0

: le modèle a un domaine de validité.

Méthode 5 — Résoudre un problème avec une fonction

Repérer les deux grandeurs, et laquelle dépend de l’autre.
Choisir une lettre pour la variable, et écrire la fonction.
Traduire la question : cherche-t-on une image ou un antécédent ?
Répondre en revenant au contexte, avec l’unité.

Remarque

« Quelle est la valeur pour telle donnée ? » demande une image. « Pour quelle donnée obtient-on telle valeur ? » demande un antécédent, donc une équation.