Troisième

Rotations : frises, pavages et rosaces

I - Symétries et translation : les propriétés de conservation

Définitions

  • La symétrie axiale d’axe (𝑑) associe à un point 𝑀 le point 𝑀′ tel que (𝑑) soit la médiatrice de [𝑀𝑀′].
  • La symétrie centrale de centre 𝑂 associe à 𝑀 le point 𝑀′ tel que 𝑂 soit le milieu de [𝑀𝑀′].
  • La translation fait glisser toute la figure d’une même distance, dans une même direction et un même sens.
La symétrie axiale : le pliage le long de l’axe amène 𝑀 sur 𝑀′.
La symétrie centrale : un demi-tour autour du centre.
La translation : le même déplacement répété, sans rotation ni retournement.

Propriétés — Ce que ces transformations conservent

Symétries et translation conservent :

  • les longueurs ;
  • les mesures d’angles ;
  • les aires ;
  • l’alignement, le parallélisme et les milieux.

Remarque

La figure image a donc exactement la même forme et la même taille que la figure de départ : ces transformations ne déforment rien. La symétrie axiale est la seule des trois à inverser le sens de parcours de la figure.

II - La rotation

Définition 2

La rotation de centre 𝑂, d’angle 𝛼 et de sens donné associe à tout point 𝑀 différent de 𝑂 le point 𝑀′ tel que

𝑂𝑀′=𝑂𝑀et𝑀𝑂𝑀′̂=𝛼,

l’angle étant compté dans le sens choisi. Le point 𝑂 est sa propre image.

L’image d’un point : il reste à la même distance du centre, après un quart, un tiers ou une autre fraction de tour.

Vocabulaire

Le sens direct est celui inverse des aiguilles d’une montre ; le sens indirect est celui des aiguilles.
Le même angle, les deux sens : les images sont différentes.

Une rotation n’est complètement définie que par ses trois données : centre, angle et sens. En omettre une rend la construction impossible.

L’image d’une figure s’obtient en construisant l’image de chacun de ses points caractéristiques.

Remarque

La symétrie centrale de centre 𝑂 n’est rien d’autre que la rotation de centre 𝑂 et d’angle 180° : le sens n’a alors pas d’importance.

III - Effet d’une rotation sur les grandeurs

Propriétés

Une rotation conserve :

  • les longueurs, donc les périmètres ;
  • les mesures d’angles ;
  • les aires ;
  • l’alignement, le parallélisme et les milieux.

L’image d’un segment est un segment de même longueur, l’image d’un cercle un cercle de même rayon, l’image d’un triangle un triangle superposable.

Méthode 1 — Déterminer une longueur ou un angle

Reconnaitre que la figure cherchée est l’image d’une figure connue par une rotation, puis invoquer la conservation : la grandeur cherchée est égale à celle de la figure de départ.

Exemple

𝐴′𝐵′𝐶′ est l’image de 𝐴𝐵𝐶 par une rotation de centre 𝑂 et d’angle 50°. On donne 𝐴𝐵=6 cm, 𝐵𝐴𝐶̂=40° et une aire de 14,5 cm².

On sait que

Une rotation conserve longueurs, angles et aires.

Donc

𝐴′𝐵′=6 cm, 𝐵′𝐴′𝐶′̂=40°, et l’aire de 𝐴′𝐵′𝐶′ vaut 14,5 cm².

Remarque

Le seul changement est la position de la figure. C’est ce qui distingue les rotations des agrandissements et des réductions, étudiés au chapitre suivant.

IV - Reconnaitre des rotations dans les frises, pavages et rosaces

Définitions

  • Une frise est un motif répété le long d’une bande.
  • Un pavage recouvre tout le plan, sans trou ni recouvrement.
  • Une rosace s’obtient en tournant un motif autour d’un point.
Une rosace : six exemplaires du même motif, tournés de 60° à chaque fois.

Méthode 2 — Trouver l'angle d'une rosace

Si le motif se répète 𝑛 fois autour du centre, l’angle de la rotation vaut

𝛼=360°𝑛.

Exemples

  • Un motif répété 6 fois : rotation de 60°.
  • Un motif répété 8 fois : rotation de 45°.
  • Un motif répété 5 fois : rotation de 72°.
Un pavage engendré par deux translations : chaque tuile est l’image d’une autre.

Méthode 3 — Identifier la transformation

  1. Repérer le motif élémentaire, le plus petit qui se répète.
  2. Comparer deux exemplaires voisins : ont-ils la même orientation ?
  3. Même orientation, glissement simple : c’est une translation.
  4. Orientation tournée autour d’un point fixe : c’est une rotation.
  5. Figure retournée : c’est une symétrie.

V - Constructions

Protocole — Construire à la main l'image d'un point

  1. Tracer la demi-droite [𝑂𝑀).
  2. Reporter au compas la longueur 𝑂𝑀 sur un arc de centre 𝑂.
  3. Au rapporteur, construire l’angle 𝛼 à partir de [𝑂𝑀), dans le sens demandé.
  4. 𝑀′ est l’intersection de l’arc et du second côté de l’angle.

Protocole — Construire l'image d'une figure

  1. Construire l’image de chaque sommet.
  2. Relier les images dans le même ordre que la figure de départ.
  3. Contrôler : les longueurs doivent être conservées.

Protocole — Avec un logiciel de géométrie dynamique

  1. Placer le centre de rotation.
  2. Sélectionner l’outil « rotation », puis la figure et le centre.
  3. Saisir l’angle, en précisant le sens.
  4. Déplacer un point de la figure de départ : l’image suit, ce qui permet de conjecturer les propriétés de conservation.

Remarque

Sur un quadrillage, la construction se simplifie beaucoup pour les angles de 90° et de 180° : les déplacements se comptent en carreaux, en échangeant les rôles des deux directions.